電勵磁直線電動機磁懸浮系統的非線性自適應反步控制＊

邢藝馨 藍益鵬 雷城

（沈陽工業大學電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870）

傳統的數控機床進給平臺是通過旋轉電機和滾珠絲杠裝置來實現直線進給，但是這種驅動方式會增加進給平臺和靜止導軌之間的摩擦，從而影響進給平臺的高速性和進給精度[1-2]。

EELM實現了進給平臺和靜止導軌之間的相對獨立[3-4]。水平方向產生電磁推力實現進給運動，垂直方向產生磁懸浮力使進給平臺穩定懸浮。從根本上解決了傳統機床進給平臺的摩擦問題。但由于取消了中間的傳動裝置，會使外界擾動等不確定性作用在EELM磁懸浮系統上，加上直線電機固有的端部效應，使系統的精確控制變得更加困難。因此，消除不確定因素對系統產生的影響，并設計出控制性能良好的控制器是實現系統高精度控制的關鍵[5-6]。

反步方法是上世紀90年代初提出的一種基于Lyapunov的遞歸嚴格反饋方案。利用該方法，系統地構造了反饋控制律和Lyapunov函數。這種方法最初是針對SISO系統提出的，后來擴展到多輸入系統。對于非線性不確定系統這種相當復雜的系統，目前所掌握的控制方法有很大的局限性，而反步控制方法針對這類系統有非常好的適應性。近來，非線性控制器被許多研究人員通過反步的方法設計出來，對于非線性系統來說，這樣的方法提供了非常有效的控制設計工具[7-8]。自適應反步控制是當前自適應控制理論和應用領域的研究熱點。近年來，該方法在解決線性和非線性系統問題的同時，在提高控制系統的性能方面顯示出了巨大的優勢[9]。將反步控制應用于永磁同步電動機的速度跟蹤控制。控制效果可能會因為電機在運行時參數發生變化而被影響到。用反步方法設計的控制器依賴于動態模型的精度。因此，抑制電機參數對控制的影響非常重要。提出了一種控制策略將自適應與反步控制結合起來，該策略考慮了一些電機參數的影響，提高了反步控制的精度。目前，自適應反步控制已得到廣泛應用[10-12]。

通過對EELM磁懸浮平臺控制系統數學模型與狀態方程的分析，該系統具有不確定性和非線性，因此，采用非線性自適應控制具有很強的針對性。本文設計出一種自適應反步控制器，將自適應控制與反步控制相結合，該控制器適用于EELM磁懸浮系統。其中的自適應算法對估計外部干擾與不確定性擾動有著很大的作用。系統的穩定性通過李雅普諾夫理論來證明。經過仿真實驗結果表明，自適應反步控制相比于傳統自適應控制，對系統的性能有了明顯的改善。

1 EELM的結構與運行機理

EELM磁懸浮進給平臺結構如圖1所示，系統由基座、運動平臺、電渦流傳感器、EELM、光柵尺和輔助導軌等構成。

圖1 EELM磁懸浮平臺結構圖

EELM的動子由電樞繞組和動子鐵心組成，鐵心和勵磁繞組共同構成EELM的定子，其動子與數控機床進給平臺固定連接驅動平臺運動。

平臺的懸浮由勵磁磁場對動子鐵心的單邊磁拉力來實現，可以通過改變勵磁電流的大小來改變懸浮力的大小。勵磁磁場和行波磁場相互作用產生電磁推力來推動動子平臺直線運行，其中行波磁場是對稱三相交流電通入電樞繞組產生的。

2 EELM的數學模型

為了方便分析，簡化模型，做如下假設[13-14]：

（1）在不計電機鐵心飽和的情況下，電機磁路是線性的。

（2）忽略直線同步電機的端部效應。

（3）不予計算電機鐵心的渦流與磁滯損耗。

（4）電樞繞組中通入三相對稱電流。

基于以上假設，直線電動機在dq軸系下的電壓方程和磁鏈方程推導如下：

電壓方程：

磁鏈方程:

其中：ud、uq為d、q軸的電壓分量，uf為磁極勵磁的電壓分量；id、iq為d、q軸的電流分量，磁極勵磁的電流分量由if來表示；Lmd、Lmq為d、q軸的主電感，電樞繞組的漏感由Lσ表示，Lσf為勵磁繞組的漏感；ψd、ψq為d、q軸的磁鏈，ψf為勵磁磁極磁鏈分量；電樞繞組的電阻由rs表示，rf為磁極勵磁繞組的電阻。

氣隙中的合成磁場會對定動子產生吸引力，并且也是直線電動機的懸浮力，采用id=0的矢量控制懸浮力公式計算如下[15]。

垂直方向的運動方程：

其中：m為動子平臺的重量；v為運動平臺的運動速度，v=2fτ；f為電源供電頻率；FL為負載阻力；δ為動子平臺實際的懸浮氣隙高度；fy為不確定性擾動；Ld=Lσ+Lmd，Lσ不隨懸浮氣隙高度變化；K為磁懸浮系數，K=5.659×10-6。

電樞磁場對勵磁磁場產生的影響，在這里作為擾動處理。因此，垂直方向總擾動為

令x1=δ，x2=，u=if2，得到磁懸浮系統的狀態方程為

3 非線性自適應反步控制器的設計

假設1：由于外界存在的擾動很難在線估計，并且隨機性比較大，因此假設不確定未知干擾因素為一連續有界函數向量且滿足為未知正數。

3.1 定義誤差與虛擬控制變量

由公式（6）可得狀態方程為

然后根據反步方法構造新的誤差變量z1和z2。

式中：δ*為懸浮高度的參考值，δ*=0.0025m ；δ0=0.003m 為初始懸浮高度；α1為虛擬控制變量。

在反步控制設計的第1步中，李雅普諾夫函數可以定義為

對V1求微分可得

定義虛擬控制變量：

式中：c1是設計參數，c1＞0。

由式（12）和式（13）可得

在反步控制設計的第2步中，z2的導數可計算為

α1的導數為

將式（16）代入式（15）中，得

3.2 控制律與參數自適應律

由于擾動f是未知的，第2個李雅普諾夫函數可以定義為

其中：γ＞0。

對V2求微分可得

控制律可設計為

其中：c2＞0。

將式（21）代入式（20）可得

時變參數自適應算法可以設計為

式中：γ為自適應增益系數。

3.3 穩定性分析

定理1：EELM磁懸浮控制系統在滿足假設1的條件下，采用式（21）、式（23）所設計的自適應反步控制律及自適應律，則系統是漸近穩定的，控制誤差是一致有界的。

將式（23）代入式（22）可得

由式（18）可得

因此可以得出，基于該控制律及自適應律能夠使系統達到穩定。

4 仿真研究

EELM控制系統的仿真框圖如圖2所示，非線性自適應反步控制器用作系統的位置環節，傳統的PI控制器用作電流環。

圖2 EELM磁懸浮控制系統框圖

c1是虛擬控制變量系數，系統的響應速度、恢復時間與超調量會受其影響。系統的超調量會因c1選取過小而顯著增加，并且系統很不穩定；選取大時恢復穩定的時間會增加。總的考慮系統的各項因素，控制器的參數如下：c1=50，c2=2320，γ=200。

將自適應反步控制（ABC）與自適應控制(AC)以及PI控制進行比較。

（1）磁懸浮系統的起動性能的考察與分析。系統初始氣隙高度3 mm，運行到達目標高度2.5 mm。電機磁懸浮高度在起動時的響應曲線由圖3所示。當控制器為PI控制時，約0.12 s磁懸浮系統到達目標氣隙高度；采用AC控制時，到達給定氣隙高度的時間約0.1 s；采用ABC控制時，到達給定氣隙高度的時間約0.06 s。3種控制方法均無超調。從仿真結果可以看出，ABC控制的起動性能相比于其他兩種控制要更加優越。

圖3 起動時磁懸浮高度響應曲線

（2）磁懸浮系統突加負載擾動的抑制能力考察與分析。在系統達到穩定狀態后，加入負載擾動，用f=10 N的階躍信號來模擬，在0.3 s加入該信號并在0.6 s移去該信號。圖4的氣隙高度響應曲線為突加負載擾動后的。根據圖中曲線可以看出，PI控制系統中，加入階躍擾動后，氣隙高度降落了大約0.058 mm,由下降高度恢復至目標高度2.5 mm大約0.192 s。AC控制系統中，突加擾動后，高度降落大約0.043 mm，恢復到給定高度的時間約為0.155 s。ABC控制系統中，加入負載擾動后，高度降落約0.025 mm,恢復時間約0.079 s。由以上數據可以得出，PI控制系統的降落高度及恢復時間最差，AC控制系統強于PI系統，而ABC控制系統受到突加擾動的影響是最小的，與PI和AC系統相比高度下降分別減少了25.9%和56.9%，恢復目標高度的速度分別提高了19.3%和58.9%。由此可以看出ABC控制系統的抗干擾能力是很強的。

圖4 加入階躍負載擾動氣隙高度響應曲線

圖5為加入階躍負載擾動后的勵磁電流響應曲線。由圖5中可以看出ABC控制比起PI控制超調量相對較高，但是恢復時間較PI控制短一些，約為0.019 s。

圖5 加入階躍擾動勵磁電流響應曲線

圖6為 η的自適應估計值。由圖中可以看出在0.3 s加入擾動時，自適應值 η突然增加以抑制擾動，后又回到穩定值10。

圖6 η的自適應估計值

（3）對磁懸浮系統端部效應擾動的抑制能力考察。在0.3 s加入用正弦函數f=15sin(20t) N模擬的端部效應擾動，圖7的氣隙高度響應曲線為加入端部效應擾動后的。由圖中可看出在PI控制系統中，曲線的波動在加入正弦擾動后比較大，抗擾能力比較差。AC控制系統中，波動程度比起PI控制好一些，抗擾能力也相對較強。ABC控制系統中，系統波動相對平穩，可知抗擾能力比起前兩種系統強一些。

圖7 正弦擾動下氣隙高度響應曲線

5 結語

針對數控機床進給平臺EELM磁懸浮系統，提出了一種非線性自適應反步控制方法，通過研究得出以下的結論：

（1）分析了EELM的結構、工作原理，考慮電樞繞組交軸電流和負載變化對磁懸浮力產生的影響，將其當作擾動，推導磁懸浮系統的數學模型，并給出含有不確定性擾動時磁懸浮系統的狀態方程。

（2）提出非線性自適應反步控制方法，限制輸出誤差，將其限制在比較小的范圍之中，并引入虛擬控制量的概念。選擇合適的自適應律使系統趨于穩定，設計了非線性自適應反步控制器。估計了不確定擾動，同時將其前饋給控制器，降低了不確定擾動對系統的影響。

（3）構造李雅普諾夫函數證明了系統的穩定性，系統可漸進收斂至邊界層內。用Matlab軟件對系統進行仿真，結果表明了非線性自適應反步控制規律的有效性。