《多邊形的面積》整理和復習策略

□ 廣東省廣州市從化區街口街團星小學 歐陽伯祥

在多邊形面積復習課教學過程中，教師的目的是讓學生能夠把握不同多邊形的內在聯系，運用多邊形面積計算方法來解決圖形問題。基于此，在新媒體和互聯網技術的幫助下，學生通過小組學習的形式，感知圖形的運動變化，實現自主認知的建構。在整理和復習中運用動態幾何的觀點,學生體會多邊形圖形之間是可以相互轉化的，多邊形圖形面積公式是可以相互溝通的,讓學生將所學的多邊形圖形的面積公式整合統一，形成系統，讓學生識“變”，會“變”，用“變”，“變”出別樣精彩。

一、在情境中重現，變在開始時

復習課展開的重要前提，是將多邊形面積公式進行情境化重現。在多邊形復習課教學中，教師要引導學生對頭腦中點狀的知識進行整理，情境重現，從而形成體系；同時，要善于抓住學生容易忽略、錯誤的區域，重點彌補，讓學生學得更完整。同一課堂情境中，新的教學生成是重要的突破點，教師應有意識地捕捉有價值的新生成，借此讓學生在交流和思考中對數學本質進行內化，激活學生的數學方法、意識、思想。本課的導入環節如下：

師：同學們，從PPT上看到了哪些圖形？生：長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形。

師：會連嗎？生：長方形s=ab、正方形s=a2、平行四邊形 s=ah、三角形 s=ah÷2、梯形 s=（a+b）h÷2。

PPT配合學生回答連線。PPT呈現連線后，再按圖形順序公式一一對應圖形。

然后提問：這些面積計算公式是怎樣推導出來的？結合學生的回憶，追問：推導過程有什么共同之處？它們之間有什么聯系嗎？結合學生的匯報，適時點撥。在這樣的純數學情境中，學生重溫了多邊形面積的公式推導，喚醒學生原有的知識積累，以期學生在更快的時間內展開思維，進行深度理解和思考。

二、在梳理中重構，變在形成中

原本零散呈現的知識，在教師創設的問題情境中得到了激活，加上適時地梳理和溝通，將呈現溫故而知新之境。多邊形面積的單元復習有別于新授和練習，它側重于讓學生實現幾何知識內在結構聯系的新整合和再“生長”，從而達到培養學生數學核心素養的要求。過程中，把教材教厚，把知識變實是基礎，讓知識再“開花”是拓展，是升華。

在梳理環節中，引導學生梳理出平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，通過點撥、思考、內化，學生明白這些均由已學的圖形變形轉化得到的。體會不同多邊形之間的內在聯系，且它們是可相互轉化的，變在形成中。

生：沒想到以前學過的幾個面積公式是可以由梯形的面積公式轉化而來，我感受到了數學的千變萬化。

師：是的，轉化。（板書：轉化）利用轉化，解決某一數學問題時，我們可以將未知的信息轉化為已知的條件。學習數學最重要的思想就是“化新為舊”“化繁為簡”“化難為易”。

師：在這個單元中，我們按順序先后認識了平行四邊形面積、三角形和梯形的面積計算公式。你是怎樣推導平行四邊形面積公式的？生：通過割補。

師：把平行四邊形轉化成長方形。（配合PPT呈現，師黑板貼圖）

師：那如何推導三角形面積計算公式？生：兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形，算出平行四邊形的面積之后除以2就是一個三角形的面積。

師：把三角形轉化成平行四邊形。（PPT配合，師黑板貼圖）

師：梯形面積公式呢？如何推導？生：兩個相同的梯形拼成一個平行四邊形。

（PPT配合）

師：無論是計算長方形面積還是計算平行四邊形面積，我們用的方法都是數方格。數小方格，實際上是數面積單位。其實，計算所有圖形的面積的本質都是數面積單位。

三、對比中提升，變在本質上

教學中，教師先將幾何圖形放在方格紙上觀察、比較、思考、感悟，再用幾何畫板分別展示梯形的上底、下底縮短和變長的過程，可以變成三角形、平行四邊形、長方形、正方形，豐富了學生的認知，學生的知識面也在這個過程中得到了拓展。

師：通過回顧這些圖形面積計算方法，我們更加清楚了它們之間的聯系。這些圖形的面積你會算嗎？

PPT補充：小方格均為正方形，邊長是1cm，每個方格表示1cm2。

圖1

（ ）cm2 （ ）cm2 （ ）cm2

生： ① 4×4÷2=8， ② 2×4=8， ③（1+3）×4÷2=8

師：同一幅圖中的三個不同的圖形，為什么面積都是8cm2？生根據學習單小組研究并討論后匯報，生：底和高不變。

教師根據學生回答后再酌情總結。

（PPT呈現題目，可動態呈現圖形點、邊的移動改變過程）你還會算嗎？

圖2

（ ）cm2 （ ）cm2 （ ）cm2

生： ① 4×4÷2=8， ② 2×4=8， ③（1+3）×4÷2=8

師：（PPT呈現）點、邊的位置發生變化，為什么面積都是8cm2？生：形狀改變，但底和高不變。

教師拋出問題：“看來圖形間是有聯系的，你能用連線的方式表示這種推導關系嗎？”在重構整合中，學生對各線知識的緊密聯系有全新的理解。之后，教師要使用“添加劑”—精心設計的復習資源，將知識彼此間建立關聯、融會貫通。學生在這些復習資源的輔助下，能夠形成數學知識系與知識域，才能夠在學習中豐富認識并達到再“生長”的目的。

接著，教師拋出更高層次的問題：“像這樣，面積和高都不變的圖形還有嗎？不妨轉換角度研究，將梯形、三角形、長方形這三種圖形的面積公式聯系起來。如何聯系呢？利用極限思想，尋找變量。對比三個公式我們不難發現，變化的地方是底邊的變化，梯形有上底和下底，三角形僅有一個底，而長方形的是長（上下兩個長）；不變的是都有高（長方形是寬）。那么，我們就可以選擇梯形的一個底當作變量，比如：我們選擇上底為變量，將上底趨近于0，也就是上底沒有了，此時梯形就變成了三角形。”如圖所示。

圖3

通過梯形上底的變形，使得原來孤立的知識更加連貫系統，從而培養學生“相互轉化、相互依存”的數學思維，變在本質里。

四、在情境中拓展，變在應用中

在數學多邊形復習課中，需要針對性的練習來檢測復習效果。通過重現舊知、梳理重構、對比提升，為多樣化的問題以及問題之間的聯結和轉換提供了條件，從而實現遷移應用，達到解決問題的目的。如果簡單的學習材料有不簡單的教學設計，可以讓一道題發揮最大的教學功能。引學生思考，讓學生的思維活躍起來，同時也讓這堂復習課“開花”。

請計算下面圖形的面積。（PPT出示教材中第103頁第2題）

師：（1）請打開學習單，先認真審題后互相討論一下解題思路，再獨立完成。過程中，如有問題，小組內互相交流、指導。

（2）完成后個別匯報。

（3）請同學們評價。

（4）總結方法：做這類題目有什么技巧，注意什么？（生：利用分割法，注意計算要小心。）

圖4

師：掌握不錯，我們繼續挑戰難度。

（PPT出示題目）如圖：梯形、平行四邊形、三角形的面積相等。求平行四邊形的底和三角形的底。（單位：cm）

圖5

師：（1）請打開學習單，先認真審題。

（2）學生自主完成，教師巡堂中發現部分學生不懂如何求平行四邊形的底和三角形的底。如果遇到困難，引導學生發揮小組作用，請小組內互相交流，互相指導幫助，提示：這道題的關鍵句是哪一句？

（3）完成后個別小組匯報。（匯報出解題過程及解題依據）學生匯報時，讓學生出示第二種方法，用紅筆標注上下底并標上數據。若出現底的單位錯誤，教師提示：底是長度單位，立即糾正。若沒有出現第二種方法，教師進行提示引導：還有其他方法嗎？

（4）請同學們評價。

（5）總結方法：你們發現什么？提示發現規律。

（6）同學們做對的請舉手，鼓勵全體。

估算不規則圖形的面積：每個方格表示1km2。

（PPT出示題目）估一估，從化溫泉鎮的面積不超過（ ）平方千米。

師 ：（1）請同學們觀察圖形，分析題目，“不超過”是什么意思？（生：要估大數據。）估算溫泉鎮的面積有什么方法？（生：①數方格；②看成三角形來計算。）

圖6

（2）獨立完成，教師巡視，在完成的過程中，如果遇到困難，請小組內互相交流，互相指導。

（3）完成后個別匯報。

（4）請同學們評價。

（5）總結方法：做這類題目有什么技巧，注意什么？（生：利用分割法，注意計算要小心。）

（6）同學們做對的請舉手，鼓勵全體。

學生在復習中不斷變化和成長，以此為基，教師拉動圖形，使其不斷變化，讓學生在觀察圖形的變化中，感悟了內在聯系以及圖形的本質。最后，在應用時，梯形面積計算公式成了百變應用公式。

五、在總結中提升：變在“歸一”中

數往知來，溫習舊知，收獲新知。變發生在復習時，變存在于梳理中。數學，“數”是本源，形而上“學”，教學中要“追其本，溯其源，引其思，扎其根”，“變”而不變。

1.求通

回顧整個小學階段數學的學習，不難發現，學生日常所學的知識是零碎的，開始階段只是將所學的平行四邊形、三角形和梯形（或者加上三年級所學的長方形、正方形）的面積計算公式進行了簡單的羅列，它們都是獨立存在的，各圖形之間沒有建立起聯系。通過問題引領使之系統化、條理化、清晰化，形成較為完善的認知結構。

2.求構

借助前測中多種形式的梳理，在對比中提升，構建一個網絡。如上所述，除了具體的知識點，還需以能夠連接整個知識的核心點，如教材的序列、轉換思想等，以此作為立足點，進一步引導學生探索知識之間的內在關系，讓學生反思知識點，形成知識鏈，以思考導向形式將發展變化的知識鏈結成一個知識網絡，構建脈絡清晰的知識板塊。這種深入的結構性的思考導向，不僅是重建知識的脈絡，更是重構學生的思考方式。求構就是以結構性的知識網絡來促成對知識價值的深入理解。

3.求悟

在原來的知識網絡上，再進一步創新性利用知識的共同點，直達學生的數學思想本質，從特殊到一般規律，舉一反三。最后在基礎練習中，變一變，可以有不同的應用，不同思維層次的孩子都有發揮的空間，動態地感受知識本質之間的關聯，進一步體會轉化思想，為將來的幾何學習夯實基礎，培養數學思想。

總之，復習是師生、生生互相交流、回憶、梳理、糾錯、提升的過程。基于知識網下的結構性重建復習,能以一種超脫的姿態助力學生廣度、深度的悟得。這樣的幾何復習課，除了要做“理”，把知識“縱成鏈”“聯成網”再升華“凝成線”從而讓學生識“變”，用“變”和會“變”，變出精彩。