基于雙界面滑移耦合的水泥土錨桿荷載傳遞模型

張根寶,陳昌富,徐長節,陳海軍

（1.湖南城市學院a.土木工程學院；b.城市地下基礎設施結構安全與防災湖南省工程研究中心，湖南 益陽 413000；2.湖南大學 土木工程學院，長沙 410082；3.江西省地下空間技術開發工程研究中心，南昌 33001）

錨桿錨固體系廣泛應用于巖土工程中，隨著材料組分、現場工況的迭代更新，各種新型錨桿逐漸涌現，相應的荷載傳遞機理和設計計算理論也隨之成為研究熱點[1]。錨桿材料組分中，筋體材料已從傳統的鋼筋和鋼絞線等發展到抗腐蝕性能更優的纖維增強樹脂材料[2]和應用于遺址保護的竹木材料[3]等，黏結材料也從傳統的水泥砂漿拓展到樹脂[4]以及水泥土[5]等。現場工況方面，地基層狀特性、地基土弱化特性、巖體離層作用、拉剪共同作用等復雜工況得到研究者較多關注，并有針對性地提出了具體的錨桿承載特性分析模式[6-9]。值得說明的是，雖然錨桿的組分材料和服役工況得到了進一步發展，但其承載過程分析框架變化不大，基本沿著錨固界面黏結—滑移和徑向剪應力傳播兩條路徑分析錨固體的軸力和軸向位移等響應，前者常被統稱為荷載傳遞法[10-11]，后者則被稱作剪切位移法[12-13]。近年來，也出現了基于小孔擴張理論的錨桿承載過程分析，但尚停留在設計錨固力評估和錨固界面強度預測等極限狀態分析[14]。此外，光纖光柵等測試技術的發展也促進了基于現場監測數據的錨桿承載過程的實時分析，即在受力變形分析模型中所采用的錨固界面模型可以根據錨桿軸力等監測數據進行動態調整[15]。綜合來看，荷載傳遞法和剪切位移法是基于錨桿材料和界面力學模型的解析方法，相比基于小孔擴張和光纖光柵監測的分析方法，可以實現錨桿承載全過程的力學響應預測，從而在各參數物理意義明確的條件下深入揭示錨桿荷載傳遞機理。

雖然錨桿承載涉及黏結體和筋體（T-B）以及黏結體與巖土體（B-M）兩個界面，如圖1所示，但錨桿錨固體系的設計計算一般基于最不利工況，故只需關注最薄弱界面及其相關的材料變形[16]。通常情況下，B-M界面強度弱于T-B界面，錨桿承載過程分析框架多為基于B-M界面的單界面分析，并假設TB界面不發生相對滑移[17-18]。在確定了最薄弱界面后，需要進一步確定該界面兩側的材料變形才能得到界面的荷載響應，如對土層灌漿錨桿進行受力變形分析時，一般會考慮筋體與黏結體作為錨固體的軸向拉伸變形及土體的剪切變形[6,8]；巖層灌漿錨桿分析則考慮注漿體的剪切變形和巖體的壓剪變形[13]。然而，對于水泥土錨桿，其黏結體為水泥攪拌土，強度變形特性要遜于水泥砂漿，應用地層則多為軟土層，強度特性也劣于一般黏土層，其承載過程同時伴隨T-B界面和B-M界面的剪切變形和界面強度調動[5]。因此，對水泥土錨桿進行受力變形分析時，需考慮T-B和B-M兩個界面共同剪切滑移下的協同承載，并著重分析黏結體的剪切變形和地層的壓剪變形。需要指出的是，在剪應力傳播過程中，T-B-M三者在界面附近會產生相對位移，相對位移大小決定了界面剪應力的大小，同時，界面剪應力又決定了界面附近材料的剪切變形大小并進一步影響界面相對位移的大小，因此，界面剪切強度的發揮過程涉及界面剪應力與界面相對位移之間的相互耦合[19]。

圖1 錨桿雙界面組成示意圖Fig.1 Schematic of dual-interface composition of anchor

筆者綜合荷載傳遞法和剪切位移法在錨桿承載分析中的優勢，提出一種可以考慮T-B和B-M雙界面剪切—滑移耦合的錨桿受力變形分析方法，并通過開展T-B和B-M界面黏結—滑移特性測試及水泥土中加筋體拉拔模型試驗，對該方法中荷載傳遞分析的有效性和拉拔響應預測的準確性進行驗證。

1 基本假設

1.1 邊界條件與變形模式

由于水泥土錨桿的破壞一般由界面失效引起，即界面強度一般都小于材料抗拉強度和抗剪強度[5]。為了簡化分析，進行錨桿受力變形分析時，假設加筋體一直處于線彈性拉伸階段，水泥土和土體則處于線彈性剪切階段，且不考慮剪切模量在徑向和軸向的分布變化，即分別采用彈性模量Et以及剪切模量Gb和Gm刻畫鋼筋及水泥土和土體的變形特性。

考慮到工程錨桿的自由段地層可能發生軸向變形，且錨桿現場拉拔試驗多將反力施加于錨固體直徑以外的地層表面，在受力變形分析模型中，采用均布應力邊界條件來近似模擬錨桿自由段地層和現場拉拔試驗的反力對錨固段地層表面的約束狀態（圖1）。

錨桿錨固體在雙界面承載下的變形模式如圖2所示。其主要變形特征為錨桿單元橫截面上的軸向位移從剪應力影響邊界到筋體軸線沿徑向逐漸增大，并在兩個界面上都發生相對位移。根據剪切位移法在樁基沉降計算應用中的研究結論[12-13]，界面剪應力的影響半徑可取黏結體直徑的5～10倍。

圖2 錨桿單元的變形模式示意圖Fig.2 Schematic diagram of deformation mode of elementary anchor

1.2 界面剪應力的徑向分布

筋體在拉拔力和T-B界面剪應力的作用下發生拉伸變形，受力分析單元如圖3（a）所示。黏結體在T-B界面和B-M界面剪應力作用下發生剪切變形，受力分析單元如圖3（b）所示，雙界面間剪應力徑向分布為傳統剪滯模型中的計算解答[12]，表達式為

圖3 錨桿受力分析單元Fig.3 Force analysis elements of anchor

式中：τb(r)為黏結體內剪應力的徑向分布；τt為T-B界面剪應力；rt為筋體半徑。

在B-M界面剪應力影響半徑內，地層基體主要發生剪切變形，但由于拉拔端地層表面受到壓應力作用，地層剪應力徑向分布需考慮正應力軸向分布的影響，參考巖石錨桿變形分析中采用的改進剪滯模型[13]，其分布函數可表示為

式中：τm(r)為地層基體內剪應力的徑向分布；τb為B-M界面剪應力；Ar和Br為系數，可用黏結體半徑和剪應力影響半徑表示為

1.3 雙界面的界面剪切模型

筆者曾進行過不同含水量下砂漿—土體界面及不同配比和齡期下水泥土—加筋體界面的承載特性測試，發現在土體含水量較高時，砂漿—土體界面特性可用理想彈塑性界面剪切模型刻畫[20]，加筋體—水泥土界面特性則可簡化為三折線的黏結—滑移模型[21-22]。考慮到水泥土與水泥砂漿在材料配比及凝結硬化過程等方面具有較強的相似性，且廣泛應用水泥土錨桿的軟土地層一般具有較高的含水量，故水泥土錨桿B-M界面剪切行為采用理想彈塑性模型，T-B界面剪切行為則采用三折線模型刻畫，如圖4所示。

圖4 水泥土錨桿雙界面剪切模型Fig.4 Dual interface bond-slip models of soil mixing anchor

2 公式推導

由于拉拔力直接作用于錨桿筋體上，在受力分析時以筋體為主要對象，列出圖3（a）中筋體單元拉伸應力—應變關系及靜力平衡方程，可以得到

式中：P(x)為筋體在坐標x處的軸力；ut(x)為筋體在坐標x處的位移；τt(x)為坐標x處的T-B界面剪應力；rt為筋體半徑；Et為筋體彈性模量。

聯立式（3）和式（4），可得

為方便公式推導，統一采用切線法來表示T-B界面和B-M界面的界面剪切模型，其示意圖如圖5所示，相應的表達式為

圖5 界面模型的切線法表示示意圖Fig.5 Schematic diagram of tangential form of interface model

式中：τm(x)為坐標x處B-M界面的剪應力；δt(x)和δm(x)分別為坐標x處T-B界面、B-M界面的剪切位 移；kt、ct以 及km、cm分 別 為T-B和B-M界 面 模 型上對應δt(x)和δm(x)的切線斜率以及該切線在界面剪應力軸上的截距。

由于T-B界面和B-M界面剪應力屬于黏結體剪應力分布的邊界條件，根據式（1）可得

假設T-B界面和B-M界面黏結—滑移模型的函數表達式分別為

錨桿上任一點xi對應的T-B界面模型切線參數kti、cti及B-M界 面 模 型 切 線 參 數kmi、cmi可 分 別 表示為

根據圖2中的變形模式，T-B界面剪切位移δt（x）和B-M界面剪切位移δm（x）可分別表示為

式中：ubt(x)和ubm(x)分別為坐標x處黏結體在T-B界面和B-M界面的軸向位移；um(x)為坐標x處地層基體在B-M界面的軸向位移。

黏結體和地層基體的軸向位移來源于剪切變形在徑向的累積，不同半徑處的軸向位移差可以采用剪滯模型計算，因而黏結體在T-B界面和B-M界面的位移差，及地層基體在B-M界面剪應力影響半徑內的累積位移可分別表示為

式中：Gb和Gm分別為黏結體和地層基體的剪切模量；tb為黏結體與筋體的半徑差；bm為B-M界面剪應力影響半徑與黏結體的半徑差。

聯立式（1）和式（11a），可得

式中：Cr為與尺寸參數和黏結體剪切模量相關的系數，表達式為

聯系式（2）和（11b），可得

式中：Dr為與尺寸參數和地層基體剪切模量相關的系數，表達式為

聯立式（10）～式（13），可得

將式（6）代入式（14），可以得到錨桿T-B界面剪應力與筋體位移之間的關系式

需要說明的是，由于τt-ut關系是進行荷載傳遞法t-z分析的關鍵，此處沿用荷載傳遞法中的表達形式，其中,Ku和Cu分別為

將式（15）代入式（5）可得錨桿雙界面受力變形分析的控制微分方程。

式中：Au和Bu為待定系數，可分別表示為

需要注意的是，Au和Bu的表達式中包含T-B界面和B-M界面的界面模型參數kt、ct和km、cm，這4個參數需要根據界面相對位移δt(x)和δm(x)來確定，而界面相對位移的確定則需要筋體位移ut(x)。因此，雖然式（16）在形式上為非齊次線性二階偏微分顯性方程，但本質上為高度非線性的二階偏微分隱性方程，其解析或半解析求解涉及復雜的公式推導，計算難度較大?？紤]到微分方程待定系數的確定涉及迭代計算，可以采用數值計算方法對方程進行求解。已有研究者將有限差分方法引入巖石錨桿的受力變形分析計算中，計算效果較好[10-11]，故沿用該方法對方程式（16）進行有限差分數值求解。

3 模型解算

數值計算的基礎是對錨桿的離散化處理，如圖6所示，錨桿黏結段被n個結點均勻分成n-1個單元微段，每個單元長度為La( )n-1，從自由端到拉拔端對結點進行編號，相應的第i個結點的坐標可表示為

圖6 錨桿黏結段的離散化示意圖Fig.6 Schematic diagram of discretization of anchor bonding segment

將式(16)轉換成對應的有限差分形式，表達式為

式中：Aiu和Biu分別為Au和Bu對應坐標xi的取值。

按照結點位移順序對式（18）進行整理，可得

相應地，錨桿黏結段自由端(結點x1)和受荷端(結點xn)的邊界條件可分別表示為

式中：Ppre為作用在受荷端的拉拔力的預測值。

按照圖7所示的求解流程圖，根據式（18）～式（21）編制MatLab程序對方程進行迭代求解，其具體步驟如下：

圖7 錨桿荷載傳遞方程的求解流程Fig.7 Flow chart of solving load-transfer equation of anchor

1）根據離散分段數，由式（17）確定每個結點的坐標xi；將材料參數和尺寸參數代入式（12b）和式（13b），確定參數Cr和Dr的取值，需要說明的是，這兩個參數取值與結點坐標無關。

2）根據拉拔力P0假定錨桿黏結段自由端的筋體位移ut(x1)，將其代入式（15），確定τt(x1)-δt(x1)的關系，聯合T-B界面黏結—滑移模型的函數表達式，即式（6a），確定結點x1處對應的T-B界面剪應力τt(x1)和界面剪切位移δt(x1)；將T-B界面剪切位移δt(x1)代 入 式（14），確 定B-M界 面 剪 切 位 移δm(x1)；將界面剪切位移δt(x1)和δm(x1)代入式（8）和式（9），確定切線參數kt1、ct1及km1、cm1，并代入式（15）和式（16）確定參數A1u和B1u；將ut(x1)、A1u和B1u代入式（20），確定ut(x2)。

3）根據ut(x2)的取值，重復步驟2），確定參數和；將ut(x1)、ut(x2)及A2u、B2u的 值 代 入 式（19），求得ut(x3)的取值。

4）重復步驟2）和步驟3），通過迭代式（19）求得其他結點的參數Aiu、Biu及位移ut(xi)的取值。

5）將ut(xn-1)、ut(xn)及Anu、Bnu的 值 代 入 式（21），求得Ppre的取值；按式（22）評估拉拔力預測值Ppre與實際值P0的誤差。

若式（22）成立，則輸出所有結點位移ut(xi)；否則，更新步驟2）中ut(x1)的假定值，重復步驟2）～步驟5），直到式(22)得到滿足。

6）將求得的結點位移ut(xi)、界面剪應力τt(xi)代入式（5），確定錨桿筋體的軸力分布。

4 計算參數的試驗確定

4.1 試驗方案

為了對提出的荷載傳遞分析框架的有效性進行驗證，分別開展單元體尺度和大尺度水泥土的鋼管拉拔試驗，兩個尺度的試樣尺寸參數如表1所示。

表1 兩個尺度的水泥土錨桿拉拔試驗的試樣尺寸參數Table 1 Dimension parameters of testing specimens of soil mixing anchor pull-out test in two scales

為了消除試樣套筒的邊界效應，試樣的筋體與水泥土直徑比均不高于0.2[21-22]。兩種尺度的試驗采用相同的水泥土（20%水泥摻入比，65%含水量以及28 d養護齡期）和筋體（直徑40 mm的光面鋼管），前者作為錨固界面特性測試用以確定界面模型參數，后者作為模型試驗用以驗證分析框架對拉拔響應預測的準確性?？紤]到水泥土錨桿B-M界面滑移量測可控性難以保證，水泥土內剪切帶的變形發展同樣適用該變形模式，試驗未進行B-M界面變形量測，而是將T-B界面剪切帶與非剪切帶形成的變形差異界面作為B-M替代界面處理。此外，為了確定水泥土材料的力學參數，進行了水泥土的無側限壓縮試驗。上述試驗現場如圖8所示，具體試驗步驟可參閱筆者前期研究報道[21-22]，此處不再贅述。

圖8 水泥土錨桿試驗現場Fig.8 Laboratory view of soil mixing anchor tests

4.2 筋體與水泥土力學參數

水泥土無側限壓縮試驗測得3個平行試樣的壓力—位移曲線如圖9所示，根據曲線峰值點和線性段斜率計算水泥土的強度和變形參數。需要說明的是，模型計算中水泥土彈性模量取用平行試樣試驗結果的均值，水泥土剪切模量根據彈性模量和泊松比推算求得[23]；試驗用鋼管為商用采購品，其鋼材彈性模量在產品出廠參數中給出，依據截面等效剛度原則，鋼管彈性模量可由鋼材彈性模量確定，具體參數取值如表2所示。

圖9 水泥土平行試樣的壓力—位移曲線Fig.9 Compression-displacement curves of parallel specimens of cemented soils

表2 筋體和水泥土力學參數Table 2 Mechanical parameters of tested reinforcement and cemented soils

4.3 錨固界面模型參數

水泥土錨桿單元體拉拔試驗測得的界面黏結—滑移曲線如圖10所示?？梢园l現，兩個平行試樣的曲線較為接近，表明試樣的一致性控制較好，可取用均值曲線刻畫界面特性?？紤]到上述公式推導中界面模型已采用切線法表示，故采用三折線模型對均值曲線進行擬合，如圖10所示，獲得的界面模型參數取值如表3所示。

圖10 界面模型擬合均值曲線Fig.10 The fitted mean curve of interface model

表3 界面模型參數取值Table 3 Parameter values for interface model

5 模型試驗結果對比

上述水泥土錨桿試驗中所用的錨桿試樣未引入巖土體，即錨固界面只涉及T-B界面。考慮到錨桿拉拔過程中水泥土在T-B界面附近會形成一定厚度的剪切帶，為了匹配雙界面荷載傳遞分析框架的變形模式，將剪切帶內水泥土看作圖2中的黏結體，將剪切帶外的水泥土看作巖土體，剪切帶內外邊界上不發生滑移。結合界面和水泥土特性測試所獲得的力學參數及模型試驗的尺寸參數，應用本文提出的荷載傳遞分析框架對水泥土錨桿模型試驗的拉拔力學響應進行預測。將預測結果與量測結果進行對比，如圖11所示。

圖11 錨桿力學響應預測—量測對比Fig.11 Comparison between predictions and measurements for mechanical response of soil mixing anchor

從圖11（a）可以看出，拉拔力—鋼管加載端相對位移曲線的計算結果與量測數據的整體走勢比較吻合，同一拉拔力對應的相對位移量測值比計算值偏大。產生這種偏差的原因在于，直接采用無側限壓縮試驗數據作為水泥土壓縮模量可能會高估水泥土的變形模量。值得說明的是，拉拔力—鋼管自由端位移計算曲線與量測數據更為接近，考慮到該曲線本質上是界面黏結—滑移模型在更大尺度下的宏觀表現，表明單元拉拔試驗測得的界面黏結特性可以較準確地反映模型試驗中的實際界面行為。由圖11（b）可以看出，根據模型計算得到的鋼管軸力分布與量測數據吻合良好，在拉拔力較小時，軸力計算值略低于量測值；在拉拔力接近峰值和在峰值后下降時，軸力計算值則略高于量測值。由于較小的拉拔力對應界面的最大剪應力尚未達到界面黏結強度，峰值附近的拉拔力對應界面的最大剪應力已經達到界面黏結強度且部分處于界面軟化階段，因此可以判斷，在彈性段采用界面黏結—滑移模型會高估界面實際剪應力，在軟化段則會低估界面實際剪應力。整體來看，軸力分布的計算值和量測值差異不大，說明采用錨桿單元拉拔的界面測試結果來刻畫模型試驗中的界面黏結特性是可以接受的。

表4比較了模型試驗中鋼管極限拉拔力及對應相對位移的計算值和量測值?？梢钥闯?，基于界面單元測試結果提出的水泥土錨桿雙界面荷載傳遞分析模型可以較準確地預測筋體的極限拉拔力，預測偏差低于5%。此外，達到極限拉拔力所需的加載端相對位移的計算偏差低于15%，說明所采用的改進剪滯模型對水泥土實際變形響應的刻畫效果大致可以接受，但仍有進一步優化的空間。

表4 錨桿極限拉拔力及對應位移的計算值與量測值對比Table 4 Comparison between calculated and measured values for ultimate pullout resistance and corresponding displacement of anchor

6 結論

提出一種可以考慮界面滑移耦合的水泥土錨桿雙界面承載受力變形分析方法。通過開展水泥土錨桿單元體界面測試和水泥土力學試驗確定該方法中所需計算參數，并進一步開展水泥土錨桿拉拔模型試驗，對該方法對錨桿拉拔響應的預測效果進行了對比分析。主要結論如下：

1）錨固界面強度的發揮程度由界面兩側材料的相對位移決定，由于剪應力在界面兩側的連續性，界面兩側材料的變形存在明顯的耦合效應。

2）界面剪應力在徑向的傳播與分布會受到正應力軸向分布的影響，計算剪切變形時應對剪滯模型進行修正。

3）基于切線法的界面剪切模型可對理想彈塑性和應變軟化等不同錨固界面的黏結—滑移特性進行統一表達，從而有效提高錨桿荷載傳遞模型的解算效率。

4）水泥土錨桿雙界面承載分析方法可以有效連接基于錨桿拉拔的單元體界面測試結果和大尺度模型試驗結果，從而建立從單元體尺度錨固界面特性到大尺度錨桿拉拔響應的分析框架和預測模型。