基于MATLAB 分析控制系統的穩定性

鄧珊珊，李自成，黃林俊，王長生，倪 銘

（成都理工大學工程技術學院，四川 樂山 614000）

1 概述

本文主要討論關于控制系統穩定的條件以及幾個常用來分析系統穩定性的判別方法，并簡單解釋通過MATLAB 軟件輔助如何分析系統的穩定性。在控制系統中，系統的穩定性是十分重要的，一個不穩定的系統是毫無意義的。對于一個正處于平衡狀態的系統，當其受到干擾后，它的平衡狀態將不能繼續維持，如果在干擾消失之后，系統能夠以充分的精準度恢復到最開始的平衡狀態，我們則稱這是一個穩定的系統；反之，則表明這是不穩定的系統[1-4]。

當不穩定的系統的外部或者內部受到一些其他干擾時，就算這些干擾很輕微，持續很短，也依舊會讓系統中的各物理量背離它原來的平衡點，并隨時間的發展而發散，導致系統即使在干擾消失后，也不可能復原成最初的平衡狀態。由此可知，一個不穩定的系統是沒有辦法正常進行工作的。所以，分析系統的穩定性然后提出保證穩定性的措施，是自動控制的基本任務。

2 系統穩定的條件

一般反饋系統由前向通路傳遞函數G(s)和反饋通道傳遞函數H(s)，系統的傳遞函數為：

我們令系統的傳遞函數的分母等于零，便能寫出這個系統的特征方程：

根據穩定性的定義，線性系統受到擾動的作用而使輸出量x0(t)發生偏差，產生一個Δx0(t)，若擾動消失后經過足夠長的時間，該偏差的絕對值能小于一給定的正值ε(ε→0)，即：

則系統是穩定的，反之則系統是不穩定的。

3 勞斯穩定判據

應用MATLAB 直接求解特征方程根：調用MATL AB 提供的直接求解特征根的函數roots（），可以進行穩定性分析。設系統特征方程如下所示，在MATLAB命令窗口中其系數可表述為：

然后按照下述方式調用roots（）函數：

返回值r就是以列向量形式表示的特征根。

應用函數roots（）求解特征方程時，如果特征方程中自變量s 的某次冪的系數為零（即缺少某次冪的項），那么在應用MATLAB 建立系數向量時，應在對應位置添加系數零。

試舉例：某系統的特征方程為3s4+10s3+5s2+5s+2=0，試用勞斯穩定判據判斷系統的穩定性。

顯然第一列符號有一負數，說明該系統不穩定。實際上，可以通過MATLAB 的Root 命令求解系統特征方程的根，得到的系統特征根為-2.93，0.0222±0.7142i，-0.4453，因為在右半s 平面有一對共軛復根，所以該系統不穩定，這與用勞斯判據判斷的結果一致。

4 奈奎斯特穩定判據

4.1 奈奎斯特穩定性判據

記P為開環頻率特性G(jω)H(jω)在[s]平面的右半面的極點數，N為Nyquist 曲線順勢正包圍點(-1,j0)的次數，Z=N+P；若Z=0，則閉環系統穩定；若Z≠0，則閉環系統不穩定。

4.2 應用MATLAB 繪制Nyquist 圖

在MATLAB 控制工具箱中提供了Nyquist（）函數，可用于直接繪制Nyquist 圖，其常用的調用格式為：

5 伯德穩定判據

5.1 伯德穩定判據

在Bode 圖上，當ω由0 →+∞時，在開環相對數幅頻特性為正值的頻率范圍內，開環對數相頻特性對-180°線的正負穿越次數的代數和為

特別當p=0 時：ωc＜ωg，閉環系統穩定；ωc=ωg，閉環系統臨界穩定；ωc＞ωg 閉環系統不穩定。

5.2 應用MATLAB 繪制Bode 圖

伯德圖由兩張圖組成：一張是對數幅頻特性，另一張是相頻特性圖。在MATLAB 控制工具箱中提供了Bode（）函數，可用于直接繪制Bode 圖，其常用的調用格式如下：

試舉例：某系統開環傳遞函數為：

試繪出系統的Bode 圖與Nyquist 圖，并判斷閉環系統的穩定性。

解：MATLAB 程序如下：

運行程序可得圖1、圖2，可知閉環系統穩定。

圖1 Bode 曲線

圖2 Nyquist 曲線

6 系統的相對穩定性

6.1 相角裕度

當奈奎斯特曲線的幅值為1 時，其相位角φ(ωc)與-180°（即負實軸）的相角差γ，稱為相角裕度γ。當相角裕度大于零時，相位裕度為正，由此可以得出閉環系統穩定；當相角裕度剛好等于零時，則說明奈氏曲線恰好通過(-1,jo)點，可知系統正處于臨界穩定狀態；當相角裕度小于零時，相位裕度為負，可知閉環系統不穩定。

6.2 增益（幅值）裕度Kg

其表述為：奈氏曲線與負實軸相交處的幅值的倒數。當增益裕度大于1 時，可以知道閉環系統穩定；當增益裕度剛好等于1 時，則表示系統剛好在臨界穩定的狀態；當增益裕度小于1 時，可知閉環系統不穩定。

如想要確定系統的相對穩定，必須用這兩個值共同判斷。

6.3 應用MATLAB 繪制Nichols 圖

在MATLAB 工具箱中提供的函數nichols（），可用于直接計算或繪制線性定常系統的對數幅相頻率特性（稱為Nichols 圖），其常用的調用格式如下：

試舉例：系統的開環傳遞函數：

試繪制系統的Nichols圖，并討論閉環系統的穩定性。

Nichols 圖曲線如圖3、圖4 所示，由圖可知閉環系統是穩定的，幅值裕量為9.39dB，相角裕量為47.1°。

圖3 Nichols 曲線幅值裕量

圖4 Nichols 曲線相角裕量

7 結語

通過使用MATLAB 軟件仿真對控制系統進行直接求根、繪圖的方式可以使分析更加便捷。在過程中借助不同的判定方式調用不同的函數繪制曲線分析系統的穩定性，不僅能使復雜抽象的判別方式變得理解簡便，也能對有關內容有更加系統的認識，更好地理解有關穩定性的理論知識，并加強使用計算機解決問題的能力。