以學生為中心的復變函數(shù)教學研究

唐 麗

(綿陽師范學院數(shù)理學院，綿陽四川 621000)

0 引言

復變函數(shù)是高等院校數(shù)學專業(yè)的專業(yè)必修課，具有知識點多、難度大的特點.傳統(tǒng)的教學方法往往著眼于知識本身的傳授，教學方法單一，且過于強調教師在課堂上的主導地位，忽視了學生的主觀能動性，使學生處于被動的學習地位，抑制了學生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，導致學生對這門課學習興趣不高，教學效果不理想.在全面實施素質教育，以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力為核心的大環(huán)境下，需不斷地推進復變函數(shù)教學改革，適應國家對人才培養(yǎng)的要求，是目前教師必須深思的一個課題.

近年來，OBE(Outcomes-based Education)的教育理念深入到高等教育的各個方面與各門課程中.而這一理念凸顯了以學生為中心，產出為導向.如何在各科課程教學中做到以學生為中心，則是所有教師應重點考慮的問題.近年來，大量的教學法應用在教學實踐中，比如任務驅動法[1]、直觀教學法、研究性教學法[2-3]、對比教學法[4]、類比教學法[5]、案例教學法、PLB(Problem-Based Learning)法等.結合多年的教學經驗，筆者認為：盡管上述教學法都各有優(yōu)勢，但若是在教學過程中，課堂沒有能引起學習者興趣的學習環(huán)境，雖然采取了不同教學方法的融合，但其教學結果同樣會不盡人意.

本文(1)探討了教師如何創(chuàng)設能引起學習者經驗的學習環(huán)境，且這種經驗能促進學習者的知識產生變化；(2)討論了如何根據教學內容的要求將幾種不同教學法融為一體的運用在復變函數(shù)課堂，有助于培養(yǎng)和造就學生的認知能力、創(chuàng)新能力，并能使學生將“知識”迅速轉化為“能力”；(3)說明了如何激發(fā)學生與環(huán)境互動來創(chuàng)造各種經驗，以引起自身知識的變化.

1 復變函數(shù)教學研究

在復變函數(shù)教學研究的環(huán)節(jié)中，以“學生為中心”，本文從以下三方面來進行討論：首先是創(chuàng)造能引起學生經驗的學習環(huán)境，把學生引入一種與學習主題有關的情景中；其次，通過對比、類比等教學方法的運用，讓學習者能更深入理解課堂知識；最后，激發(fā)學習者與環(huán)境的互動.

1.1 創(chuàng)造能引起學生經驗的學習環(huán)境

這里所講的學習環(huán)境，不是學習者周圍是否安靜這類通常意義上的外在環(huán)境，而是與動態(tài)的學習進程緊緊聯(lián)系在一起的一個動態(tài)概念，是學習活動展開的過程中賴以持續(xù)的情況和條件[6].在動態(tài)學習環(huán)境中，教學者創(chuàng)設有利于學習者對所學內容的主體進行理解的情景——創(chuàng)設問題情景，從而制造 “不協(xié)調”，把學生引入一種與問題相關的情景的過程，達到一種從“不協(xié)調—探究—深思—發(fā)現(xiàn)—解決問題”的一個自覺的過程.比如，為了讓學生理解并深入理解復變函數(shù)連續(xù)的概念，教師先考慮實函數(shù)(兩個變量之間的問題)連續(xù)的概念.針對實函數(shù)連續(xù)的定義，侯世達[7]把它想象成一個以點(x0,f(x0))為中心的“小方盒”，本文稱它為“如意小方盒”(當學習者首次聽到“如意小方盒”的概念，就是疑惑：與今天的學習內容有關嗎？)無論學習者希望f(x)多么靠近f(x0)(這一想法都可以轉化成一個矮盒子的形象，其中函數(shù)值在垂直方向非常近，即|f(x)-f(x0)|<ε)，最后都可以把盒子想象得非常窄(?δ)，窄到所需條件在其中任何地方都成立(這一條件可以轉化為|x-x0|<δ)，最終一切都聚焦到尺度任意小的函數(shù)圖像上.換言之，矮盒子的形象非常具體的把實函數(shù)連續(xù)的定義以動態(tài)的形式呈現(xiàn)出來.當課堂中教師通過動態(tài)圖展式這一變化過程時，學習者對連續(xù)的概念有了不一樣的理解：原來，在連續(xù)概念中，變量x的變化可以對應到如意小方盒的寬窄，函數(shù)值的變化則可以對應到小方盒的高矮.因此，在實函數(shù)連續(xù)概念這一學習環(huán)境中，進而學生在學習復變函數(shù)(四個變量之間的問題)連續(xù)的概念時就變得順理成章.有學習者提問：既然函數(shù)值的變化能影響到小方盒的高矮，那這個小方盒的變化也可以影響到另一個小方盒.可不可以利用兩個“如意小方盒”來解決復變函數(shù)連續(xù)的問題呢？ 這就是學習者的知識在不知不覺中產生了變化.

為了創(chuàng)設更好的學習環(huán)境，教師可以利用發(fā)達的移動通訊設備，結合學習者喜歡玩手機的心態(tài)，在線發(fā)布預習試題進行預習檢驗.當然，這一手段的創(chuàng)設，是為了更好地調動學生的積極性，同時也對即將學習的內容起到承上啟下的作用.并且通過這種手段，可以對學習者的學習起到監(jiān)督的作用.當然，這些在線發(fā)布的測試題不能過于難，否則會打擊學習者的積極性.

1.2 對比、類比教學法

“概念獲得”是Bruner(1973)提出的一種教學策略，Joyce和Weil(1986)予以普及開來：“它能通過讓學生比較與對照兩種不同的例子(范例)——包含概念屬性和不包含概念屬性的例子，幫助學生獲得一個概念”[8].為學生提供了有利的學習環(huán)境后，根據教學內容的不同，教師可以采取不同的教學方法進行適當融合.由于本文主要是針對概念教學，因此主要就對比、類比的教學方法的融合進行詳細介紹.對比就是通過運用對照的方法來明確事物之間的相同點和不同點的思維過程的方法.因此需要在知識深度和廣度的基礎上，以比較為基礎，找出兩個不同對象之間的相同點和不同點.然后以此作為依據，將有關知識和理論平移到另一對象上.作為思考之源和思維之火的類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應具有這種相同屬性的推理.類比思想是理解新情境和構建新概念的關鍵.在我們剛開始接觸到新的知識時，比較好的方式是利用樸素類比[7]來理解科學概念.樸素類比是把新環(huán)境比作熟悉的東西，可以讓我們對新環(huán)境至少有一個大體上的理解，與通過構建情境之間的映射經由刻意思考完成的標準類比是不同的.樸素類比直接指向結論，而沒有考慮其他選擇，并且不會產生任何不確定的結論或疑慮[7].比如實函數(shù)連續(xù)的概念[9-10]：

定義1函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內有定義，若對任給的ε>0，存在正數(shù)δ(ε)，使得當|x-x0|<δ(ε)時，有|f(x)-f(x0)|<ε

相較于實函數(shù)連續(xù)的定義，有復變函數(shù)連續(xù)的定義[11-12]：

定義2設函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在集E上確定，并且集E上的聚點z0∈E，如果對任給ε>0，可以找到一個與ε有關的正數(shù)δ=δ(ε)，使得當z∈E，并且|z-z0|<δ時，有

|f(z)-f(z0)|<ε

為了讓學生能深入理解復變函數(shù)連續(xù)概念，在教學中采取對比和類比同時進行.同時教師還通過網絡實時發(fā)布相應的測試題讓學習者進行練習；并且可以根據在線測試的結果，教師可以及時對課堂教學進度進行調整.

1.2.1 對比教學法 從實變函數(shù)與復變函數(shù)連續(xù)定義的形式來看，除個別字母表示不同之外，二者形式上完全一樣.如果復變函數(shù)連續(xù)的定義用文字敘述進行講解，初學者則有可能產生思維定勢，直接把數(shù)學分析或高等數(shù)學中的實變函數(shù)連續(xù)概念照搬過來進行理解，有的同學還從左右連續(xù)的概念來理解復變函數(shù)連續(xù)的概念.如果是這樣的學習效果，則是沒有弄清楚實函數(shù)與復變函數(shù)連續(xù)的區(qū)別.當然，在創(chuàng)造能引起學生經驗的學習環(huán)境后，這種情況應該不會發(fā)生.此時，采用對比教學法從幾何的角度來處理這兩個概念，就會使得二者的差異性不言而喻.

圖1 y=f(x)的幾何意義Fig.1 The geometric significance of y=f(x)

首先，從幾何方面來進行對比.

圖1、圖2實函數(shù)與復變函數(shù)連續(xù)的幾何意義進行對比：圖1的實函數(shù)是在一張平面上來處理它的幾何意義，而圖2的復變函數(shù)是在兩張平面上來處理它的幾何意義；其次，結合“如意小方盒”，實函數(shù)對應的是一個如意小方盒，而復變函數(shù)對應的是兩個“如意小方盒”.通過這樣的對比，生動形象，差異性直觀且可視化，兩個概念的區(qū)別也就直觀形象，這對學生而言會產生更加深刻的視頻印象，這是對比帶給學生的效果.

圖2 w=f(z)的幾何意義Fig.2 The geometric significance of w=f(z)

圖3 望遠鏡Fig.3 A telescope

1.2.2 類比教學法 在采取了對比的方式之后，為了進一步加深學生的印象，能否利用學習者熟悉的事物來理解這些抽象概念？侯世達[6]把實變函數(shù)連續(xù)想象成一個以點(x0,f(x0))為中心的小方盒，進而與熟悉的事物相關聯(lián)，例如放大鏡、顯微鏡等.而要想徹底理解復變函數(shù)連續(xù)幾何意義，前提是要理解復變函數(shù)的幾何意義.但由于復變函數(shù)涉及到4個變量，若畫圖則需要在四維空間處理，顯然目前沒法具體操作，因此把它們放在兩張平面上.但對于在兩張平面上理解這個概念學習者依然覺得很難，以至于對復變函數(shù)映射的概念學習者總是覺得很抽象.因此，利用學習者提出的“兩個如意小方盒來解決復變函數(shù)連續(xù)的事情”進行深入討論.借鑒于侯世達所講的如放大鏡、顯微鏡這類的熟悉物體，因此，采用望遠鏡這一物體來處理復變函數(shù)的連續(xù).如圖3可以把它想象成分別以z0為中心的物鏡，和以f(z0)為中心的目鏡的望遠鏡.無論希望f(z)多么靠近f(z0)或者說多么想看清楚距離f(z0)無窮近的地方f(z)物體的特點，都可以在以z0為中心的物鏡上，一個半徑(?δ)短到所需條件在圓域里任何地方都成立.同樣地，最終一切都聚焦到尺度任意小的函數(shù)圖像上.

顯然，大家通過日常所熟悉的經歷(物鏡和目鏡)對復變函數(shù)概念進行類比，進而理解這些知識點，可以很快消化吸收在課堂上所學習的知識，同時擴展學生思考思維.這樣的類比，比純粹的實函數(shù)與復函數(shù)的連續(xù)定義的對比要來得生動，同學們有身邊的事物可以進行聯(lián)想和聯(lián)系，同時也會讓同學們更加容易解釋這些概念背后的東西，讓同學們得到啟發(fā)：既然連續(xù)的概念可以這樣進行聯(lián)系，那么復變函數(shù)可導的定義也可以嘗試這樣的樸素類比，讓同學們能夠迅速掌握這類概念和定理.

由此可見，在創(chuàng)造了合適的學習環(huán)境后，通過對比類比，幫助學生獲得了一個概念.

1.3 激發(fā)學習者與環(huán)境互動

通常說，興趣是學習最好的老師.可是興趣從哪里來呢？教育者應該考慮在互動中如何讓學習者有成就感？比如，在一堂新課中，如何讓學習者能感到他已有的知識對這堂課是有幫助的？只要是學習者，無論小朋友還是大朋友，只要讓學習者感到在腦力勞動中取得“樂”的喜悅，而這個“樂”也就是孔子所講的“不亦說乎”，那么學習者就會因為這個“喜悅的成就感”而有興趣.這樣的課堂效率才高.因此，在復變函數(shù)課堂中，教育者抓住學習者樂玩手機的特點，讓他們在手機上做一些與學習、課堂有關的事情——在線測試題就是其中之一，讓他們能從中得到真正的“成就感”，從而推動了復變函數(shù)課堂的教學.

除此之外，若是在一堂課讓學習者感覺這個事情不難，容易做到，也會為學習者帶來“喜悅的成就感”.因此，教師可以在課堂中適當插入復變函數(shù)相應的歷史發(fā)展，讓學生了解數(shù)學家究竟是怎么做出這些偉大的成就，從而增強學習的信心.比如，當初復變函數(shù)理論還沒有建立之前，高斯在和威索(Wessel)通信討論復變函數(shù)時寫到，既然復數(shù)有了函數(shù)的概念，那它有沒有類似微積分的結論呢？(那個時候實變函數(shù)的微積分理論已經建立).因此，數(shù)學家沿著實函數(shù)微積分理論的道路研究復變函數(shù)，開辟了復變函數(shù)理論.這樣讓學生了解數(shù)學家創(chuàng)立復變函數(shù)理論的過程.并且，教學中可以通過實變函數(shù)的連續(xù)概念推廣到復變函數(shù)的連續(xù)概念，向學生進一步展示數(shù)學家創(chuàng)造數(shù)學概念的過程即通過對比已有的概念，來猜測建立新的東西.這個過程對學習者具有啟發(fā)作用，讓其感受科研工作究竟可以怎么來做；有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探索精神，同時有助于學生創(chuàng)新素質的養(yǎng)成.

2 復變函數(shù)連續(xù)中的思政

今天的課堂，要求教育者不僅傳授知識，而且還要傳遞情感.而思政是一個很好的手段.思政，不是教條式說無用的鼓勵話，而是可以讓學習者更主動地參與學習，主動參與課堂.因為關于人的動機和主動參與，有一個高效的促進因式——自我系統(tǒng)[13],而自我系統(tǒng)由客我和主我所構成[14-15],其中客我是一種正在運作的自我概念，能在特定的情境中產生各種動機和自我調節(jié)策略.也就是說，思政可以讓學習者在課堂中產生一種主動性.通過對比和類比知道，實變函數(shù)連續(xù)概念中的變量x從左右兩邊趨近于定點x0到復變函數(shù)連續(xù)概念中變量z從四面八方趨近于定點z0的變化方式可以看出，復變函數(shù)的環(huán)境發(fā)生了翻天覆地的變化.于人而言，雖然有“條條大路通羅馬”，但無論哪條路，人要想讓自己更上一層樓，則必須通過改善自己的生存環(huán)境或更加適應生存環(huán)境來實現(xiàn)自己的目標.因此，教師暗示這個概念學習者完全可以學得很好，使得學習者產生共鳴：認為自己有能力在這堂課中表現(xiàn)得很好，那么課堂所介紹的主題是可以激起學習者的學習主動性.正所謂，讀數(shù)學就是讀人生.

3 結束語

以學生為中心的課堂，從學習者角度來設計教學方法，才是有效的教學方法.教師需站在學習者的角度，針對不同的知識點采取合適的教學策略和方法，即使是幾種教學方法融為一體的來處理課堂知識，只要能引起學生的注意，能調動學習者主動加入到課堂中來，能使學習者更好理解知識，那么這種教學設計就是好的.在本課堂中，以復變函數(shù)連續(xù)概念為知識點，首先從大家熟悉的知識點入手，通過幾何對比，讓學習者理解得更透徹；再利用學習者熟悉的事物類比闡述這個概念，讓學生在自己的親身經歷中進行知識的學習.這樣的處理，使抽象知識具體化，使得學生能體會到知識在我們生活中的實際運用.總體而言，我們在研究各種適合的教學方法時，創(chuàng)新地把學習者手中的移動通訊工具合理的利用起來，并且能讓學習者主動點開相應的APP進行學習，有效的調動了學習者的積極性；其次，讓學習者在課堂不知不覺地體會研究離我們普通人也是很近的；最后，思政也可以讓學習者更主動地參與課堂，并有一種成就感.

正是采用這樣一種“以學生為中心”的教學策略，使得面對難度系數(shù)很大的復變函數(shù)課程，學習者依然還能積極主動地進行學習，并且能主動地對其中的一些知識和數(shù)學分析的知識進行對比、類比，找出它們的相同點和不同點.最后，從學習通統(tǒng)計數(shù)據可以看出，98%以上的學生能主動進行學習，且能按要求完成80%以上的教學內容的學習；從最后的教學結果可以看出，學生對復變函數(shù)的基本概念、基本方法和基本理論的掌握要明顯好于以往，甚至出現(xiàn)了滿分的情況.