基于系統(tǒng)動力學的新冠肺炎疫情仿真分析

王啟云，鄭中團

（上海工程技術大學數(shù)理與統(tǒng)計學院，上海 201620）

0 引 言

研究可知，學者專家對于傳染病疫情的演化路徑以及模型預測于十八世紀就開始了，主要以傳染病動力學模型為基礎對疫情的發(fā)展進行研究和分析為主［1－4］。 COVID－19 疫情爆發(fā)以來，全球許多學者都對這次的疫情進行了研究和預測。 Yang 等學者［5］利用改進的SEIR 模型得到新冠肺炎的流行曲線，并使用人工智能方法來研究疫情。 范如國等學者［6］基于復雜網絡理論，對3 種情況下的疫情拐點進行了預測。 嚴閱等學者［7］引入時滯過程，提出了基于時滯動力學系統(tǒng)的傳染病模型，并有效地預測了疫情未來的發(fā)展。 劉紅亮等學者［8］利用甘肅省出現(xiàn)病例以來最初8 天的確診數(shù)據(jù)，基于系統(tǒng)動力學構建了新冠肺炎患者變動分析模型。 路雪鵬等學者［9］基于系統(tǒng)動力學提出了一種擴展的SEIR 模型，對新冠病毒的傳播過程進行研究。 這些模型考慮了傳染病的傳播機理，能夠很好地解釋傳染病的傳播過程，但大部分并沒有考慮到新冠肺炎的多種人群狀態(tài)，會忽略無癥狀感染者、潛伏人群的傳染性等，盡管一些學者對COVID－19 疫情的傳播進行了仿真與建模，但是以上海市作為仿真對象的研究卻仍有不足。

針對這些問題，考慮到上海疫情中無癥狀感染者所占比例較大的實際情況，本文提出了SEIGQ 模型并基于系統(tǒng)動力學進行模擬仿真，首先，在經典的SEIR 動力學模型的基礎上加入了不易感人群，將感染者劃分為有癥狀感染者和無癥狀感染者，將隔離人群劃分為治愈人群和死亡人群，并考慮潛伏人群的傳染性；其次，基于系統(tǒng)動力學對SEIGQ 模型進行模擬仿真，探討2022年上半年的上海市新冠肺炎疫情的傳播機制以及導致疫情擴散的相關因素；最后，根據(jù)仿真分析結果給予疫情防控一定的建議。

1 數(shù)據(jù)來源與概括

疫情數(shù)據(jù)來源于上海發(fā)布官方公布的各地區(qū)新增確診人數(shù)、新增無癥狀感染者人數(shù)、新增治愈出院的確診人數(shù)以及新增解除醫(yī)學觀察的無癥狀感染者人數(shù)。 選取從2022年2月24日至6月24日的上海市的日實際新增陽性病例數(shù)、日實際出院陽性病例人數(shù)，并計算日實際增長率，上海疫情的總體時間演化特征如圖1 所示。

圖1 疫情總體時間演化特征Fig. 1 Characteristics of overall time evolution of the epidemic

從圖1 可以看出，疫情具有階段性，在疫情初發(fā)期，日實際新增陽性病例數(shù)呈現(xiàn)持續(xù)增長，日實際增長率呈現(xiàn)波動式增長；在突增爆發(fā)期，日實際新增陽性病例數(shù)突增，呈現(xiàn)出爆發(fā)式增長，并于4月13日達到峰值。 在衰退下降期，日實際新增陽性病例迅速下降，日實際出院陽性病例人數(shù)呈現(xiàn)大幅度波動式的增加，日實際增長率趨于停滯，并于5月17日實現(xiàn)全市16 個區(qū)陽性清零。 在內部穩(wěn)定期，日實際新增陽性病例數(shù)穩(wěn)定下降，并且在5月29日下降至兩位數(shù)，日實際出院陽性病例數(shù)整體上呈現(xiàn)下降的趨勢，日實際增長率波動下降，整體上呈現(xiàn)負增長。

2 SEIGQ 模型的構建

為了研究新冠肺炎的傳播機制，探討影響COVID－19 疫情傳播的因素，需要考慮到新冠肺炎病毒的傳播特點，基于經典的SEIR 模型構建一個改進的新冠肺炎傳染病動力學模型。

2.1 模型假設

（1）假設上海市的總人口是一個常數(shù)，即不考慮仿真期內人口的遷入、遷出以及自然死亡的影響。

（2）假設模型中的治愈人群已具備抗體，排除重復感染的可能性。

（3）假設被檢測出的陽性患者都可以被安全隔離，不會再感染別人。

（4）假設所有潛伏者的潛伏期長短一致。

2.2 經典的SEIR 模型

在經典的SEIR 模型中，針對某種傳染病的傳播，把研究人群進行以下4 種劃分：

（1）S為易感者（susceptible）。 表示當前尚未被感染，但是容易被感染者感染的人群。

（2）E為潛伏者（exposed）。 表示已經感染了病毒，但還未表現(xiàn)出感染癥狀的人群。

（3）I為感染者（infected）。 表示已經感染了病毒，并且表現(xiàn)出感染癥狀的人、即確診患者。

（4）R為移出者（removed）。 表示不會再被感染的人群，包括治愈人群和死亡人群，該模型建立的動力學微分方程表達式為：

其中，β表示易感者S轉化為潛伏者E的概率；ω表示潛伏者E轉化為感染者I的概率；γ表示感染者I轉化為移出者R的概率。 SEIR 模型的人群狀態(tài)轉移關系如圖2 所示。

圖2 SEIR 模型人群狀態(tài)轉移關系Fig. 2 SEIR model of population transfer relationship

2.3 SEIGQ 模型

針對上海市本輪新冠肺炎疫情的傳播特點，在經典的SEIR 動力學模型上提出以下幾點改進：

（1）考慮潛伏者也具有傳染性。 本次新冠肺炎疫情中，潛伏期狀態(tài)的人群雖然沒有表現(xiàn)出感染癥狀，但是也具有傳染性，潛伏者可能會與易感者接觸，從而將易感者轉化為潛伏者或者感染者，因而在SEIR 模型中加入潛伏者感染率，由于對確診病例及其密切接觸者的及時管控，使得感染者和潛伏者只能在局部小范圍內進行感染［10］，故而認為感染者感染率和潛伏者感染率相同。

（2）加入不易感人群G。 不易感人群主要指易感人群中采取保護措施（如接種疫苗或者佩戴口罩），這部分人群在與感染者或者潛伏者接觸時，感染病毒概率更低，不易感人群的初始值為總人口?疫苗接種率。

（3）將移出者分為治愈者R和死亡者D。 本文將核酸檢測出的所有陽性感染者稱為隔離人群，將隔離人群中通過治療痊愈后的人群稱為治愈人群，不幸去世的人群稱為死亡人群，把傳統(tǒng)模型中的移出者分為治愈人群R和死亡人群D。

（4）將感染者分為有癥狀感染者N和無癥狀感染者M。 無癥狀感染者是指新冠病毒病原檢測為陽性，但無相關的臨床表現(xiàn)且CT 影像學無新冠肺炎影像學特征者，這部分人群主要依靠核酸檢測進行排查。 與之前的疫情相比，本輪上海疫情中無癥狀感染者占感染者的比例較大，故而將感染者劃分為無癥狀感染者M和有癥狀有感染者N。

改進后的SEIGQ 模型將人群分為9 類，易感染者（S）、潛伏者（E） 、不易感染者（G）、感染者（I） 、無癥狀感染者（M）、有癥狀感染者（N）、隔離人群（Q）、治愈人群（R） 和死亡人群（D），人群轉移關系如圖3所示，SEIGQ 模型可以用微分方程表示為：

圖3 SEIGQ 模型中的人群狀態(tài)轉移關系Fig. 3 Population transfer relationship in SEIGQ model

圖4 COVID－19 疫情演化系統(tǒng)動力學流圖Fig. 4 Flow diagram of COVID－19 epidemic evolution system dynamics

其中，a為感染率，即感染者和潛伏者對易感染者的感染概率；g為保護率，即感染者和潛伏者對不易感染者的感染概率；b為潛伏時間；h為無癥狀率；e為檢疫時間；r為治愈率；d為死亡率；N為總人口。 通過查找資料文獻以及對上海疫情的統(tǒng)計研究，對上述微分方程的相關參數(shù)進行賦值，主要參數(shù)及其取值見表1。

表1 主要參數(shù)及取值Tab. 1 Main parameters and their values

3 基于系統(tǒng)動力學的仿真分析

系統(tǒng)動力學（System Dynamics，SD）是系統(tǒng)科學理論與計算機仿真緊密結合，研究系統(tǒng)反饋結構與行為的一門科學，是以定性與定量相結合的方法研究系統(tǒng)結構，模擬復雜系統(tǒng)的功能與行為［11］。 在新冠肺炎疫情傳播的動力學模型中，存在易感染者、不易感染者、無癥狀感染者和隔離人群等人群狀態(tài)，應用系統(tǒng)動力學模型可以更加清楚地表示不同人群的轉化關系，分析參數(shù)變化產生的影響，定量地分析與理解COVID－19 疫情的傳播機理，研究疫情的傳播規(guī)律。

3.1 系統(tǒng)流圖分析

根據(jù)本文提出的SEIGQ 模型將人群分為9 類，其中將總人口N分為易感染者S和不易感染者G，將感染者分為無癥狀感染者M和有癥狀感染者N，將移出者分為治愈人群R和死亡人群D，基于這一改進的SEIR 模型，使用系統(tǒng)動力學模擬仿真COVID－19 疫情的傳播過程以及發(fā)展趨勢。 為了探討新冠肺炎疫情的傳播機制以及影響因素，利用參數(shù)敏感性分析定量分析平均交通系數(shù)、核酸常態(tài)化系數(shù)、疫苗接種率和病毒變異對疫情傳播趨勢的影響，使用Anylogic 軟件構建COVID－19 疫情演化的系統(tǒng)動力學仿真模型，繪制系統(tǒng)動力學流圖如圖5所示，系統(tǒng)動力學流量定義公式表和存量定義公式表分別見表2 和表3。

表2 流量定義公式表Tab. 2 Traffic definition formula table

表3 存量定義公式表Tab. 3 Stock definition formula table

圖5 系統(tǒng)動力學校準實驗仿真結果Fig. 5 Simulation results of system dynamics calibration experiment

3.2 校準實驗

由于平均交通系數(shù)和核酸常態(tài)化系數(shù)缺少有效的參數(shù)值，因此本文通過校準實驗來確定這2 個參數(shù)的取值。 通過與2022年2月24日至6月24日上海市實際陽性感染者人數(shù)、有癥狀感染者人數(shù)和無癥狀感染者人數(shù)的實際數(shù)據(jù)進行對比，使得模擬數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間的差異最小。 設置平均交通系數(shù)和核酸常態(tài)化系數(shù)為連續(xù)型，最小值為0，最大值為1，當系數(shù)值為0 時表示不進行交通管制或者不進行核酸常態(tài)化檢測，當系數(shù)值為1 時表示進行最嚴格的交通管制和最大限度進行核酸檢測。 經過多次校準，得到平均交通系數(shù)為0.6，核酸常態(tài)化系數(shù)為0.7，此時模擬數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間的差異最小，實際陽性感染者人數(shù)差異為792 人。 這2 個參數(shù)的校準數(shù)值與上海市疫情的實際情況一致，即上海市總體上采取了較強的交通管制和頻率較高的核酸檢測，仿真模擬結果如圖5 所示。 從圖5 可以看出，通過校準實驗，仿真數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)一致，驗證了模型的合理性。

3.3 參數(shù)敏感性分析

根據(jù)系統(tǒng)流圖分析可知，COVID－19 疫情中的感染概率取決于疫情防控中的4 個重要參數(shù)：平均交通系數(shù)、核酸常態(tài)化系數(shù)、病毒變異和疫苗接種率，利用系統(tǒng)動力學中的敏感性分析對不同參數(shù)數(shù)值進行仿真模擬，以探討其對疫情發(fā)展的影響。

（1）平均交通系數(shù)的參數(shù)分析。 平均交通系數(shù)即居民的平均出行強度，受到交通管制措施的影響，在交通管制較松弛的地方人們的平均交通系數(shù)會更大。 將平均交通系數(shù)的最小值設置為0.5，最大值設置為0.7，模擬步長設置為0.1，模擬時間設置為100天，則平均交通系數(shù)對感染者人數(shù)的影響如圖6 所示。 從圖6 可以看出，當平均交通系數(shù)減小、即減弱交通管制時，感染者人數(shù)會明顯增加；當平均交通系數(shù)增加、即加強交通管制時，感染者人數(shù)會明顯減少，同時隨著平均交通系數(shù)的增加，感染者人數(shù)的最高點向后推遲。

圖6 平均交通系數(shù)對感染者人數(shù)的影響Fig. 6 Influence of average traffic coefficient on the number of infected persons

（2）核酸常態(tài)化系數(shù)的參數(shù)分析。 核酸檢測是第一時間發(fā)現(xiàn)陽性感染者的重要手段，也是加強自我保護的重要防線，開展常態(tài)化核酸檢測是主動篩查無癥狀感染者的必要路徑。 將核酸常態(tài)化系數(shù)設為范圍參數(shù)：最小值設為0. 6，表示每100 個上海市民每天能進行核酸檢測的人數(shù)約為60 人；最大值設為0.8，表示每100 個上海市民每天能進行核酸檢測的人數(shù)約為80 人，模擬步長設置為0.1，模擬時間設置為100 天，則核酸常態(tài)化系數(shù)對感染者人數(shù)的影響如圖7 所示。 從圖7 可以看出，隨著核酸常態(tài)化系數(shù)的減少，即居民進行核酸檢測的頻率降低時，感染者人數(shù)會明顯增加；隨著核酸常態(tài)化系數(shù)的增加，感染者人數(shù)會明顯減少。

圖7 核酸常態(tài)化系數(shù)對感染者人數(shù)的影響Fig. 7 Impact of nucleic acid normalization coefficient on the number of infected persons

（3）疫苗接種率的參數(shù)分析。 接種新冠病毒疫苗可以預防發(fā)病、重癥和死亡，阻斷疫情傳播，讓大多數(shù)人的健康得到保證，國內新冠疫苗全程接種率為89.7%，將疫苗接種率設為范圍參數(shù)，最小值設為79.7%，最大值設為99.7%，模擬步長設置為10%，模擬時間設置為100 天，則疫苗接種率對感染者人數(shù)的影響如圖8 所示。 從圖8 可以看出，當疫苗接種率降低，感染人數(shù)會有所增加，當進一步提升疫苗接種率時，感染人數(shù)會有所減少。

圖8 疫苗接種率對感染者人數(shù)的影響Fig. 8 Impact of vaccination rates on the number of infected persons

（4）病毒變異的參數(shù)分析。 研究發(fā)現(xiàn)導致本輪上海本土疫情的新冠病毒，絕大部分為奧密克戎BA.2 型和BA.2.2 型，奧密克戎變異株的傳播力大概是此前的初代新冠病毒的1.5 倍。 將病毒變異的最小值設為1、表示初代新冠病毒，最大值設為2、表示比奧密克戎變異株更強一倍的變異株，模擬步長設置為0. 1，模擬時間設置為100 天，則病毒變異對感染者人數(shù)的影響如圖9 所示。 從圖9 可以看出，初代新冠病毒的傳染率更低一點，感染人數(shù)也會明顯減少，當病毒變異增強，即出現(xiàn)了比奧密克戎變異株更強的變異株，則感染率會增加，感染人數(shù)也會明顯增加，可見，病毒變異對疫情的傳播有著顯著的影響。

圖9 病毒變異對感染者人數(shù)的影響Fig. 9 Impact of virus mutation on the number of infected persons

4 結束語

新冠肺炎的持續(xù)蔓延嚴重影響人們的生活，研究疫情的傳播機理，模擬仿真分析COVID－19 疫情的傳播過程對于科學制定防疫策略具有重要作用。本文以公開發(fā)布的上海市COVID－19 疫情數(shù)據(jù)為研究對象，對SEIR 模型進行修正，提出了SEIGQ 模型，該模型考慮了潛伏期狀態(tài)人群的感染性，加入了潛伏者感染率，將總人口劃分為易感人群和不易感人群；將感染者劃分為有癥狀感染者和無癥狀感染者；將隔離人群劃分為治愈人群和死亡人群。 其次，基于系統(tǒng)動力學構建疫情演化的仿真模型，模擬COVID－19 疫情傳播的發(fā)展過程，利用參數(shù)敏感性分析定量分析平均交通系數(shù)、核酸常態(tài)化系數(shù)、疫苗接種率和病毒變異這4 個參數(shù)對疫情的影響。 根據(jù)仿真分析結果，提出如下建議：

（1）提高平均交通系數(shù)。 在出現(xiàn)疫情的地區(qū)實行嚴格的交通管制，降低個人出行頻率，做到非必要不出門，在出行過程注意做好防疫措施，少聚集。

（2）加快核酸常態(tài)化系數(shù)。 個人需要積極響應當?shù)氐暮怂釞z測政策，當發(fā)現(xiàn)有疑似新冠陽性癥狀，需要立刻做好隔離措施并進行多次核酸檢測。 各地均需做好對疫情的追蹤并及時通報信息，減低傳播風險，根據(jù)各地疫情情況合理分配資源進行常態(tài)化核酸檢測。

（3）提高疫苗接種率。 接種新冠疫苗在降低感染風險和傳播速度方面有一定的積極作用。 國內新冠疫苗全程接種率為89.7%，還可以進一步提高。未接種疫苗的人需要積極配合進行接種，也可以加強宣傳疫苗接種的重要性，多設立一些疫苗接種點以提高疫苗接種率。