單有向電磁矢量傳感器的參數估計方法

胡毅立 趙永波 陳 勝 牛 奔

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

1 引 言

參數估計是信號處理過程中的重要環節。常見的參數估計方法可以根據是否需要網格搜索，大致分為兩大類。一類是免搜索類算法[1–3]；另一類是搜索類算法[4–7]。免搜索類算法大多利用旋轉不變性[1]獲得參數的閉式解，而搜索類算法大多利用信號和噪聲子空間的正交性[6,7]，然后通過尋找最值估計信源參數。免搜索類算法計算量小但對天線結構有要求，而搜索類算法可應用于任何天線結構但計算量大。

電磁矢量傳感器(ElectroMagnetic Vector Sensor, EMVS)是由電偶極子或/和磁環構成的傳感器，并且同一個傳感器的電偶極子和磁環的數量不會超過3個，單個電偶極子或磁環也可以稱為傳感器的一個通道[8]。如果按照電偶極子和磁環的中心位置關系劃分，可以將EMVS陣列劃分成分離式和共點式[8–11]。如果按照EMVS陣列中每個傳感器的通道數量劃分，可以分成1～6個通道[12–16]，其中應用較多的是雙電偶極子通道[12,13]，3電偶極子通道[14,15]等。EMVS陣列中每個傳感器的通道數量較多會造成數據冗余，并且加重系統運算負擔。文獻[8]首次提出只用6個通道構成的單電磁矢量傳感器(Uni-ElectroMagnetic-Vector-Sensor, UEMVS)通過矢量叉積方法就可實現對角度和極化的估計。相比于EMVS陣列，UEMVS由于只需6個通道數據實現對目標參數的估計，極大降低了計算量。但是在研究UEMVS和EMVS陣列的現有文獻[8–15]中大多針對傳感器內部單元全向模型，并不適用于有向方向圖模型，并且單有向電磁矢量傳感器(Uni-Direction-ElectroMagnetic-Vector-Sensor, UDEMVS)與UEMVS的最大區別就是內部單元的有向性。

本文建立了UDEMVS的回波模型，然后針對UDEMVS回波模型特點，分別提出了基于免搜索的旋轉不變子空間和矢量叉積(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariant Technique and Vector Cross Product, ESPRIT-VCP)方法以及基于網格搜索的多重信號分類和最小瑞利商(MUltiple SIgnal Classification and Minimum Rayleigh Quotient, MUSIC-MRQ)方法。ESPRIT-VCP方法利用旋轉不變特性和矢量叉積，在有向方向圖模型中找到2維角度和2維極化的閉式解。MUSIC-MRQ方法通過信號和噪聲子空間的正交性與最小Rayleigh商問題，結合Rayleigh-Ritz定理[17]得到Rayleigh商最小時的特征值和特征矢量，進而得到2維角度的估計，并利用估計的2維角度結合信號模型得到2維極化參數的估計值。最后仿真驗證了所提兩種方法在UDEMVS中對角度和極化參數估計的有效性。

2 信號模型

2.1 全局坐標系與局部坐標系的轉換

共形UDEMVS陣列的傳感器在空間分布上有很大的自由度，但是整個陣列面臨著信號被遮蔽[18]，全/局坐標轉換復雜[19]等問題。共形UDEMVS陣列由依附在共形載體上的多個UDEMVS構成，本節將重點介紹UDEMVS模型面臨的全局坐標系和局部坐標系的轉換。回波在全局笛卡兒坐標系下的信號模型見圖1。

圖1 回波信號模型

2.2 單有向電磁矢量傳感器信號模型

由UDEMVS構成的共形UDEMVS陣列模型見圖3。

圖3(a)中Ex?Ey?Ez是 電場分量，Hx?Hy?Hz是磁場分量，圖3(b)是以圓環陣為例，N2個UDEMVS與圓環共形的示意圖。由于圖3(b)中每個傳感器有6個通道，導致整個圓環陣列的通道數高達 6N2，系統運算負擔大。同時，實際雷達系統在長期工作狀態下，難免存在傳感器壞損的問題，而圖3(b)中通道數較多也增加了傳感器壞損的概率。幸運的是，只需要在圖3(b)的N2個UDEMVS中選擇某個仍可正常工作的UDEMVS接收回波數據就可以實現對回波中信源4維參數的估計，進而有效避免圖3(b)的共形陣列中1個或多個傳感器的通道壞損時對整個雷達系統參數估計的影響。但是由于每個UDEMVS只能采集6個通道的數據，所以利用UDEMVS采樣數據估計信源時的最大信源數不能超過5個[8]?；诖藨帽尘?，本文將重點研究在一個UDEMVS模型下的參數估計問題。UDEMVS的接收信號y(t)可以表示成

圖3 由UDEMVS構成的共形UDEMVS陣列模型

其中，B ∈C6×P是極化-空間導向矩陣，s(t)∈CP×L是回波信號，N(t)∈C6×L是高斯白噪聲，P是入射目標數，L是快拍數?；夭ㄐ盘柨梢员硎緸閟(t)=[s1(t),s2(t),...,sP(t)]T，第p個入射信號為sp(t)=Apej(2πfpt+φp)，Ap是 回波幅度，fp是回波頻率，φp是 回波初相，1≤p ≤P，[·]T是轉置符號。

極化-空間導向矩陣B與角度和極化參數有關[21]。假設目標回波都是完全極化波[21,22]， (γ,η)是2維極化參數。極化-空間導向矩陣B可以表示成

第p個目標的導向矢量b(?p,θp,γp,ηp)可以表示成

其中，⊕是Hadamard積，Ep和Hp分 別是第p個目標的電場和磁場矢量，Gθ(?p,θp)和G?(?p,θp)是全局球坐標系下的正交分量，可以通過圖2過程得到。式(3)適用于Jones模型[21]表征回波極化的電磁回波，Θ(?p,θp)和K(?p,θp,γp,ηp)具體形式在式(3)中。為了后文描述方便，Gθ(?p,θp)和G?(?p,θp)將被分別簡寫成Gθ和G?，且本文只考慮完全極化電磁回波。

圖2 不同坐標系的轉換過程

3 所提方法

3.1 ESPRIT-VCP方法的參數估計

對UDEMVS回波進行L次采樣得到y(tl)，1≤l ≤L。然后間隔時間?T再進行L次采樣得到y(tl+?T) 。將得到的y(tl) 與y(tl+?T)組合在一起，得到

令Ψ=T?1ΦT，又由于Es1和Es2可以通過回波采樣數據Y(tl)估計出來的，因此可以根據式(7)得到Ψ

其中。[·]?是偽逆符號。然后對Ψ進行特征值分解，可以估計出T? 和Φ? 。進而得到估計的導向矩陣B?∈C6×P為

其中。ws1和ws2分別是式(4)兩次數據采樣對應的加權系數。在現有文獻中多采用均勻加權[8]，即

其實對于實際雷達信號處理，兩次采樣數據y(tl)和y(tl+?T)的回波信噪比不會完全相同。同時，由于信噪比與估計精度成正比，所以式(8)中Es1T??1和T??1Φ??1與 實際目標導向矩陣B的近似程度也不同，如果式(8)繼續采用式(9)的均勻加權方案，將無法準確地估計導向矩陣B?。幸運的是，可以利用兩次采樣數據的功率或者目標和噪聲的特征值等信息對兩次采樣的信噪比進行有效估計，進而合理設計式(8)中的權系數。接下來將提出兩種有效的加權方案，方案1是基于回波功率的加權方法；方案2是基于特征值的加權方法?；诨夭üβ实募訖喾椒梢员硎境?/p>

3.2 MUSIC-MRQ方法的參數估計

在介紹MUSIC-MRQ方法之前簡單介紹一下Rayleigh-Ritz定理[17]，Rayleigh-Ritz定理可用來解決Rayleigh商的最大最小值問題。假設d是待選擇向量，V是Hermite矩陣，V的特征值λ1,λ2,...,λm的大小關系為λmin=λ1≤λ2≤...≤λm=λmax，則根據Rayleigh-Ritz定理，Rayleigh商dHV d/dHd的最大最小值[17]可表示成

其中，λmin和λmax是 Rayleigh商dHV d/dHd的最小值和最大值。

MUSIC-MRQ方法的主要思路是，通過信號子空間與噪聲子空間的正交關系得到譜函數，并將其推導成Rayleigh商的形式，再通過Rayleigh-Ritz定理得到Rayleigh商的最小值。Rayleigh商取最小值時對應的角度就是估計的角度值，然后利用估計的角度和Rayleigh商最小特征值對應的特征向量得到目標2維極化參數估計值。本節信號模型和2.2節相同，UDEMVS的接收信號y(t)的協方差矩陣為

其中， repmGT(ma,mb)表示將矩陣GT中的元素平鋪擴展ma行mb列，得到維度為mgama×mgbmb的新矩陣，mga和mgb分別表示矩陣GT的行與列。同時注意到PsHPs=1，因此式(21)可以進一步轉變成

MUSIC-MRQ方法通過將式(19)的譜函數巧妙轉變成式(23)的形式，進而利用Rayleigh-Ritz定理，實現了只通過2維角度搜索找D(φ,θ)的特征值最小時對應的角度，就可以在角度-極化未知的4維模型中求解出目標的2維角度，然后再利用式(3)中的回波模型關系，計算出2維極化估計值。相比于傳統的MUSIC方法，避免了復雜的4維搜索，極大地降低了搜索計算負擔。然而MUSIC-MRQ方法本質上屬于一種秩虧算法[23,24]，并且只用了6個通道的回波數據，因此MUSIC-MRQ方法受快拍和信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)的影響明顯。

需要注意的是，ESPRIT-VCP方法和MUSICMRQ方法估計極化參數的過程是相同的，只是估計角度參數時兩種方法所用思路不同，因此所提兩種方法的角度估計結果都會影響對應的極化估計精度。

4 仿真分析

為了分析所提方法的有效性，本節通過仿真實驗分析了ESPRIT-VCP方法和MUSIC-MRQ方法的4維參數估計結果，對比了不同方法的分辨概率；散點圖；均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)結果。UDEMVS的有向方向圖[20]定義為

其中，J0(·)是 第1類0階貝塞爾函數，J2(·)是第1類2階貝塞爾函數。每個目標的2維角度和2維極化的分辨概率表達式為

假設有兩個目標，目標1的4維參數為(25?,20?,45?,60?)，歸一化回波頻率為0.85，目標2的4維參數為( 50?,40?,65?,105?)，歸一化回波頻率為0.53，快拍L=1000 ， 蒙特卡洛實驗次數Mc=100，MUSIC-MRQ方法的搜索間隔為0.01?，估計的背景噪聲功率P?n ≈0.9962。

假設ESPRIT-VCP方法中式(4)兩次采樣數據y(tl) 和y(tl+?T) 的信噪比差值為?，即?=SNRy(tl+?T)?SNRy(tl)。 在圖4中驗證了在?=4 dB和?∈U[?4,4] dB條件下，式(9)—式(11)中不同加權方案對ESPRIT-VCP方法估計性能的影響，其中U[?4,4]表 示服從[?4,4]的均勻分布且橫坐標是數據y(tl)的SNR。

圖4中，ESPRIT-VCP方法與式(9)—式(11)結合其實就是采用了不同的加權方案。當?=4時，E S P R I T-V C P 方法的整體估計性能要比?∈U[?4,4]好 ，不過?∈U[?4,4]更符合實際情況。從圖4可知，不管是2維角度還是2維極化，ESPRITVCP-(9)的性能最差，說明均勻加權方案并不是最優的權系數解決方案。在SNR> 5 dB時，ESPRITVCP-(10)與ESPRIT-VCP-(11)方法的RMSE結果相差不超過0.01°，同時考慮到ESPRIT-VCP-(10)更適合工程應用，而ESPRIT-VCP-(11)方法的加權方案涉及奇異值分解，運算量大，所以后續將以ESPRIT-VCP-(10)方法代表在3.1節的所提方法。

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在圖5中展示了S NR=20 dB且?∈U[?4,4] dB時2維角度和2維極化的估計結果散點圖。

圖5中，ESPRIT-VCP-(10)相比于MUSIC-MRQ而言，目標1和目標2的2維角度RMSE結果分別提高了約0.16°和0.26°；目標1和目標2的2維極化RMSE結果分別提高了約0.51°和0.79°?？蓮膬煞矫娼忉孍SPRIT-VCP-(10)估計精度優于MUSICMRQ的原因，一方面是，ESPRIT-VCP-(10)方法需要兩次采樣過程且每次采樣L個快拍，而MUSIC-MRQ方法只需要1次采樣過程，所以ESPRITVCP-(10)需要更多的快拍數據；另一方面是，MUSIC-MRQ屬于秩虧算法且通道數只有6個，再加上極化估計精度受角度估計結果的影響，所以MUSIC-MRQ不管是角度還是極化的估計結果都比ESPRIT-VCP-(10)方法差。

圖5 參數估計散點圖

圖6和圖7分別展示了所提兩種方法的分辨概率和RMSE隨SNR變化的結果，其中?∈U[?4,4] dB。

隨著SNR的增加，MUSIC-MRQ方法與ESPRIT-VCP-(10)的估計偏差越來越小，但是兩種方法對2維極化的估計都需要用到2維角度的估計值，所以在圖6和圖7中2維極化的估計偏差都大于對應的2維角度。

圖6 分辨概率隨SNR變化的結果，其中分辨門限?? =?θ =?γ =?η =1?

圖7 RMSE隨SNR變化的結果

圖8展示了 S NR=20 dB 且?∈U[?4,4] dB時，所提的兩種方法隨快拍變化的RMSE結果。

圖8 RMSE隨快拍變化的結果

從圖8可以看到，不管是ESPRIT-VCP-(10)還是MUSIC-MRQ，RMSE受快拍的影響還是很明顯的。這是因為它們都需要對協方差矩陣進行奇異值分解，而協方差矩陣是通過極大似然估計過程得到的，因此當快拍越多時，奇異值分解后得到的信號子空間和噪聲子空間才更準確。

從圖5—圖8可看到，MUSIC-MRQ方法的整體估計性能比ESPRIT-VCP-(10)方法差，并且ESPRIT-VCP-(10)由于不需要網格搜索，所以計算復雜度比MUSIC-MRQ方法小。但ESPRITVCP-(10)方法只能應用于UDEMVS模型中，而MUSIC-MRQ方法可以應用于共形UDEMVS陣列中。需要注意的是，在第4節的仿真實驗中，MUSIC-MRQ方法的整體估計性能較差除了因為MUSIC-MRQ是一種秩虧算法外，另外一個原因是所用模型的通道數太少，如果將MUSIC-MRQ方法應用到通道數足夠多的共形UDEMVS陣列中，MUSIC-MRQ方法的估計性能會有顯著提升。

5 結束語

本文考慮到共形UDEMVS陣列的通道數較多，長時間工作后部分通道容易出現壞損的情況影響參數估計的性能，提出了兩種只需利用一個正常工作的UDEMVS的采樣數據實現信源參數估計的方法，分別是ESPRIT-VCP方法和MUSIC-MRQ方法，并對ESPRIT-VCP提出了兩種工程有效的加權方案。根據第4節UDEMVS的仿真結果，可看到ESPRIT-VCP的參數估計性能比MUSIC-MRQ好，并且ESPRIT-VCP的計算復雜度比MUSICMRQ低，但是MUSIC-MRQ適用面更廣，不僅可以應用到UDEMVS模型中，也可以應用于共形UDEMVS陣列中。

然而，不管是ESPRIT-VCP方法還是MUSICMRQ方法，極化參數的估計都需要先估計出角度參數，導致角度估計誤差直接影響極化參數的估計精度。后續將對如何提高極化參數的估計精度展開進一步研究。