自主車輛隊列控制系統的穩定性分析

朱 旭，魏 婧，岳忠亮

(長安大學 電子與控制工程學院，西安 710064)

0 引言

自主車輛隊列控制是智能交通領域的研究熱點，利用車—車通信(V2V, vehicle to vehicle)、車—基礎設施通信(V2I, vehicle to infrastructure)等方式進行信息交互，進而通過車輛間的協作控制實現隊列行駛，可以提高道路容量，降低燃油消耗，增強行車安全性[1-3]。

車輛隊列控制主要分為兩類：自適應巡航控制(ACC, adaptive cruise control)和協作自適應巡航控制(CACC, cooperative adaptive cruise control)；ACC通過車載雷達等傳感器測量與相鄰車的相對距離與速度，但難以獲取相鄰車的加速度；CACC則利用車—車通信、車—基礎設施通信等獲取他車(包括但不限于相鄰車輛)的狀態信息，可以有效利用他車的加速度信息，實現更好的車輛隊列控制效果[4-5]。

由于網絡通信環境和通信帶寬的限制，車輛隊列通信過程中往往存在通信時延[6]。通信時延會導致車輛隊列系統穩定裕度急劇下降，甚至引發系統不穩定[7-9]。因此，含時延的車輛隊列系統穩定性分析成了目前的研究熱點。Li等[10]設計了一種含時延的車輛隊列控制器，分析了時延對系統暫態和穩態性能的影響。Oliveir等[11]針對含通信時延的車輛隊列，提出了一種可補償時延并抑制穩態誤差的控制方法。Khalifa等[12]考慮通信時延，設計了基于觀測器的車輛隊列控制方法。

車輛隊列系統穩定性包括內部穩定性和隊列穩定性，當且僅當其閉環系統的所有特征根實部均為負數時，內部穩定[13]。而時延影響下的內部穩定性分析，無法通過求解系統特征方程的全部根實現；原因在于，其特征方程為超越方程，有無窮多個特征根。再者，隊列穩定性是指，干擾不會沿車輛隊列向后擴散[13]。研究表明，時延會削弱隊列穩定性，并壓制控制參數的可調范圍[14]。Ploeg等[15]針對存在不確定通信時延的車輛隊列，設計了一種魯棒控制器，并對內部穩定性與隊列穩定性進行了分析。Liu等[16]考慮輸入時延的影響，設計了一種含時延的車輛隊列控制器，并分析了隊列穩定性條件。 Guo等[17]針對通信中斷和時延影響下的異構車輛隊列，提出了一種基于滑模控制的CACC與ACC切換控制策略，以保證系統穩態性能和隊列穩定性。

目前含時延的車輛隊列系統穩定性研究主要分為兩類：時域方法(Lyapunov-Krasovskii法[18]和Lyapunov-Razumikin法[19]等)和頻域方法(奈奎斯特判據[20]、Rekasius代換法[21]、直接法[22]、域分解法[23]等)。時域方法具有保守性，無法獲取精確的時延邊界[24]。Fiengo等[25]考慮時變通信時延下的車輛隊列控制問題，利用Lyapunov-Krasovskii方法分析了系統的漸近穩定性。頻域方法可以獲取精確的時延邊界，得到系統穩定的充要條件。Li等[26]考慮通信時延，設計了一種異構車輛隊列控制方法，并給出了系統穩定時的時延邊界。其中，時延域(τ)分解法按照系統不穩定根數量對時延參數空間進行劃分。直接法是τ分解法的一種實現手段，利用時延系統特征根的共軛對稱性，迭代消去了超越方程中的指數項，將原來的超越方程用多項式的方式等價表示，從而求解出原系統的臨界虛根[27]。

鑒于此，本文考慮CACC情況下的前車—領航車跟隨式(PLF, predecessor-leader following)通信拓撲，針對含有通信時延的車輛隊列系統，進行內部穩定性分析和隊列穩定性分析，主要貢獻包括：

1)針對含通信時延的車輛隊列系統，給出了內部穩定的充要條件，以及求解準確的穩定性時延邊界的方法。具體地，利用矩陣相似變換，將高維車輛隊列閉環控制系統降維拆分為若干等價的低維子系統，極大地降低了穩定性分析的解析難度和運算量；并在此基礎上，利用直接法求解了車輛隊列子系統的臨界虛根。

2)通過頻域分析車間誤差傳遞函數，給出了含通信時延的車輛隊列系統的隊列穩定性條件，以及時延和控制器參數的指導原則。

1 問題描述

1.1 車輛的縱向動力學模型

考慮由1輛領航車(編號記為0)和N輛跟隨車(編號記為1～N)組成的車輛隊列。車輛隊列沿直線行駛，第i輛車的縱向動力學模型為：

(1)

其中:pi(t)、vi(t)、ai(t)分別為第i輛車的位置、速度、加速度，T為車輛動力系統的時間常數，ui(t)為控制輸入。令xi(t)=[pi(t),vi(t),ai(t)]T，則第i輛車的縱向動力學模型可以寫為狀態空間表達式：

(2)

其中:

考慮同構自主車輛隊列，即所有車輛模型的慣性常數T相等，所有車輛的狀態矩陣A與輸入矩陣B相等。

1.2 車輛隊列的通信拓撲

車輛隊列的通信拓撲采用CACC中的一種常用拓撲—PLF拓撲，如圖1所示。在PLF拓撲中，車輛可以利用激光雷達等傳感器感知相鄰車輛和領航車的位置、速度信息，并通過V2V和V2I通信獲取相鄰車輛和領航車的加速度信息。

圖1 前車—領航車跟隨式(PLF)拓撲

1.3 分布式控制器

車輛隊列的間距策略采用固定間距策略，以增加道路容量[28]。相應的車輛隊列控制目標為：

(3)

(4)

其中:K1=[kp,kv,0]，K2=[0,0,ka]；kp>0，kv>0，ka>0分別為車輛分布式控制器的位置、速度、加速度控制增益。

1.4 車輛隊列的閉環動力學模型

將式(4)代入式(2)中，得狀態空間表達式為：

(5)

(6)

其中:IN表示N維單位陣，?表示Kronecker積。至此，建立了基于比例—時延控制器(4)的車輛隊列控制系統(6)。

整個車輛隊列閉環控制系統(6)的特征方程為：

CE(s,τ)=det(sI3N-IN?A+[?(BK1)]+

(7)

其中:I3N為3N階單位陣。

值得注意的是，該車輛隊列控制系統是一個3N階的準多項式，不展開其具體表達式，只對其特征加以描述。該特征方程包含指數項e-τs，因此該閉環控制系統的穩定性分析問題屬于NP難問題。隨著車輛隊列中車輛數目的增加，車輛隊列系統的特征方程將變為一個高階問題，對其特征方程進行穩定性分析將變得更加困難。為此，需將整個自主車輛隊列控制閉環系統分解為多個子系統，降低系統階次，避免高階方程求解問題。接下來，使用克羅內克積的相關性質將車輛隊列控制系統解耦為若干子系統，分析所有子系統的穩定性與分析原車輛隊列系統的穩定性等價。

[Λ?(BK2)]ξ(t-τ)

(8)

由于IN和Λ都是對角矩陣，所以系統狀態方程(8)可“分解”為若干個低階子系統：

λiBK2ξi(t-τ)

(9)

至此，建立了基于分布式控制器的車輛隊列系統(6)，并將其解耦為若干個子系統(9)。分析車輛隊列系統(6)的穩定性與分析所有子系統的穩定性等價。接下來，基于子系統(9)對車輛隊列系統(6)進行穩定性分析。

2 車輛隊列系統的穩定性分析

2.1 內部穩定性分析

車輛隊列閉環動力學子系統(9)的特征方程為：

fi=det(sI3-A+λiBK1+λiBK2e-τs)=

(10)

首先，為了便于分析車輛隊列系統內部穩定性，假設車輛隊列系統(6)在τ=0處Hurwitz穩定性，也稱為車輛隊列初始穩定。初始穩定性條件如下：

引理1:車輛隊列系統(6)在τ=0處穩定，當且僅當:

(11)

證明：由τ分解法可知，完全穩定性分析首先要求解不含時延時，子系統(9)的不穩定根個數。不含時延(τ=0)的子系統特征方程為：

(12)

由Routh-Hurwitz穩定判據可得Routh表如下：

若閉環子系統(9)漸近穩定，則Routh表第一列元素全為正數，得到閉環子系統(9)Hurwitz穩定的條件為式(11)。

接下來，通過τ分解法分析車輛隊列系統(6)τ>0時的完全穩定性。由于根軌跡隨時延連續變化，當且僅當其閉環系統的所有特征根實部均為負數時，內部穩定。車輛隊列系統的穩定性切換只能發生在系統純虛根對應的時延處。因此，基于τ分解法的車輛隊列系統(6)完全穩定性分析包含兩部分：第一是計算系統純虛根，用來確定時延參數空間的邊界；第二是分析臨界時延處根軌跡的漸近行為。

首先，利用“直接法”求解系統純虛根，“直接法”利用時延系統特征方程純虛根的共軛對稱特性|e-τω|=|eτω|，將準多項式轉化為一般多項式等價表示。

為了方便，設子系統特征方程(10)為：

f(s,τ)=a0(s)+a1(s)e-τs=0

(13)

假設s=ωi是特征方程(10)的一個純虛根，根據共軛對稱性可知，s=-ωi也是特征方程(10)的一個純虛根，式(10)滿足如下方程組：

消去指數項e-τωi和eτωi，得：

(14)

多項式(14)與車輛隊列子系統特征方程(10)具有相同的純虛根，求解多項式(14)可得車輛隊列系統的臨界虛根ω。

τ0=min{τk≥0}

(15)

進一步推導可得：

(16)

求解式(16)可得純虛根對應的(無窮個)臨界時延τk。

第二步，分析子系統(9)的純虛根在對應臨界時延處的漸近行為。時延系統的穿越頻率ωi關于臨界時延τk,k=0,1,2,…,p的變化率，稱之為根趨勢RT：

(17)

其中:Re表示取實數部分，sgn表示符號函數。由根趨勢的定義可知，當純虛特征根ωi穿越虛軸時，RT=+1表示純虛根從復平面左半平面穿越到右半平面，不穩定根增加2個；反之，RT=-1表示純虛根從右半平面穿越到左半平面，不穩定根減少2個。

重復上述求解含通信時延的車輛隊列系統時延邊界的方法，從τ=0時開始計算，獲取所有子系統的時延邊界，并對所有子系統的穩定區間取交集，即可求得整個車輛隊列系統(6)的穩定性時延邊界，獲得整個車輛隊列的內部穩定性條件。

針對車輛隊列閉環控制系統(6)，上述分析給出了完全穩定性分析基本思路，總結其完全穩定性分析算法流程如下：

1)將車輛隊列系統(6)等效拆解為N個子系統(9)；

2)利用“直接法”求純虛根ωi；

3)利用相角條件與時延的頻率周期性，計算核心時延與衍生時延；

4)利用式(17)計算根趨勢；

5)基于τ分解方法，從τ=0開始計算，在整個時延域獲取子系統的時延邊界；

6)對所有子系統重復步驟2)～7)，獲取所有子系統在時延域的時延邊界；

7)對所有子系統的穩定區間取交集，進而獲取到整個車輛隊列系統的時延邊界，即得到整個車輛隊列系統穩定的充分必要條件。

2.2 隊列穩定性分析

在PLF拓撲下，研究車輛隊列系統(6)的隊列穩定性，首先定義車輛隊列的跟車誤差為：

ei=γi-γi-1+d0

(18)

將式(18)代入車輛隊列的閉環動力學模型(1)中得到：

(19)

對式(19)中的誤差項ei作拉式變換，得：

(kp+kvs+kas2e-sτ)Ei-1(s)=

(Ts3+s2+2kp+2kvs+2kas2e-sτ)Ei(s)

(20)

其中:Ei(s)為狀態誤差ei的拉氏變換。

隊列穩定性是干擾不會沿車輛隊列向后擴散。為了推導隊列穩定條件，假設作用在領航車上擾動的頻率為ω。將s=jω代入式(20)中，由式(20)得到車輛隊列的誤差傳遞函數：

(21)

定理1:在PLF拓撲下，當車輛參數T、分布式控制器的增益kp、kv、ka，以及通信時延τ滿足如下不等式時，車輛隊列控制系統(6)隊列穩定。

(22)

(23)

又因為±sin(τω)≥-τω，±cos(τω)≥-1，式(23)可放縮為：

(T2-4Tkaτ)ω6+

(24)

式中,ω均是偶次項，只有當每項系數均為正數的時候，式(24)成立。即:

(25)

故當式(25)成立時，車輛隊列控制系統(6)隊列穩定。結合τ≥0和T>0，分析式(25)可得時延和控制器參數的指導原則如式(22)所示，即車輛隊列系統滿足隊列穩定性，時延和控制器參數須得滿足式(22)，證明完畢。

3 數值仿真

為了驗證所給出的車輛隊列系統(6)穩定性分析方法的有效性，進行數值仿真。考慮包括1輛領航車和5輛跟隨車組成的車輛隊列，進行2組仿真實驗。第1組實驗驗證內部穩定性分析方法的正確性；第2組實驗驗證車輛隊列系統的隊列穩定性條件的正確性。選取PLF型信息流拓撲，考慮式(11)和式(22)，設置車輛動力系統的時間常數T=1.5，分布式控制器增益kp=1，kv=2，ka=3，車間距為d0=20 m。在不含通信時延的情形下(τ=0)，滿足Hurwitz穩定條件。

3.1 實驗1：驗證內部穩定性分析方法的正確性

PLF型信息流拓撲的矩陣特征值分別為2、2、2、2、1，可將車輛隊列控制系統(6)分解為2個閉環子系統，分別對每個子系統按照3.1小節所述分析方法進行完全穩定性分析，首先將車輛隊列系統(6)等效拆解為N個子系統(9)；利用“直接法”求純虛根ωi；利用相角條件與時延的頻率周期性，計算核心時延與衍生時延；利用式(17)計算根趨勢；對所有子系統重復上述步驟，獲取所有子系統的穿越頻率、核心時延以及根趨勢，以上計算結果如表1所示。

表1 車輛隊列子系統的穿越頻率、臨界時延以及根趨勢

下面按照τ分解策略，從τ=0開始計算，在整個時延域獲取子系統的時延邊界，對所有子系統的穩定區間取交集，進而獲取到整個車輛隊列系統的時延邊界，仿真結果如圖2所示，圖2中分別繪制了車輛隊列系統和所有子系統不穩定根數目在時延域τ∈[0 s,10 s]內的詳細變化情況，能夠展示穩定性分析的詳細過程。

圖2 車輛隊列不穩定根數目

在圖2中，用細線(包括實線、虛線)標記每個子系統的不穩定根數目變化情況，用粗實線標記整個車輛隊列系統的不穩定根數目關于時延的變化情況，并且在子圖中繪制了整個車輛隊列系統在時延區間[0 s,0.5 s]的局部放大圖。從圖2可以看出，僅僅在時延區間[0 s,0.379 1 s]內，存在車輛隊列系統不穩定根個數等于零的情形(NU=0)，則車輛隊列系統的時延邊界為：τ=0.379 1 s，此外，可以發現，在τ>0.379 1 s時，無法恢復到穩定狀態，這是因為對比子系統根趨勢為-1的情況，根趨勢為+1時的核心時延較小，衍生時延的周期間隔也小。

為了驗證上述車輛隊列系統時延邊界的正確性，選取3個時延，τ=0.34 s，τ=0.379 1 s，τ=0.4 s，在這3個時延處，分別繪制車輛隊列系統在0～150 s的位置誤差、速度誤差。考慮到隊列穩定性影響，車輛隊列控制器輸出限制為-5≤u≤5。仿真結果如圖3和圖4所示。圖3是車輛隊列分別在3個不同時延處的位置誤差，圖4為車輛隊列分別在3個不同時延處的速度誤差。

從圖3(a)、圖4(a)可以看出，當τ=0.34 s時車輛隊列位置、速度誤差曲線收斂，系統穩定；從圖3(b)、圖4(b)可以看出，當τ=0.379 1 s時位置、速度誤差曲線等幅振蕩，屬于臨界穩定；從圖3(c)、圖4(c)可以看出，當τ=0.4 s時位置、速度誤差曲線發散，系統不穩定。故可得車輛隊列系統穩定性時延邊界為：τ=0.379 1 s，內部穩定性分析方法得以驗證。

圖3 實驗1中車輛隊列分別在3個不同時延處的位置誤差

圖4 實驗1中車輛隊列分別在3個不同時延處的速度誤差

3.2 實驗2：驗證隊列穩定性分析的正確性

由于領航車的加減速可以看成是車輛隊列的干擾。設置領航車的加速度如下：

(26)

仿真結果如圖5所示，圖5(a)、(b)、(c)、(d)分別為車輛隊列位置、速度、車輛間位置誤差、車輛間速度誤差圖像。

圖5 實驗2中車輛隊列的狀態與誤差

在圖5中，各種線標記了每個子系統的位置、速度、位置誤差、速度誤差。由仿真結果可知，在頭車加速度受到擾動驟變的情況下，車輛狀態最終趨于一致(如圖5(a)、圖5(b)所示)，車輛隊列間的位置誤差和速度誤差在沿車輛隊列向后傳遞時逐漸減小(如圖5(c)、圖5(d)所示)，圖5(a)中，未出現車輛碰撞情況。圖5(b)中，各車速度受加速度驟變影響也會發生速度波動，之后迅速與頭車保持一致，具有良好的跟蹤性能；車輛隊列的隊列穩定性得到保證。因此，定理1提出的系統隊列穩定性條件是正確有效的。

車輛隊列控制可提升交通容量與安全性、降低燃油消耗。但由于網絡通信環境和通信帶寬的限制，車輛隊列通信過程中往往存在通信時延。通信時延會導致車輛隊列系統穩定裕度急劇下降，甚至引發系統不穩定。為此，本文考慮CACC情況下的PLF通信拓撲，針對含有通信時延的車輛隊列系統，給出了內部穩定的充要條件，以及求解準確的時延邊界的方法。具體地，利用矩陣相似變換，將高維車輛隊列閉環控制系統降維拆分為若干等價的低維子系統；在此基礎上，利用直接法迭代消去超越方程中的指數項，從而求解出系統的臨界虛根；然后，根據相角條件和臨界虛根的根趨勢推導出了準確的時延邊界。同時，為了保證擾動沿車輛隊列傳播過程中不被放大，給出了系統的隊列穩定性條件，以及時延和控制器參數的指導原則。最后，通過兩組仿真分別驗證了所提內部穩定性和隊列穩定性分析方法的有效性。