非保守力作用下二維耦合布朗粒子的定向輸運*

劉艷艷 孫佳明 范黎明 高天附? 鄭志剛

1) (沈陽師范大學物理科學與技術學院,沈陽 110034)

2) (華僑大學信息科學與工程學院,廈門 361021)

本文主要研究二維耦合布朗粒子在非保守外力作用下的定向輸運問題.研究發現,非保守外力有促進二維耦合棘輪定向輸運的效果.同時,在保守力(彈簧彈力)和非保守外力的相互協作與競爭中耦合布朗粒子的反向輸運能夠獲得增強.特別地,隨著彈簧原長或彈性系數的改變,二維耦合布朗粒子的定向運動都能夠產生反向,這意味著耦合作用能夠誘導二維布朗棘輪流反轉的產生.實驗上,通過選取不同種類的外力(保守力及非保守力),能夠對二維耦合布朗粒子的分離技術提供新的方案.

1 引言

近年來,生物分子馬達得到了廣泛關注.生物分子馬達是將化學能轉化為機械能的生物大分子,其尺寸只有幾納米或數十個納米,是人類長期夢寐以求的生物納米機器[1].研究表明,生物體內所有的基本過程分子馬達都有參與,例如基因的復制、轉錄、翻譯、分裂與合成等都與分子馬達的定向運動密不可分[2].目前,研究還發現很多已知蛋白酶的本質也是分子馬達,例如RNA 聚合酶[3].在生物體內,分子馬達能夠利用ATP 水解釋放的能量實現自身的定向運動[4,5].常見的細胞運動、肌肉收縮和信號傳導等都是通過馬達蛋白沿細絲上的定向運動來完成[6].由于分子馬達十分靈活且工作時所需的空間很小,因此馬達可以自由地在血漿中做定向運動.醫學上還能做到不開刀便能實現排除體內腫瘤的目標[7].在人造納米器件方面,分子馬達的能量轉化效率非常高,野生型驅動馬達的能量利用率高達70%左右,旋轉ATP 合酶更是接近100%[8].因此,生物分子馬達的研究在眾多領域都有著廣泛的應用前景.

為了深入研究生物分子馬達的定向運動,人們根據布朗運動理論構建了不同類型的布朗棘輪模型,如閃爍棘輪、閉環控制棘輪等[9-14].然而,近年來大量理論研究主要集中在保守力對布朗粒子定向運動的影響.例如吳魏霞和鄭志剛[15]建立了保守力作用下的彈性耦合棘輪,得到了定向流對保守力的驅動頻率具有選擇性且隨驅動頻率的增大而減小;吳魏霞等[16]通過研究保守力作用下耦合粒子的定向運動,得到了棘輪平均速度對正弦形式保守力的驅動強度具有較強的依賴性;謝天婷等[17]討論了非對稱周期中布朗粒子的定向輸運問題,發現粒子的速度隨保守力變化周期的改變呈現廣義共振現象,且進一步得到了保守力頻率的變化能使棘輪的輸運達到最強.值得指出的是,上述討論的布朗棘輪都是不同形式保守力對棘輪定向運輸的影響,也就是說大部分討論的都是類似于恒力、彈力或者簡諧力等保守力對布朗粒子定向輸運的影響[18].然而,在非保守力作用下棘輪系統能否產生定向運動,其輸運結果如何,目前仍少有研究.物理上,非保守力是沿閉合路徑做功不為零的力,或者說做功依賴于路徑[19],例如摩擦力就是一種非保守力.在生物體內,分子馬達由于受到復雜溶液環境的影響,由此馬達受到環境非保守力的作用將不可忽視.特別地,生物分子在不同的環境中從有機高分子物質組成的多分子體系,再到細胞的形成,非保守力都參與了馬達的物質輸運過程.因此,非保守力對生物分子馬達的定向運動也會造成影響[20].早期,Tomé[21]從理論上研究了保守力和非保守力共同作用下過阻尼布朗粒子的定向運動,發現系統內部的熵產生全部來自于非保守力部分.同時,研究還發現布朗粒子的耗散功率也來源于非保守力部分.隨后在2013 年,Ai 等[22]進一步研究了非保守力作用下布朗粒子的定向運動,發現非保守力不僅會影響布朗粒子的運動速度,還會影響布朗粒子的運動方向.因此,對非保守力作用下布朗棘輪定向輸運的研究更具實際意義.

此外,需要說明的是,早期關于布朗棘輪模型的研究考慮的外勢大都是一維情況.例如Li 等[23]建立了非對稱周期勢中的雙溫棘輪,研究得到外勢的不對稱系數能夠引起粒子流的反轉.Romanczuk等[24]通過建立一維耦合布朗馬達模型,得到了一維常力可以促進布朗粒子的平均速度.Wang 等[25]通過建立一維耦合搖擺棘輪,得到耦合強度對布朗粒子速度的影響總是非單調的.由于生物體內的復雜環境,生物分子馬達受到環境的影響并不總是恒定的,進而生物體內的物質輸送過程將會通過不同方向的不同種外力的相互協作來實現[26-28].這些事實說明只考慮一維情況對分子馬達定向運動的影響還不夠完善.隨著理論研究的深入,近年來多維問題尤其是二維問題越來越被關注.因此,研究二維棘輪中布朗粒子的定向輸運問題更具實際意義.特別地,對于二維問題,如粒子運動的兩個方向分別受到不同種類的外力作用,耦合粒子如何做定向運動,其定向輸運結果如何這是本文討論的重點.

本文主要研究了不同種類外力,如保守力以及非保守外力作用下二維布朗粒子的定向輸運問題.分析了非保守外力、彈性系數、彈簧原長等參量作用下耦合布朗棘輪的定向輸運情況.研究發現,一定條件下非保守外力參量a有促進耦合棘輪定向輸運的作用,這也意味著合適的非保守外力能使耦合布朗粒子的速度達到極大值.隨著彈簧原長L的增大,耦合粒子的定向運動能夠產生反轉.因此,通過對彈簧形狀的改變能夠控制二維棘輪的輸運方向.本文所得結論可以為實驗上非保守力的選擇與應用提供新的思路,特別地通過選取不同種類的外力(保守力及非保守力),可對粒子的分離技術提供新的啟發與方案.

2 二維耦合布朗棘輪模型

本文通過構建二維耦合布朗棘輪模型,主要研究不同種類外力如保守力以及非保守力作用下過阻尼布朗粒子的定向輸運問題.耦合布朗粒子主要受外勢V(xi,yi)、相互作用勢U(xi,yi)、非保守外力F(xi,yi) 以及熱噪聲的共同作用.由此,二維耦合朗之萬方程可描述為

在t時刻,第i個粒子的位置為ri(t)=(xi(t),yi(t)).此 外,ξi(t) 是高斯白噪聲,D為噪聲強度,滿足關系D=kBT.kB是玻爾茲曼常量,T為環境溫度.同時,每個方向上的噪聲還滿足以下形式的統計關系:

在二維勢場V(xi,yi) 中,由(3)式描述的外勢結構示意如圖1 所示.從圖1 中可以看到,外勢V在x方向上是周期的,在y方向上是拋物型的.由此,通過調整兩個方向的勢壘高度便可對耦合布朗粒子的定向運動產生影響.通過數值計算還可以得到外勢V在x方向和y方向的周期長度都等于 2 π.

圖1 二維棘輪外勢 V (x,y) 的結構示意圖Fig.1.The schematic diagram of two-dimensional ratchet potential V (x,y).

(1)式中,U表示耦合布朗粒子的相互作用勢,其表述如下:

特別地,在(1)式中Fx和Fy分別代表第i個布朗粒子受到的不同方向的非保守外力.在生物體內,分子馬達由于受到不同種類、不同方向的外力及噪聲的影響,因而能夠產生定向運動.本文采用Zhou 模型[30]中的非保守外力對二維耦合布朗粒子進行深入研究,其形式為

其中,a和b是非保守力參數,根據zhou 的模型知二者的關系為.物理上,要使參量b有意義,則a的取值范圍是0—1.根據(5)式,非保守外力F(xi,yi) 的結構示意如圖2 所示.可以發現,在x方向和y方向上非保守外力Fx和Fy都具 有周期性.

圖2 非保守外力 Fx 和 Fy 的結構示意圖,非保守力參量a=0.4Fig.2.The schematic diagram of non-conservative forces Fx and Fy,where non-conservative force parameter a=0.4.

將(4)式和(5)式分別代入方程(1)中并進行簡單的整理,則二維朗之萬方程可進一步化簡為

為了深入研究非保守外力對二維棘輪中過阻尼布朗粒子定向運動的影響,本文采用耦合粒子的平均速度來研究棘輪的定向輸運問題.由于x方向粒子的速度Vx將會導致棘輪整體運動方向的改變,即粒子流的正負問題.因此,布朗粒子的定向運動問題文中采用二維耦合粒子在x方向的投影,即x方向的速度Vx進行研究.在長時間的統計平均下,Vx的統計平均值〈Vx〉可由如下公式得到:

式中,〈·〉代表系綜平均,t為耦合粒子的演化時間[31].

本文采用二階龍格-庫塔算法進行數值計算.為了得到穩定的系綜平均值,數值計算步長取h=1×10-3,并模擬了 8×103個軌道,取粒子數N=2.本文所有物理量已采用無量綱化處理.

3 結果與討論

本文主要討論二維耦合布朗粒子的定向輸運隨非保守外力等參量的變化行為.如前文所述,要使非保守力參量有意義,參量a的變化范圍只能取0—1.由此,圖3 給出了不同彈簧原長L下過阻尼布朗粒子的平均速度〈Vx〉隨非保守力參量a的變化曲線.從圖3 可以看到,當非保守力參量a＜0.8 時,不同L下耦合粒子的平均速度〈Vx〉在非保守力參量較大的變化范圍內變化都不大,也就是說非保守力參數對布朗粒子平均速度的影響較小.產生上述現象的原因可通過定性的數學分析進行解釋.根據非保守外力表達式(6),圖4 給出在一定條件下,Fx隨參數a的變化關系.從圖4 可以看到,在a＜0.8 范圍內,非保守力Fx的變化相對緩慢且其值也相對較小,這一現象表明耦合粒子受到x方向非保守外力的影響較小,進而導致耦合布朗粒子平均速度〈Vx〉的變化也相對較小.然而,當a ＞0.8 后,從圖4 可以發現耦合粒子所受的非保守外力Fx快速增大.此時,當彈簧原長L=1,2 時,由于耦合作用相對較小,棘輪的非保守力Fx將占主導因素,因此如圖3 所示耦合粒子的〈Vx〉隨a的變化能夠快速增大且其輸運能夠達到最強.然而,隨著彈簧原長L的繼續增大,如當彈簧原長L=2.2,3,4 時,布朗粒子平均速度的變化相對較小.根據(5)式不難發現,隨著L的增大粒子間的耦合作用相對變強,進而導致非保守力的影響逐漸減小,因此如圖3 所示,當a＞0.8 后,L=2.2,3,4 時二維耦合棘輪的輸運效果相對減弱.研究還發現,對于一定的非保守外力參量a,隨著彈簧原長L的增大,耦合布朗棘輪的平均速度〈Vx〉逐漸減小.更有趣的是,當L＞2 后,二維耦合布朗粒子的平均速度大體呈現〈Vx〉＜0,這一結果表明彈簧原長能夠誘導耦合棘輪的流反轉.關于彈簧原長L對耦合粒子的影響,下文還有更詳細的討論.由此可見,非保守外力參量a有促進耦合棘輪定向輸運的效果.

圖3 不同彈簧原長 L 下平均速度〈Vx〉隨非保守力參數a 的變化曲線,其中 D=0.1,k=2Fig.3.The curves of the mean velocity〈Vx〉varying with the non-conservative force parameter a under different original length of the spring L,where D=0.1,k=2.

圖4 非保守力 Fx 隨參數 a 的變化曲線Fig.4.The curve of the non-conservative force Fx varying with the parameter a.

為進一步分析彈簧原長對耦合布朗粒子定向運動的影響,圖5 給出了不同熱噪聲強度D下過阻尼布朗粒子的平均速度〈Vx〉隨彈簧原 長L的變化關系.從圖5 可以發現,不同噪聲強度下二維耦合粒子的平均速度隨L的改變都能產生一個峰值.這一結果表明在相對較小的彈簧原長范圍內,合適的彈簧原長能夠促進二維耦合布朗粒子的定向運動.產生上述現象的原因可以把二維耦合布朗粒子看作具有兩個“腳”的彈性馬達進行分析.隨著彈簧原長的增大,生物分子馬達的運動步長相應變大,因此馬達移動的速度也會增大.然而,二維耦合馬達的定向運動速度并不會隨L的增大無限的增大.如肌球蛋白馬達,當運動步長增大到一定程度后,馬達的速度開始逐漸減小[16].這意味著在彈簧原長L和熱噪聲強度D這兩個因子相互協作和競爭作用下,耦合布朗粒子的定向運動將被促進或抑制,進而速度能夠產生極大值.此外,隨著熱噪聲的改變,一定條件下耦合布朗粒子的平均速度也會隨之變大.值得關注的是,當彈簧原長L在小于3 的范圍內,布朗粒子的平均速度大都呈現〈Vx〉＞0 ;當L＞3 后,布朗粒子的平均速度呈現〈Vx〉＜0,表明二維耦合棘輪產生了流反轉現象.因此,通過增加彈簧原長L還能夠促進二維耦合布朗粒子的流反轉.產生上述流反轉現象的原因可通過如圖6 的耦合粒子位置隨時間的演化圖像進行分析.從圖6 可以看到,如當L=3.5 時,粒子2 是朝x的負方向運動的,并且其位移(t2時刻與t1時刻位置之差)在長時間的演化范圍內大體呈現小于零的情形.同理,對于粒子1,在較長時間的演化范圍內其位移也大體為負值.因此,耦合粒子的平均速度能夠呈現〈Vx〉＜0 的情況.這一結果更進一步驗證了圖3流反轉的結論.綜上所述,在合適的彈簧原長L與熱噪聲D的共同作用下,二維耦合布朗棘輪的定向輸運能夠獲得增強.

圖5 不同噪聲強度 D 下平均速度〈Vx〉隨彈簧原長 L 的變化曲線,其中 a=0.4,k=2Fig.5.The curves of the mean velocity〈Vx〉varying with the original length of the spring L under different noise intensity D,where a=0.4,k=2.

圖6 耦合粒子的位置隨時間演化圖像,其中 a=0.4,k=2,L=3.5,D=0.1Fig.6.Trajectories for the coupled particles as a function of time,where a=0.4,k=2,L=3.5,D=0.1.

圖5 的研究結果已表明,噪聲強度對耦合棘輪的定向輸運也能產生影響,為進一步分析熱噪聲的作用,圖7 給出了不同耦合強度下平均速度〈Vx〉隨噪聲強度D的變化關系.研究發現,平均速度〈Vx〉隨噪聲強度D的變化先增大后減小,也就是說二維耦合布朗棘輪的輸運有峰值的產生.如圖7 所示,當D＜0.75 時,平均速度隨噪聲強度的增大而增大,此時說明合適的噪聲強度(外界的隨機擾動)能夠促進二維耦合布朗粒子的定向運動.然而,當熱噪聲強度較大時(D＞0.75),由于外界的隨機漲落相對較大,二維耦合布朗粒子很難繼續產生定向運動,因此棘輪定向輸運的效果開始逐漸減弱直至零.特別地,圖7 還清楚地顯示出對于不同的耦合強度平均速度〈Vx〉的極大值幾乎都出現在相同噪聲強度D=0.75 附近.這一現象表明二維耦合布朗粒子的平均速度隨噪聲強度的變化能夠產生隨機共振行為,該結論與文獻[15]所得結果一致.由此可見,合適的熱噪聲強度也能增強二維耦合布朗棘輪的定向輸運效果.

圖7 不同耦合強度下平均速度〈Vx〉隨熱噪聲 D 的變化曲線,其中 a=0.4,L=1Fig.7.The curves of the mean velocity〈Vx〉varying with the noise D under different coupling strength,where a=0.4,L=1.

為了進一步研究不同種類外力(保守力與非保守力)對二維相互作用布朗粒子定向運動的影響,本文又研究了不同非保守外力下過阻尼布朗粒子的平均速度〈Vx〉隨彈性系數k的變化關系,如圖8所示.從圖8 可以發現,在耦合作用下布朗粒子的平均速度大體呈現〈Vx〉＜0.產生速度小于零的原因可通過如圖9 的耦合粒子位置隨時間的演化圖像進行分析.根據圖6 類似的分析方法,粒子2 的位移在長時間的演化范圍內大體呈現小于零的情形,且其位移變化的絕對值相對較大.對于粒子1,雖然出現位移大于零的情形,但其位移變化的絕對值相對較小.因此,兩個耦合粒子的平均速度仍然呈現〈Vx〉＜0 現象.同時,從圖8 還可以發現,在k的變化過程中二維耦合棘輪的速度還會產生一個波谷.速度產生極小值的原因可以理解為: 在小耦合強度下,兩個布朗粒子近似獨立,此時,由于彈性系數k較小,布朗粒子的耦合強度相對較弱,因此〈Vx〉較小.然而,當彈性系數k增大時,耦合作用變強,兩個耦合粒子可近似看作一個硬桿,進而速度的絕對值也會相對較小.所以只有合適的耦合強度才能夠促進二維耦合布朗粒子的反向輸運.特別地,隨著彈性系數k的繼續增大,耦合布朗粒子的平均速度〈Vx〉繼續反向減小且最終達到的穩定值都能夠實現大于零(部分未顯示).這一結果表明耦合作用能夠誘導二維棘輪流反轉的產生,該結果與圖5 的流反轉現象類似.從圖8 還可以發現,二維棘輪的平均速度整體上隨非保守力參量a的增大而上移(反向減小),并且非保守外力參量越大,平均速度〈Vx〉小于0 的區域越小.因此可以得到,在非保守力(F)與保守力(彈簧彈力)的相互協作與競爭中能夠促進二維棘輪的反向輸運,且二維棘輪隨耦合強度(保守力)的變化還能夠產生兩次流反轉現象.

圖8 不同非保守外力參量 a 下平均速度〈Vx〉隨彈性系數 k 的變化曲線,其中 D=0.1,L=1Fig.8.The curves of the mean velocity〈Vx〉varying with the spring coefficient k under different non-conservative force parameter a,where D=0.1,L=1.

圖9 耦合粒子的位置隨時間演化圖像,其中 a=0.3,k=0.3,L=1,D=0.1Fig.9.Trajectories for the coupled particles as a function of time,where a=0.3,k=0.3,L=1,D=0.1.

4 結論

本文研究了二維不對稱棘輪中非保守力以及耦合作用下過阻尼布朗粒子的定向輸運問題,并詳細討論了非保守力參量、彈性系數、彈簧原長以及噪聲強度等因素對二維耦合布朗粒子定向輸運的影響.結果表明,非保守外力參量a有促進耦合棘輪定向輸運的作用,這意味著合適的非保守外力能使二維耦合布朗粒子的平均速度達到極大值.同時,隨著彈簧原長L的改變,耦合布朗粒子的定向運動能夠產生反向.因此,通過對彈簧形狀的改變能控制二維耦合棘輪的輸運方向.此外,合適的噪聲強度(隨機漲落)能使耦合棘輪的定向輸運達到最強.在最新的理論研究中，Luo 等對強混沌引起的負遷移率(negative mobility)進行了系統研究，得到噪聲強度還可以誘導負遷移率的產生。特別地，在適當的條件下通過增強或減弱噪聲強度，還可以導致負遷移率的消失[32]。同時，在保守力（彈簧彈力）和非保守外力(F)的共同作用下也能夠增強耦合布朗粒子的反向輸運。特別地，隨著彈性系數的變化，耦合布朗粒子的平均速度也能夠產生反向，該結論進一步表明耦合作用能夠誘導二維布朗棘輪流反轉的產生。近年來，關于反向輸運最新的實驗研究中，如He 研究的塵埃等離子體系統取得了重要進展。他們通過設計不對稱棘輪結構，實現了等離子體環境中塵埃顆粒的可控性整流，從而實現塵埃等離子體系中顆粒的操控與反轉[33]。本文所得結論不僅可為生物分子馬達的定向輸運提供理論參考,同時也可為非保守力的實驗應用提供新的啟發.實驗上通過選取不同種類的外力(保守力及非保守力),能對二維耦合布朗粒子的分離技術提供新的方案.在實際應用中,可將非保守力系統的理論結果應用于微、納米量級粒子的分離技術上.例如通過非保守力大小或維數的選擇,可對微、納米量級粒子進行分離.同時,也可對微納粒子進行有選擇性地篩選.