水聲射線傳播的黎曼幾何建?！?br/>——深海遠程聲傳播會聚區黎曼幾何模型*

馬樹青 郭肖晉 張理論 藍強 黃創霞

1) (國防科技大學氣象海洋學院,長沙 410073)

2) (長沙理工大學數學與統計學院,長沙 410114)

會聚區是深海水聲傳播重要的物理現象,對其準確建模和計算是深海遠程水聲探測與通信的基礎.但深海會聚區缺乏明確的數學描述,特別是對于地球曲率所導致的系統誤差,目前主要采用近似計算與曲率修正相結合的方法,尚無精確會聚區數學模型.本文基于水聲射線黎曼幾何建?；A理論研究,在彎曲球體流形上開展深海會聚區建模,在分析總結會聚區物理特征的基礎上,給出深海會聚區黎曼幾何描述,得到深海會聚區位置、距離的分析形式和基于黎曼幾何概念的計算方法,為深海會聚區—這一重要的深海聲學現象探索賦予黎曼幾何學意義.以Munk 聲速剖面為例,對比分析深海會聚區在曲率修正和采用黎曼幾何方法在球體流形上建模兩種情形的時空分布,驗證了本文提出的深海會聚區黎曼幾何模型的有效性,結果顯示近海面處的會聚區寬度隨聲傳播呈現先變大后變小的規律,最大約20 km,最小約4 km.

1 引言

深海典型聲速分布使聲線在遠離聲道軸處上下反轉或反射,形成周期性高聲強焦散區域,稱為會聚區[1].會聚區內聲信號的傳播損失小,能夠高強度、低失真地遠距離傳播聲信號.準確預測和識別會聚區是深海聲學研究的重要課題.前人圍繞深海會聚區的觀測、影響因素和分析建模等開展了大量深入細致的工作,然而基于射線方法的會聚區聲場數學描述還不完善,束縛了對會聚區的有效利用.

聲傳播實驗觀測是會聚區研究的基礎.1960 年,Hale[2]在實驗數據基礎上首次分析了海面附近會聚區的物理特征,指出一定范圍內,會聚區聲信號比其他路徑高出約30 dB,其邊界為焦散線.Urick[3]基于實驗數據和聲線圖,研究聲源和接收深度對會聚區的影響,發現會聚區通常存在于整個深海聲道,聲源變深時會聚區分裂成兩個半區,且間距逐漸增大.樸勝春等[4]結合南海海域的遠程聲傳播實驗結果,發現深海大深度處存在著下反轉點會聚區,其位置與焦散線吻合.李文和李整林[5]利用南海爆炸聲信號分析海底山對會聚區聲傳播的影響,發現海底山阻擋可使第一會聚區處的傳播損失增加30 dB 以上.

建模與預測是會聚區研究的重點,其中會聚區距離和寬度是關鍵模型要素.由于0°掠射角聲線反轉點附近存在焦散線[6],一系列學者[7-10]將會聚區距離定義為0°掠射角聲線反轉點的循環距離.文獻[5,11]則將聲源深度處傳播損失曲線的峰值作為會聚區,將其差值作為會聚區距離.張晶晶和羅博[12]通過計算兩條鄰近聲線的交匯點估計會聚區的峰值.Yang 等[13]基于卷積神經網絡(CNN)模型提出了一種會聚區的判別方法.張仁和[7]利用簡正波和廣義射線理論[6]研究了反轉點會聚區的聲場,指出發射深度的反轉點附近通常存在著3 條焦散線,認為會聚區在0°掠射角聲線的上反轉點附近形成.莊益夫等[11]利用Bellhop 高斯聲束模型分析了深海聲速剖面結構變化引起的會聚區偏移特征,發現混合層、主躍層、深海等溫層及聲道軸變化均會導致會聚區位置偏移.Wu 等[10]利用拋物方程研究聲速剖面對會聚區位置的影響,分析了南海、東印度洋的區域差異.以上研究主要通過觀察聲線圖或傳播損失曲線的變化定性地分析會聚區的寬度.可見深海會聚區數學描述還不明確,缺乏關于會聚區位置、距離和寬度的精確計算方法.另一方面,會聚區模型預測與聲學實驗觀測間仍存在明顯的差異.南海某爆炸聲傳播實驗[14]結果顯示,會聚區的實驗觀測位置相比理論計算的反轉點位置有所前移,第一會聚區約前移1—3 km,第二會聚區前移超過10 km.Vadov[15]指出第一會聚區的模型預測理論位置通常比實驗觀測結果高出了1—2 km.

同時,會聚區建模需要充分考慮地球曲率對遠程聲傳播的影響.徐傳秀等[16]對拋物模型進行地球曲率修正,結果表明,地球曲率會造成會聚區向遠距離移動.畢思昭和彭朝暉[17]給出了基于共形映射的地球曲率修正方法,結果顯示地球曲率會導致會聚區位置向聲源方向偏移.Munk 等[18]根據費馬原理給出了大地坐標系下的聲學射線方程,在其基礎上,Yan 和Kang[19]與Yan[20]建立了考慮地球曲率影響的二維和三維射線方程,發現射線路徑向聲源方向移動,但未研究會聚區.考慮到球面和平面間有共形映射,但不存在等距映射,因而采用“歐氏空間建模+曲率補償”的方法,在本質上是不完備的,勢必需要在彎曲流形上直接建模才能得到精確模型.

綜上,分析會聚區數學物理機理、研究考慮地球曲率的會聚區精確模型具有重要學術與應用意義.文獻[21]研究建立了水聲射線黎曼幾何模型,分析了水聲場射線的幾何拓撲性質,發現聲線會聚導致焦散現象的根本數學意義是: 流形上的正截面曲率導致測地線形成共軛點.在以上工作的基礎上,運用黎曼幾何中截面曲率、雅可比場和共軛點等概念,從黎曼幾何視角給出會聚區的數學描述,針對考慮地球曲率的遠程聲傳播情形,建立了深海會聚區黎曼幾何模型,發現考慮地球曲率后截面曲率增加了一項(l)(l)/l,體現了地球曲率對聲場射線拓撲結構以及會聚區的影響.以Munk 聲速剖面為例,給出了深海會聚區遠程時空分布.結果顯示,相比不考慮地球曲率情形,會聚區在遠程傳播時向聲源方向移動,第16 個上反轉點會聚區(傳播距離約為932 km)約前移9.6 km.同時發現近海面的會聚區寬度隨聲傳播呈現先變大后變小的現象,最大約20 km,最小約4 km.

本文給出的考慮地球曲率的深海會聚區黎曼幾何數學形式,使會聚區遠程聲傳播研究開始具備現代黎曼幾何意義.論文安排如下: 第2 節給出地球球體流形上自然考慮地球曲率的黎曼幾何聲傳播模型;第3 節分析研究會聚區物理特征,在測地線、雅可比場、共軛點等幾何概念基礎上,給出深海會聚區黎曼幾何描述;第4 節以Munk 聲速剖面為例,分析對比了會聚區黎曼幾何數學模型的有效性;第5 節為全文總結和展望.

2 球體流形上的遠程聲傳播建模

地球近似為一個球體,地球曲率會造成水聲波導彎曲,因此對水聲學中常見的水平分層聲傳播場景而言,實際海洋聲傳播的聲速等值面是同心球面,而非平行平面,因而遠程聲傳播必須考慮地球曲率.基于文獻[21]的黎曼幾何射線建模理論基礎,給出考慮地球曲率的深海遠程聲傳播射線模型.

2.1 水聲射線走時的幾何描述

設 (l,θ,φ) 是以地球球心為原點的球坐標系,R=6370.856 km 是地球的曲率半徑,假設為常數,海水深度為Hm,海面邊界為la=R,海底邊界為lb=R-H.聲源在l軸上(θ=0,φ=0),且位于海面和海底之間.考慮地球曲率后,海洋波導是一個三維球面環體流形:

歐氏度規下的線元 ds2=dl2+l2dθ2+l2sin2θdφ2,弧長s的黎曼度規為

gij與互稱為共形度規.(1)式和(2)式分別表示兩種不同的流形結構,(1)式為三維歐氏度規的球坐標表示,(2)式為水聲射線傳播的時空流形結構.

設單個點源是全向的,且聲線不隨方位角變化發生扭轉,此時方位角恒定的截面的聲傳播是對稱的,見圖1.問題轉化到二維 (l,θ) 平面上,即二維微分流形N={(l,θ)|la ＜l ＜lb,θ ∈(0,π)}.此時傳播距離=lθ,深度=R-l.傳播時 間t的 度規σ ∈[a,b] 是流形 (N,) 上的曲線,σ為線參數,黑體表示向量,沿著曲線x(σ) 的走時T為

圖1 考慮地球曲率后的聲傳播 (a) 對稱截面;(b) (l,θ) 平面上的雅可比場幾何示意圖Fig.1.Sound propagation considering the earth curvature: (a) Symmetrical section;(b) geometric structure of Jacobi field.

2.2 水聲測地線程函方程

在傳播時間t的度規下,聲線是沿著測地線傳播的.自然參數t下黎曼流形 () 的測地線方程為

設α0是初始掠射角,則射線方程(6)的初值條件為

初值問題(6)式和(7)式刻畫了黎曼流形 (N,) 上的水聲射線程函方程.

2.3 聲線幾何擴展的雅可比場描述

測地線的雅可比場刻畫了聲線的內蘊幾何擴展,雅可比方程給出了內蘊幾何擴展的求解方法(圖1(b)).記x(t,α) 是二維黎曼流形 (N,) 上從聲源處發出的以時間t為參數的聲線(測地線),α為掠射角,映射f(t,α)=x(t,α).由文獻[21]可知,

是變分f沿聲線x(t,α0) 的雅可比場.記x(t)=x(t,α0),取單位正交標架場:

雅可比場Y1(t) 表示聲線的內蘊幾何擴展,滿足雅可比方程:

其中K(e1,e2) 表示截面曲率,反映了流形的幾何拓撲結構.根據

結合(5)式,有

截面曲率K(u,v) 與二維截面 [u ∧v] 的基底u,v的選取無關,因此

結合(8)式和(10)式,可以得到雅可比方程:

若雅可比場Y1(tk)=0,則x(tk) 為黎曼流形中的共軛點,即水聲學中的焦散點.此時聲線x(t) 周圍的聲線在x(tk) 附近會聚.

聲線的幾何擴展決定了射線束的橫截面積S,設q為外蘊幾何擴展,α0是初始掠射角,對于徑向對稱的點源聲場[1]:

設W為單位立體角內的輻射聲功率,由射線管內能量守恒性質,單根聲線聲強的基本公式為

沿著一個射線束的幾何擴展損失定義為某一點的聲強I(l,θ) 與距離聲源1 m 處的聲強I0之比[1],單位為分貝(dB),即

為了便于理解,上述推導給出了利用文獻[21]建模方法推導球面分層介質的完整過程.事實上,考慮到黎曼度規、截面曲率和測地線方程均為流形的內蘊形式,不隨坐標系改變而變化,故可由文獻[21]的(21)式、(29)式和(33)式直接得到球面分層介質的測地線程函方程(6)和雅可比方程(11)(細節不再贅述).

2.4 地球曲率的黎曼幾何效應分析

根據文獻[21]中的(29)式和(34)式可知,當不考慮地球曲率影響時,水平分層介質中二維測地線(射線)方程為

這里r和z是柱坐標系下的傳播距離和深度,初值條件為

截面曲率:

雅可比方程:

沿著一個射線束的幾何擴展損失為

由(8)式可知,截面曲率決定了雅可比場Y1(t)的計算結果.比較截面曲率(10)和(17)式,可以發現在相同深度處考慮地球曲率影響前后的截面曲率相差(l)(l)/l,這將影響水聲射線的幾何擴展速率及聲場射線拓撲結構.對于深海水下聲道型聲速剖面,在聲道軸以上,(l)(l)/l ＞0,考慮地球曲率后截面曲率增大;在聲道軸以下,(l)(l)/l ＜0,此時考慮地球曲率后截面曲率減小.下文仿真將給出對雅可比場及會聚區的相關數值影響效應.

3 深海會聚區黎曼幾何建模

本節利用截面曲率、雅可比場和共軛點等幾何概念,結合會聚區的物理特征,給出會聚區的數學描述與計算方法.在經典的水聲學教材[1,23]中,會聚區被定義為從近海面聲源發出的波束經過深海折射路徑傳播后,重新在近海面附近會聚,形成的周期性高聲強焦散區域.Hale[2]指出在較長的范圍內,會聚區的聲信號比其他路徑傳播的聲信號高出約30 dB,且會聚區的邊界不是底部掠射聲線,而是聲線會聚形成的焦散線.張仁和[6,7]證明了發射深度的反轉點附近通常存在著3 條焦散線,認為會聚區在0°掠射角聲線的上反轉點附近形成,將0°掠射角聲線上反轉點的距離作為會聚區距離.最近,一些研究[4,17]發現在深海大深度處折射型聲線的焦散線附近也存在著與海面附近類似的周期性高聲強區域,稱為下反轉點會聚區.由于對會聚區產生主要影響的是折射型聲線[12],在本文中暫不考慮邊界影響,僅考慮折射型聲線產生的會聚區效應.

基于上述研究分析,總結會聚區的3 個基本物理特征如下:

1) 會聚區的邊界是焦散線,0°掠射角聲線的上反轉點附近通常存在著三條焦散線;

2) 會聚區的深度位于近海面(上反轉點)或深海大深度(下反轉點)處,距離具有周期性;

3) 會聚區處產生了聲線會聚現象,因此具有較高的聲強.

聲線會聚產生的焦散現象在黎曼幾何中表現為測地線的雅可比場為0,即出現了共軛點.根據雅可比方程(8)式可知,截面曲率完全決定了雅可比方程的解.共軛點的形成與流形上的截面曲率有關.共軛點定理[21,24]表明,如果流形上的截面曲率均小于或等于零,則不會產生共軛點.如果流形上的截面曲率有正的下界,那么所有完備的聲線均會產生共軛點.從(10)式可以看出,截面曲率K的值取決于聲速剖面和海洋深度.流形上截面曲率的變化揭示了水聲場射線的幾何拓撲結構,反映了海洋環境變化對水聲場的影響.若聲線始終在 0＜Kinf≤K≤Ksup的介質中傳播,那么聲線終將產生焦散點,且相鄰焦散點的時間間隔.若聲線穿過K＜0 的介質區域,那么聲線可能會變得不穩定.因此,產生焦散現象的必要條件是水聲場存在正截面曲率.

結合會聚區物理性質和焦散點幾何性質的研究,本文利用黎曼幾何方法,給出如下會聚區數學描述,用于會聚區建模計算:

1) 存在截面曲率K＞0 的穩定區域,且通過求解測地線方程(6)和Jaocbi 方程(11),聲線出現了共軛點;

2) 在深海上下反轉區域內存在共軛點集合,且具有準周期現象;

3) 當上反轉區域內聲束的幾何擴展損失(14)式小于閾值β時,則出現了上反轉點會聚區,定義為

4) 與文獻[7]的理論結果一致,本文仿真結果顯示0°掠射角聲線的上下反轉點附近存在3 條焦散線.因此,本文將0°掠射角聲線的反轉點作為會聚區的參考點,會聚區距離定義為0°掠射角聲線反轉點的距離.記 C Zk為第k個會聚區,深度0處第k個會聚區的寬度為

由(14)式和(20)式可知 (,)∈CZk需滿足以下條件:

下文數值仿真驗證了由黎曼幾何建模計算得到的會聚區滿足上述深海會聚區的3 個物理特征.

4 深海會聚區黎曼幾何模型的數值實驗與分析

本節以Munk 聲速剖面

為例,分別對考慮地球曲率影響((6)式,(10)式,(11)式,(14)式)和不考慮地球曲率影響((15)式—(19)式)時建立的深海會聚區幾何模型進行仿真,并對仿真結果進行對比分析.

4.1 考慮地球曲率前后聲場射線的幾何性質對比

根據截面曲率(10)式和(17)式,可以看出Munk聲速剖面(22)式下的截面曲率K不恒為常數,不能直接求出雅可比方程的解析解.在聲道軸以上(1300 m),(l)(l)/l＞0,考慮地球曲率后截面曲率增大;在聲道軸以下(1300 m),(l)(l)/l＜0,考慮地球曲率后截面曲率減小.這使得Munk 聲速剖面下截面曲率的臨界值發生了變化,見表1.

表1 考慮地球曲率前后Munk 聲速剖面下截面曲率對比Table 1.Comparison of sectional curvature of Munk sound speed profile.

根據共軛點定理[21,24],如果聲線始終在截面曲率K=0 時深度的臨界值上方傳播,那么聲線一定會產生焦散點.若聲線始終在截面曲率臨界值的下方傳播,那么聲線將不斷發散.截面曲率臨界值的改變可能使原本穩定的聲線變得不穩定,從而影響會聚區的形成.此外,根據截面曲率的最大值Kmax可知,不考慮地球曲率影響時相鄰焦散點之間的時間間隔t≥5.8567 s,考慮地球曲率影響后相鄰焦散點之間的時間間隔t≥5.8564 s.

選取50 根中心聲線,利用四階Runge-Kutta法計算考慮地球曲率與不考慮地球曲率的測地線方程(6)和方程(15),雅可比方程(11)和方程(18)的數值解,其中參數設置為H=5000 m,入射角α0∈[-8°,8°],頻率ω=50 HZ,聲源位于r(0)=0 m,z(0)=200 m,時 間t∈[0,a],a=660 s,此時所選聲線均為折射型聲線.中心聲線上各點處的截面曲率和雅可比場的分量Y1(t) 的求解結果見圖2 和圖3.分析圖2(a)可知,考慮地球曲率前后絕大多數聲線均在截面曲率K＞0 的穩定區域中傳播,少數聲線穿過了K＜0 的不穩定區域,且所經過的不穩定區域的截面曲率接近于0.此外,比較同一初始條件出發的聲線的截面曲率(圖2(b)),數值結果顯示在形成第一個焦散點之前,同一時刻考慮地球曲率后聲線的截面曲率大于不考慮地球曲率的截面曲率.Rauch 比較定理是黎曼幾何中的重要工具,刻畫了不同流形上截面曲率對雅可比場的影響.

圖2 考慮地球曲率前后所選聲線的截面曲率 (a) 660 s 內50 根聲線的截面曲率;(b) 入射角 α0=0° 的聲線形成第一個焦散點前的截面曲率Fig.2.Section curvature before and after considering the earth curvature: (a) Section curvature of 50 sound lines in 660 s;(b) section curvature of sound line with elevation angle α0=0° before forming the first caustic.

根據Rauch 比較定理,在形成第一個焦散點之前,考慮地球曲率的雅可比場小于不考慮地球曲率的雅可比場,故先形成第一個上反轉點會聚區.

雅可比場Y1(t) 的零點即焦散點的位置,從圖3可以看出,考慮地球曲率前后均會不斷形成焦散點,660 s 每根聲線的焦散點個數為28—34 個.盡管少數聲線穿過了K＜0 的不穩定區域,但經過的區域較小,且截面曲率接近于0,聲線的發散速率不大,故所有聲線均產生了焦散點,且形成焦散點的時間間隔符合上文分析.同時,隨著聲線的傳播,雅可比場的極大值不斷增大,說明聲線束的幾何擴展損失增大,聲場能量損耗增大.

圖3 660 s 內所選50 根聲線的雅可比場 Y1(t)Fig.3.Jacobi field Y1(t) of 50 sound lines in 660 s.

4.2 地球曲率對深海會聚區位置和寬度的影響效應

利用幾何擴展損失的計算公式(14)式和(19)式可得,不考慮地球曲率時幾何擴展損失的最大值為113.3 dB,考慮地球曲率后幾何擴展損失的最大值為113.8 dB.根據第3 節提出的深海會聚區幾何模型,得到遠程傳播彎曲聲道中(二維情形)的聲線軌跡、焦散點以及會聚區位置,如圖4.

圖4 彎曲聲道中的聲線、會聚區和焦散點 (a) 全圖;(b) 細節圖Fig.4.Ray,convergence zone and caustics in curved sound channel: (a) Full picture;(b) details picture.

從圖4 可以看出,焦散點主要集中在聲線的上反轉點和下反轉點位置,這說明在近海面處和深海大深度處均會產生明顯的會聚區效應,且會聚區的邊界存在焦散線,符合會聚區的物理特征,說明本文給出的會聚區計算方法是合理的.

為了便于分析地球曲率的影響,本文在深度-距離坐標系中計算了考慮地球曲率前后聲線、焦散線和會聚區的位置(所選參數不變),見圖5 和圖6.從圖5 和圖6 可以看出,考慮地球曲率前后近海面和深海大深度處都出現了明顯的焦散現象,0°掠射角聲線的反轉點附近出現了3 條焦散線(圖5),這與前文的理論分析吻合.因此,考慮地球曲率前后在近海面(30—200 m)和深海大深度處(考慮地球曲率前約為3700—4610 m,考慮地球曲率后約為3660—4560 m)均存在明顯的會聚區效應,1000 km距離內產生了16 個會聚區(圖6).

圖5 考慮地球曲率前后的聲線和焦散線 (a) 全圖;(b) 上反轉點焦散線;(c) 下反轉點焦散線Fig.5.Rays and caustics before and after considering the earth curvature: (a) Full picture;(b) upper turning point caustics;(c) lower turning point caustics.

圖6 考慮地球曲率前后的聲線和會聚區Fig.6.Rays and convergence zones before and after considering the earth curvature.

從圖5 和圖6 可以看出,考慮地球曲率后聲線整體向聲源方向移動,焦散點和會聚區也隨之移動.仍以0°聲線反轉點作為會聚區位置的參考點,發現上、下反轉點會聚區的傳播距離均有所減小.隨著傳播距離的增大,會聚區前移距離近似線性增長(圖7).

圖7 考慮地球曲率后會聚區偏移的距離Fig.7.Movement of the convergence zone after considering the earth curvature.

第4 個上反轉點會聚區(傳播距離約為232 km)約前移2.5 km、下反轉點會聚區(傳播距離約為204 km)約前移2.3 km,第9 個上反轉點會聚區(傳播距離約為524 km)約前移5.5 km、下反轉點會聚區(傳播距離約為495 km)約前移5.4 km,第16 個上反轉點會聚區(傳播距離約為932 km)約前移9.6 km、下反轉點會聚區(傳播距離約為902 km)約前移9.7 km,見表2.此外,考慮地球曲率后上反轉點會聚區的深度變化不大,下反轉點會聚區的深度變淺,約變淺42 m.產生差異的根本原因是水聲場射線幾何拓撲結構的改變.

表2 考慮地球曲率后會聚區向聲源方向前移距離Table 2.Distance of convergence zone moving forward towards sound source after considering the earth curvature.

應當指出,現有研究[16,17]均是采用環境參數修正的方法考慮地球曲率的影響,考慮到球面與平面存在本質不同,即無等距映射,因而將問題先轉化為歐氏空間計算、再加以曲率修正的方法,客觀上將存在一定的誤差.本文通過直接在彎曲底流形上建模,避免了曲率修正帶來的誤差.

以0°掠射角聲線反轉點的間距作為會聚區的距離,仿真結果顯示地球曲率修正前會聚區距離約為58.15—58.34 km,地球曲率修正后會聚區距離有所增大,約為58.82—58.87 km.基于已經得到的會聚區位置,本文分別計算了200 和4000 m 接收深度處會聚區的寬度(定義見第3 節),見圖8.從圖8 可以看出,Munk 聲速剖面近海面處的會聚區寬度隨聲傳播呈現先變大后變小的現象,最大約20 km,最小約4 km.與圖6 中呈現的會聚區結果相吻合.會聚區的寬度受Jaocbi 場Y1和傳播距離的共同制約 ((21)式),當傳播距離較小時,雅可比場|Y1| 的極大值也較小(圖3),會聚區條件(21)式容易滿足,會聚區較寬;當傳播距離較大時,雅可比場|Y1| 的極大值較大(圖3),由(21)式可以看出,雅可比場|Y1| 較小時才可滿足會聚區條件,此時會聚區的寬度變窄.

圖8 不同接收深度處考慮地球曲率和不考慮地球曲率的會聚區寬度 (a) 200 m;(b) 4000 mFig.8.The width of convergence zone considering and not considering earth curvature at the two different receiver depths:(a) 200 m;(b) 4000 m.

4.3 聲傳播損失閾值對深海會聚區的影響分析

當會聚區幾何擴展損失的閾值β改變時,會聚區的寬度也隨之改變,如圖9.從圖9 可以看出,β越大,會聚區聲線的聚焦效果越強,會聚區的聲強越大,但會聚區的寬度減小.β變小,會聚區的寬度變大,但會聚區內的聲強變弱.當β=25 dB 時,200 m 接收深度處第7 個上反轉點會聚區的寬度約7 km,β=20 dB 時 約9 km,β=15 dB 時 達到30 km.

圖9 不 同幾何擴展損失閾值下的會 聚區 (a) β=25 dB;(b) β=15 dBFig.9.Convergence zones at two different geometric spread loss thresholds β : (a) β=25 dB;(b) β=15 dB.

圖10 給出了聲源深度為150 和300 m,其他參數不變時考慮地球曲率影響后的焦散線和會聚區位置.可以看出此時仍會形成明顯的上、下反轉點會聚區,聲源越深,上反轉點會聚區的深度越深,下反轉點會聚區的深度越淺.聲源深度為150 m時上反轉點會聚區的深度約為20—150 m,下反轉點會聚區的深度約為3890—4700 m.300 m 時上反轉點會聚區的深度約為100—300 m,下反轉點會聚區的深度約為3260—4150 m.

圖10 不同聲源深度的焦散點與會聚區 (a) 150 m;(b) 300 mFig.10.Convergence zones at two different source depths: (a) 150 m;(b) 300 m.

4.4 黎曼幾何模型與簡正波方法的對比驗證

為驗證本文結果的正確性,本文使用未考慮地球曲率的經典簡正波理論對會聚區進行了預報.定義上下反轉區域內聲傳播損失小于最大損失40 dB的區域為會聚區,圖11 給出了環境參數保持不變時,使用簡正波聲場模型(Kraken)計算的Munk聲速剖面聲傳播損失及會聚區仿真結果.

從圖11 可以看出,在均不考慮地球曲率影響的情況下,使用簡正波方法預報的會聚區的距離、寬度等特征與本文黎曼幾何建模計算結果一致,可以從側面驗證本文會聚區黎曼幾何模型的有效性.此外,本文通過共軛點、雅可比場、截面曲率等幾何概念建立會聚區模型,給出了可自然考慮地球曲率效應的會聚區精確計算方法,在黎曼幾何框架下揭示了深海會聚區的數學物理機理,相比難以直接考慮地球曲率效應的經典水聲建模理論具有明顯的優勢.

圖11 黎曼幾何與簡正波法計算的會聚區對比圖 (a) 黎曼幾何理論計算的會聚區 (b) 簡正波法(Kraken 軟件)計算的會聚區Fig.11.The convergence zones by Riemann-Geometry and Normal-Mode theory: (a) Based on Riemann-Geometry Theory ;(b) based on Normal-Modes (Kraken).

5 結論與展望

本文將地球曲率的影響考慮在內,基于水聲射線建模的黎曼幾何理論描述建立了深海遠程聲傳播射線模型,分析了形成會聚區的物理機理,給出了會聚區的黎曼幾何描述.主要結論如下:

1) 在彎曲球體流形上直接建立深海會聚區幾何模型,可自然地考慮地球曲率效應;結合深海會聚區物理特性分析,給出其黎曼幾何描述,初步建立了深海會聚區的黎曼幾何學概念.

2) 本文的考慮地球曲率的會聚區黎曼幾何模型具有精確性特征,相比間接修正類方法而言,避免了參數修正帶來的誤差;考慮地球曲率后的截面曲率增加了一個附加項,本質上改變了水聲射線拓撲結構,對會聚區產生實質影響.

3) 采用Munk 聲速剖面的會聚區黎曼幾何模型仿真計算顯示,近海面處的會聚區寬度隨聲傳播呈現先增大后減小的現象,最大約20 km,最小約4 km.同時,考慮地球曲率影響后聲線、焦散點和會聚區均向聲源方向前移.傳播距離越大,會聚區前移的距離也越大.聲源和接收深度均為200 m時,第16 個上反轉點會聚區(傳播距離932 km)約前移9.6 km.

本文選擇深海會聚區遠程聲傳播作為研究對象,是非歐幾何在水聲學應用研究的初步探索.后續還有很多工作有待深入開展: 1)本文僅考慮地球曲率恒定時的深海遠距離會聚區傳播.對實際兩極稍扁、赤道略鼓的不規則真實地球而言,需要研究考慮真實地球模型的黎曼幾何會聚區建模;2)考慮更多真實海洋環境復雜因素的黎曼幾何水聲建模研究與應用,如同時考慮地球曲率和海流偏轉效應、基于偽黎曼流形的時變大范圍聲場傳播建模,表面聲道遠程聲傳播機理等.

感謝宋君強院士對該研究探索的鼓勵和支持,黃思訓教授、梁湘三教授審閱了論文初稿,特致謝忱.