耗散環境單量子點體系輸運過程的量子速度極限研究*

劉天 李宗良 張延惠? 藍康

1) (山東師范大學物理與電子科學學院,濟南 250014)

2) (山東大學物理學院,晶體材料國家重點實驗室,濟南 250100)

基于量子點輸運理論與Bures 角度量的方法,研究了耗散環境下單量子點系統輸運過程中的量子速度極限特性.結果表明: 由于隧穿過程存在庫侖阻塞效應與量子相干效應,系統可加速能力隨左側隧穿概率有微小的變化;然而,系統可加速能力隨右側隧穿概率變化明顯,歸因于動力學通道阻塞與共隧穿的共同效應.能級差的增大使系統向目標態演化需要更長的時間,從而改變系統的加速潛力以及隨時間演化的震蕩頻率.耗散環境中弛豫速率對系統可加速能力的影響不是單調的,存在一個有趣的轉折點,當弛豫速率小于該點時,系統的可加速能力產生震蕩變化,當弛豫速率大于該點時,加速潛力的變化受到了弛豫速率的單調抑制,弛豫速率的增大總體上抑制了系統的可加速能力.

1 引言

隨著量子計算與量子信息技術的發展,量子速度極限(QSL)開始受到更廣泛的關注,研究發現QSL 可以應用于量子計算與量子傳輸,在保護量子信息與量子最優理論中起到重要作用[1-+].量子速度極限時間是量子系統穿越給定演化距離所需最短演化時間的下界,量子速度極限時間的邊界決定了系統演化速度的上限,其能表征出系統最快的演化,研究如何加快系統演化速度能夠高效的提升量子計算的效率[9-13].1945 年,Mandelstam和Tamm[14]由系統能量方差的形式提出了幺正演化下從初始態到可區分末態的最短演化時間(MT 型邊界).1998 年,Margolus 和Levitin[15]基于可以判定具體系統的能量平均值E,提出了另一種最短演化時間(ML 型邊界).通過結合MT 與ML 速度極限時間,給出了封閉系統量子速度極限時間統一界,2013 年,Deffner 和Lutz[16]將量子速度極限概念拓展到非幺正動力學系統,并通過阻尼Jaynes-Cummings 模型為研究對象探討了體系的非馬爾可夫性質對最短演化時間的縮短效應.非馬爾可夫效應已經被證實了可以加速系統的演化,為了提高演化速度,人們對各種量子體系的速度極限不等式展開了深入研究[17-21].2017 年,Cai 和Zheng[22]采用跡距離度量推導了非平衡環境下的MT 與ML時間界,證實了體系的非馬爾可夫特性對加速系統演化的必要不充分性質.2019 年,Sun 和Zheng[23,24]基于量子幾何相位和幾何相位變化率,在量子態矢量于流形空間中平行傳輸的條件下得出不同于MT 和ML 類型的時間界,且通過化簡可以回到ML 的結果.

單量子點具有操作性強、易觀測、可制備等優點,它涉及到量子力學基本原理在實際中的應用,表現出獨特的量子特性,比如量子隧道效應、庫侖阻塞效應、局域化效應、表面效應等.1997 年,Gurvitz 等[25,26]將其與量子點接觸探測器結合,研究了在測量過程中孤立量子點系統內電子轉移的動力學演化機制,并在2003 年將量子點系統與耗散環境耦合,表明弛豫會破壞測量過程的芝諾效應.2010 年,Ouyang 等[27]通過占有態和本征態兩種方法得到電子運動的主方程,分析了不同外界環境下量子點系統的輸運特性.研究者們對量子點的轉移與輸運等特性做出了大量探索,并對耗散環境中電子轉移過程的量子速度極限開展了深刻的研究[28-+],但開放量子點系統輸運過程的量子速度極限還是一個有待于探索的課題,輸運過程中隧穿概率以及馳豫速率等如何影響量子點系統演化的速度極限正是本文研究的目的,研究結果可以用于實驗中通過對電壓的微調來操控量子態的演化,以應用于量子計算機微觀器件的設計.

本文探究了耗散環境下單量子點系統在輸運過程中的量子速度極限時間,得出量子速度極限時間與實際演化時間的比值關系式τQSL/τ,它能表征單量子點系統的可加速能力(CPS),反映出系統在演化進程中可被加速的空間.分析了弛豫速率γr、左側隧穿概率與右側隧穿概率等因素對于量子速度極限的影響,研究結果表明: 1)左側隧穿概率與右側隧穿概率對量子點系統有不同的加速效果,左側隧穿概率的提高對于量子系統的可加速能力的促進細微,右側隧穿概率的增大對促進系統的CPS 更強.是由于電子從左側隧穿進入量子點時受到了庫侖阻塞效應以及量子相干的影響,抑制了系統的可加速能力,右側由于通道阻塞效應與共隧穿效應的產生,系統的CPS 得到增強.2)激發態與基態之間弛豫過程的加快總體上提高了系統的演化程度,系統可加速的空間有所降低.有趣的是,當Ωr≤γr≤Ωr時,弛豫過程會與隧穿過程產生競爭,影響了輸運過程中的電子布局數,導致量子速度極限時間比值存在震蕩現象,當Ωr≤γr≤2Ωr時,競爭關系減弱,量子速度極限比值穩定上升.3)激發態與基態之間的能級差通過影響系統的演化路徑,改變了系統的演化快慢,能級差增大時,系統演化會存在逐漸偏離測地線演化的趨勢,系統的可加速能力得到提升.

此外,本文推導了單量子點系統輸運過程的動力學表達式,闡述了單量子點系統量子速度極限時間的推導方法及原理,通過Bures 角的方法對初始純態下的量子速度極限表達式進行推導.將量子速度極限時間表達式應用到單量子點體系輸運的過程中,分析隧穿概率與弛豫速率等因素對于量子速度極限時間的影響.

2 理論方法與模型

2.1 單量子點輸運模型

首先建立了一個單量子點與左右電子庫耦合的輸運模型,然后推導出了單量子點輸運過程的動力學表達式.如圖1 所示,由于外加到左右電極上電壓不同,左右電子庫的化學勢El,r不同(考慮El＞Er的情況).電子從左側電極通過基態通道和激發態通道隧穿至量子點中的離散能級上,左側電子激發態(基態)隧穿概率為Γe(g).量子點中電子從激發態(基態)隧穿到右側電極的隧穿概率為ΓE(G).考慮系統的基矢為{|0〉,|e〉,|g〉},空態 |0〉代表量子點中不存在電子,|e〉代表電子位于量子點激發態能級,|g〉代表電子處于量子點基態能級.

圖1 單量子點系統輸運過程示意圖,Ee 和 Eg 表示激發態與基 態能 級,El 和 Er 為左右兩側化學勢,Γe(g) 為左側電子隧穿進入激發態(基態)能級的隧穿概率,ΓE(G) 為激發態(基態)電子隧穿進入右側電子庫的隧穿概率Fig.1.The diagram of the single quantum dot system in transport process,Ee and Eg denotes two energy levels in quantum dot,El and Er denotes the left and right electrode potentials Γe(g) is the tunneling probability of the left electron tunneling into the excited(ground) state energy level,ΓE(G) is the tunneling probability of the excited(ground) state electron tunneling into the right electron library.

單量子點系統對于在實驗中實現QSL 的研究具有很重要的意義,如圖1 所示,體系的哈密頓量為H=H0+Hleads+Hint,由三部分構成:

其中H0代表了量子點系統的哈密頓量,ε為激發態與基態的能級 差,ae+(ae) 與ag+(ag) 代表電子處于激發態與基態的產生湮滅算符.Hleads代表了電極部分的哈密頓量,El,r為量子點兩側電極電勢,al+(al)與ar+(ar) 表示左側電極以及右側電極電子的產生湮滅算符.Hint代表了量子點系統與電極之間相互作用的哈密頓量,右邊第1 項表示左邊電極和基態(激發態)相互作用,電子進入量子點.第2 項表示右邊電極和基態(激發態)相互作用,量子點內的電子湮滅,Ωl(r)是量子點與左右兩側電極之間的耦合強度,σj+=|j〉〈0|,σj-=|0〉〈j|是相應的上下升降算符,整個過程只考慮從左到右的單向輸運,量子點系統動力學主方程滿足:

密度矩陣元素ρee(ρgg) 表示電子占據激發態(基態)的概率,而矩陣元素ρeg(ρge) 表示系統的相干項,考慮密度矩陣ρ(t)=[ρ0(t),ρee(t),ρgg(t),ρeg(t),ρge(t)] 總的演化算符表示為

2.2 Bures 角度量下的量子速度極限

采用Bures 角度量的量子速度極限方法[37-+],推導單量子點系統動力學演化的可加速能力表達式,D為任意初始態和末態的測地線,存在以下幾何不等關系:

式中,L可以理解為量子系統演化的實際長度[23,40],因此系統沿實際路徑演化的瞬時速度可以表示為

而系統演化平均速度為

考慮平均速度是系統沿測地線和實際路徑上的守恒量,量子速度極限時間對應以該平均速度沿測地線演化的時間,從而獲得量子速度極限時間為

當系統沿測地線演化時,此時實際的演化時間等于量子速度極限時間,量子演化已經達到最快演化,沒有加速的可能;如果量子系統并未沿測地線演化,則實際演化時間大于量子速度極限時間,未達到最快演化,說明量子演化還存在被加速的可能,這種能力可以被理解為量子系統的加速潛力,表示為

其中τQSL是初態ρ(0) 和末態ρ(τ) 之間的最短演化時間,而τ是實際的動力學演化時間.考慮量子系統在測地線和實際演化路徑的平均速度相同,則二者的比值等于測地線和實際演化路徑的比值.當這個比值為1 時,那么就說明量子系統沿著測地線演化,達到了最小的演化時間.反之,當該比值小于1 時,則表明量子系統具有偏離測地線演化的行為,系統演化中存在著一定的加速潛力[41].

考慮初始純態的情況,動力學演化測地距離可以表示為

相應的實際演化路徑為

2.3 初始基態

首先考慮初始時刻電子位于基態的情況,即|ψ0〉=|g〉,相應的密度矩陣為

此時量子系統不存在初始相干.結合單量子點輸運體系密度矩陣(4),推導出τ時刻測地距離表達式:

通過(13)式,給出系統實際演化路徑表達式:

量子速度極限時間可以表示為

該不等式不僅將系統初態ρ(0) 與末態ρ(τ) 緊密結合起來,體現出單量子點系統的最快演化,而且反應出了量子速度極限時間與體系實際演化時間的比值關系:

對(15)式進一步推導給出了τQSL/τ的比值關系式(16),反映出量子系統實際演化時間與演化最短時間的差異,能體現出系統可供加速的空間即量子系統可加速能力(CPS)有多大,該比值的范圍應該遵循 0 ≤τQSL/τ≤1.

2.4 初始疊加態

τ時刻測地距離表達式為

疊加態下τ時刻實際演化路徑表達式為

將測地距離表達式與該式對比得出關系式為

該式為疊加態下量子速度極限時間QSL 與實際演化時間的比值,反映系統疊加態下CPS 的大小,體現出量子點系統在輸運過程中實際演化時間與最短演化時間的偏離程度.

3 結果與討論

圖2(a)為初始單態的情況,可以發現量子速度極限時間和實際演化時間的比值τQSL/τ始終為1,系統不具備加速潛力.在圖2(b)中,考慮初始疊加態,隨著量子演化比值τQSL/τ呈現出先恒定后振蕩減小的趨勢,這是因為初始相干的存在導致了測地線隨演化時間的振蕩[42],而實際演化長度單調遞增.這種特性讓系統的演化存在一定可加速的空間,最后該比值趨于穩定,表示系統動力學演化結束.

圖2 初態為g 態與相干態下量子速度極限時間比值 τQSL/τ 隨驅動時間變化圖 (a)初態為g 態時 τQSL/τ 隨驅動時間的變化;(b)初態為相干態時 τ/QSLτ 隨驅動時間的變化,左側量子點與電子庫耦合強度 Ωr=1,電子的隧穿概率 ΓE=0.5Fig.2.The ratio of the quantum speed limit time τQSL/τ varies with the driving time in the initial g state and the superposition state: (a) The change of the τQSL/τ with driving time when the initial state is coherent state;(b)the change of the τQSL/τ with driving time when the initial state is superposition state ;the left coupling strength parameter Ωr=1,tunneling probability of electrons ΓE=0.5.

圖3 展示了左側不同隧穿概率下單量子點體系量子速度極限時間比值τQSL/τ隨驅動時間的演化趨勢.從圖3(a)插圖可以看出,隨著激發態隧穿概率的增大,量子速度極限時間的比值變化細微,但也存在微小的下降.圖3(b)中基態隧穿概率的變化對τQSL/τ的影響弱小同樣存在微小下降如圖3(b)中插圖.因為電子隧穿進入量子點的過程中,無論進入激發態通道還是基態通道都會產生庫侖阻塞效應以及量子相干,電子隧穿過程受到了阻礙,抑制了系統演化加速的可能,故系統的可加速能力略有增大但變化很小,表明左側激發態與基態隧穿概率對系統的CPS 影響不明顯.

圖3 單量子點系統的速度極限時間比值 τQSL/τ 隨左側隧穿概率與驅動時間的變化圖 (a)不同左側激發態隧穿概影響下τQSL/τ 隨驅動時間變化;(b)不同左側基態隧穿概率影響下 τQSL/τ 隨驅動時間變化,量子點與左側電子庫耦合強度 Ωr=1,能級差 ε=5ΩrFig.3.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of left tunneling probability and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under the influence of left different tunneling probabilities into excited states;(b) variation of τQSL/τ with driving time under the influence of left different tunneling probabilities into ground states,the left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

圖4 展示了不同出射隧穿概率下單量子點體系量子速度極限時間比值τQSL/τ隨驅動時間的變化規律,圖4(a)中,右側激發態隧穿概率的增大讓速度極限時間比值產生均勻的下降,基態隧穿概率的變化如圖4(b)所示,使τQSL/τ呈現不均勻的下降.因為當激發態與基態隧穿概率差值增大時,演化過程中產生動力學通道阻塞效應阻礙了激發態與基態中電子的橫向傳輸,系統演化的可加速能力得到提升.在隧穿過程中激發態通道與基態通道的相互作用也產生了共隧穿效應為系統演化加速提供了更大的空間.表明右側隧穿概率的增大會明顯降低量子速度極限時間比值,促進了系統可加速能力的提升.

圖4 單量子點系統的速度極限時間比值 τQSL/τ 隨右側隧穿概率與驅動時間的變化圖 (a)不同右側激發態隧穿概率影響下τQSL/τ 隨驅動時間的變化;(b)不同右側基態隧穿概率影響下 τQSL/τ 隨驅動時間的變化.量子點與左側電子庫耦合強度 Ωr=1,能極差 ε=5ΩrFig.4.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of right tunneling probability and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under the influence of right different tunneling probabilities from excited states ;(b) variation of τQSL/τ with driving time under the influence of right different tunneling probabilities from ground states.The left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

圖5(a)展示了不同弛豫速率下單量子點體系量子速度極限時間比值τQSL/τ隨驅動時間的演化趨勢,隨著弛豫速率γr的增大,τQSL/τ總體上也逐漸上升.因為弛豫速率的增大加速了電子從激發態到基態指數衰減的快慢,從整體上加快了系統演化的進程,弱化了系統的可加速能力.如圖5(b)所示,弛豫速率γr對體系的影響并不是單調的,當量子點系統與耗散環境耦合逐漸增大時,τQSL/τ先呈現出振蕩隨后又單調上升.當 0 ≤γr≤Ωr時,電子在激發態與基態之間的躍遷影響了電子從左電極通過量子點到右電極的隧穿過程,兩個方向上的演化存在競爭導致上下能級電子布局數的變化,輸運過程中量子速度極限比值產生了震蕩現象.Ωr≤γr≤2Ωr時,躍遷過程在競爭關系中占據了主導地位,系統速度極限比值呈現單調上升的趨勢,單量子點體系的CPS 受到抑制.表明: 弛豫速率增大過程中,τQSL/τ雖會產生振蕩,但總體上該比值出現上升趨勢,弛豫速率的增大抑制了量子點系統演化的可加速能力.

圖5 單量子點系統的速度極限時間比值 τQSL/τ 隨弛豫速率與驅動時間的變化圖 (a) 不同弛豫速率影響下 τQSL/τ 隨驅動時間的變化;(b) τQSL/τ 隨弛豫速率 γr 與驅動時間的三維變化圖.量子點與左側電子庫耦合強度 Ωr=1,能極差 ε=5ΩrFig.5.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of relaxation rates and driving time for a single quantum dot system:(a) Variation of τQSL/τ with driving time under different relaxation rates ;(b) three-dimensional diagram of τQSL/τ as a function of relaxation rate and driving time.The left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

圖6 展示了不同能級差下單量子點體系量子速度極限時間比值τQSL/τ隨驅動時間的變化,隨著能級差的增大,不但引起了系統τQSL/τ的下降,而且影響了系統隨驅動時間演化的振蕩頻率,能級差不同時,產生了τQSL/τ的交點.這是由于能級差ε=0 時,電子通過量子點與兩側電極之間的隧穿完成傳輸.當能級差ε逐漸增大時,如圖6(b)所示,處于激發態的電子向右水平隧穿的同時有概率躍遷到基態,量子點系統的演化由于偏離了水平方向隧穿會導致實際演化路徑增大,兩能級間差值越大偏離測地路徑就越明顯,量子速度極限時間比值下降,能級差不同基態與激發態間的量子相干效應也不同,增大了系統隨驅動時間演化的振蕩頻率,也促成了不同能級差產生相同可加速能力的交叉點.因而能級差ε對單量子點系統的CPS 表現出顯著變動的促進.

圖6 單量 子點 系統 的速 度極 限時 間比 值 τQSL/τ 隨能 級差 ε 與驅動時間的變化圖 (a)不同能級差 ε 影響下的τQSL/τ 隨驅動時間變化;(b)能級差產生躍遷原理圖.量子點與左側電子庫耦合強度 Ωr=1,ΓE=0.5 Fig.6.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of energy displacement ε and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under different energy displacement ε ;(b) the schematic diagram of transition generation by difference energy level.The left coupling strength parameter Ωr=1,Tunneling probability of electrons ΓE=0.5.

4 結論

本文首先推導了量子點系統輸運體系下的密度矩陣元,運用速度極限中Bures 角度量的方法,給出了單量子點體系在耗散環境下系統輸運過程的速度極限表達式,并探究了兩側隧穿概率、弛豫速率以及能級差等因素對于系統可加速能力的影響.結果表明調節左電極電勢提升左側電子隧穿進入量子點的隧穿概率對τQSL/τ的影響微小,是因為電子隧穿進入量子點的過程中受到庫侖阻塞效應以及量子相干的影響,左側基態與激發態隧穿概率的改變對系統可加速能力的提高不明顯.當調節右電勢增大量子點中電子隧穿進入右側電極的隧穿概率時,發現右側基態與激發態隧穿概率的改變較為明顯地提升了量子點系統的可加速能力,是由于隧穿過程中產生了通道阻塞效應以及共隧穿效應.當與外界環境處于強耦合的環境下,弛豫速率的增大會改變電子從激發態到基態衰減的快慢.系統可加速能力隨馳豫速率的變化存在一個有趣的轉折點,當馳豫速率小于該點時,電子布居數的變化導致系統可加速能力產生震蕩變化.當馳豫速率大于該點時,弛豫過程占據主導地位,系統可加速能力受到單調抑制,總體上體系CPS 受到抑制.激發態與基態間能級差ε的增大而產生的躍遷與相干性會增加電子在量子點系統內的實際演化路徑,改變了量子點系統隨驅動時間的演化頻率,整體上促進了系統可加速能力的提升.還有更多的物理量可以與量子點系統的速度極限結合,比如輸運過程中的電流以及幾何相位等,這值得進一步探索.