關聯代數上的ξ-Lie導子

姜欣彤

(吉林師范大學數學與計算機學院,吉林長春,130000)

關聯代數最初是作為計數組合理論與算術函數理論交叉領域的研究對象,在研究關聯代數時一般通過兩類重要的映射: 一類是保持某種乘法不變的各種映射,如李同態、李同構、約當同構等; 另一類是由滿足某種Leibniz 公式的微分算子構成,如導子、李導子、約當導子等[1],本文就屬于后者。近年來,許多學者在關聯代數上做出了突出貢獻,Yang Y P[2]證明了每個非線性Jordan 導子是標準的,即可以表示為內導子、傳遞誘導導子和可加誘導導子的和;Fornaroli 等[3]證明了關聯代數上可加導子是內導子的充要條件; 周斯名[4]研究了關聯代數上的非線性Lie 中心化子的標準形式;Chen Lizhen 等[5]證明了關聯代數I(X,R)上每個Jordan 高階導子是高階導子。

導子一直是算子代數上研究的熱點問題,許多學者研究了各類代數上的線性映射δ:A→A何時為導子的問題。2009年,齊霄霏等[6]首先給出ξ-Lie導子的定義,證明了三角代數上每個可乘雙射φ(其中φ(AB-ξBA)=φ(A)φ(B)-ξφ(B)φ(A))都是ξ-Lie 環同構，并刻畫了上三角塊矩陣代數和套代數上ξ-Lie 可乘雙射。之后引起了許多學者對ξ-Lie 導子的興趣,李彩紅等[7]研究了三角代數上零點處ξ-Lie 導子的形式; 劉丹等[8]證明了Banach 空間上ξ-Lie 導子(ξ≠±1)是導子; 王婷等[9]證明了當ξ≠1時,子空間格代數上的ξ-Lie 導子是一個導子。受上述文獻的啟發,本文給出關聯代數上的ξ-Lie 導子的具體形式及系數之間的關系。

1 預備知識

定義1設R是有單位元的交換環,A是R上的代數,設δ:A→A是R-線性映射。如果對任意x,y∈A,有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y),則稱δ為導子; 如果δ([x,y])=[δ(x),y]+[x,δ(y)],則稱δ為Lie 導子,這里[x,y]=xy-yx; 若δ([x,y]ξ)=[δ(x),y]ξ+[x,δ(y)]ξ,則稱δ為ξ-Lie 導子(ξ∈R),這里[A,B]ξ=xy-ξyx。顯然,當ξ=0 時(0 代表R中零元,后文不再標注),ξ-Lie 導子是一個導子,當ξ=1時(1 代表R中單位元,后文不再標注),ξ-Lie 導子是一個Lie 導子,ξ=-1時,ξ-Lie 導子是一個Jordan 導子。

定義2[10]設X是一個集合,≤是X上的二元關系,若其滿足:(1)自反性,x≤x,?x∈X;(2)傳遞性,若x≤y,y≤z,則x≤z,?x,y,z∈X。

此時,稱集合X關于二元關系≤是一個預序集。

定義3[11]稱預序集是連通的,即對任意x,y∈X,都存在序列{x=x0,x1,…,xn=y}滿足xi-1≤xi或xi-1≥xi,?i={1,…,n}。

定義4[11]設R是含單位元的交換環,(X,)≤是一個局部有限預序集,在R上定義關于X的關聯代數I(X,R):={f:X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立},代數運算為(f+g)(x,y)=f(x,y)+乘積fg在函數論中被稱為卷積。

定義5設X和Y同為實或復線性空間,D?X為線性子空間。對于映射T:D→Y,若任意x,y∈D和α,β∈C都有T(αx+βy)=αT(x)+βT(y)成立,則稱T是線性算子。

定義6[11]關聯代數I(X,R)中的單位元δ滿足δ(x,y)=δxy,x≤y,其中δxy∈{0,1}是Kronecker 符號。?x≤y,定義exy(u,v)=1若(u,v)=(x,y),其他為零。根據乘法為卷積可知

關聯代數I(X,R)上有一組基B:={exy|x≤y}。

設D:I(X,R)→I(X,R)是一個R-線性算子且令

引理1[12]設D:I(X,R)→I(X,R)是一個R-線性算子,則D是導子當且僅當D滿足D(eij)=滿足如下關系式若i≤j≤k。

引理2[12]設R是含有單位元的2-扭自由交換環,關聯代數I(X,R)的每個Jordan 導子是導子。

2 主要定理及證明

定理1設(X,≤)是連通的有限預序集,若δ是一個關聯代數I(X,R)上的ξ-Lie 導子(ξ≠0,±1),則

證明不失一般性,設i＜j。由eij=[eii,eij]ξ可得

由式(1),對式(4)左乘eii,右乘ejj; 左乘eii,右乘eyy。分別可得

由式(5)和(6)可得對式(8)同時左乘exx,右乘eyy,可得

另一方面,

由式(5)得到式(2)。同理可得,當i＞j時,式(2)仍然成立。

接下來討論δ(eij)的具體形式。由δ(eij)=δ([eij,ejj]ξ),可得

對式(9)兩邊同時左乘exx,右乘ejj; 左乘eii,右乘ejj。分別可得

又因為eij=[eii,[eij,ejj]ξ]ξ,由式(1)、(2)、(5)、(6)和(10)可得

對于eij=[[eii,eij]ξ,ejj]ξ,同理可得

因為i≠j,結合式(12)和(13)可得

水源熱泵技術作為一種節能環保的制冷供暖方式，不管從能源使用方式，還是技術成熟的角度上都是暖通空調領域值得應用與推廣的[3-7]。但如果使用不當，會出現各種各樣的問題[8]。在家用地下水源熱泵系統的項目中，大多數熱泵機組均采用傳熱效率較高的板式換熱器，這種換熱器的板片間距小，容易造成堵塞。為解決這一問題，實際工程中普遍采用加裝殼管式換熱器作為水源與機組換熱器之間的中間換熱器（見圖1）。

另一方面,對式(4)的的等號兩邊同時左乘ejj,右乘eii,可得由于R是(1 +ξ)扭自由交換環,故式(3)得證,證畢。

定理2設(X,≤)是連通的有限預序集,δ:I(X,R)→I(X,R)是R-線性映射,且δ具有式(2)和(3)形式,則δ是關聯代數的一個ξ-Lie 導子(ξ≠0,±1),并且系數滿足下列關系

證明δ是ξ-Lie 導子的充要條件是對任意i≤j和k≤l,有δ([eij,ekl]ξ)=[δ(eij),ekl]ξ+[eij,δ(ekl)]ξ成立,可得

下面分成4 種情形展開討論。

情形1若j≠k且i≠l,式(17)可化簡為

可得

情形2若j=k且i≠l,式(1 7)可化簡為

可得

情形3若j≠k且i=l,式(17)可化簡為

可得

情形4若j=k且i=l,式(17)可化簡為

若i=j,則式(17)可寫為化簡為可得所以式(24)中eii,ejj的系數式(14)、(15)成立。

(1)若k≠i≠l,式(17)可寫為由此得到若若l＜i,有

(2)若k≠i=l,式(17)可寫為

(3)若k=i≠l,式(17)可寫為化簡為由此得到若l＜i或i＜l,有

定理3設X是連通的有限預序集,δ是關聯代數I(X,R)上的一個ξ-Lie 導子,當ξ≠1 時,δ是一個導子。

證明(1)ξ=-1 ,由引理2 可知,結論成立。

(2)ξ≠-1 ,設δ是一個ξ-Lie 導子,由定理1 和定理2 可得,若i＜j。其中系數,若i≤j≤k,有

設線性算子d滿足引理1:(其中系數若所以線性算子d是一個導子。

設線性算子 Δ :=δ-d,滿足 Δ(eii)=0,Δ(eij)=0,所以Δ 是一個導子,定理得證。