值得關(guān)注的四類函數(shù)解題策略

劉其群

［摘 要］函數(shù)是高考命題的熱點(diǎn)。抽象函數(shù)、自定義函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和“嵌套”函數(shù)是高考中的“常客”，其綜合性強(qiáng)，難度較大，具有一定的區(qū)分度。文章結(jié)合四個(gè)例題，歸納總結(jié)這四類函數(shù)的解題策略，以幫助學(xué)生掌握這四類函數(shù)的解題策略，使學(xué)生在高考中能夠從容應(yīng)對(duì)。

［關(guān)鍵詞］抽象函數(shù)；自定義函數(shù)；絕對(duì)值函數(shù)；“嵌套”函數(shù)

［中圖分類號(hào)］G633.6［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］?A［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）32-0011-03

函數(shù)是高考命題的熱點(diǎn)。高考函數(shù)復(fù)習(xí)，除了要重視函數(shù)的基本知識(shí)和基本應(yīng)用，還應(yīng)關(guān)注其他的四類函數(shù)問題，即抽象函數(shù)、自定義函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和“嵌套”函數(shù)，因?yàn)檫@四類函數(shù)綜合性強(qiáng)，難度較大，且是高考中的“常客”。下面筆者結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析探討。

一、抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式，只是知道該函數(shù)滿足的一些條件，要求考生利用這些條件來解決與這個(gè)函數(shù)相關(guān)的問題，如判斷這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性，求函數(shù)值，解與此函數(shù)有關(guān)的不等式等。解決抽象函數(shù)最基本的方法是賦值法。

［例１］已知定義在[R]上的偶函數(shù)[f（x）]滿足[f（1+x）+f（1-x）=4]。若[f（0）=0]，且[f（x）]在[0，1]上單調(diào)遞增，則滿足[f（x）·sinπx4≥2]的[x]的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：由題意可知，[f（x）]是周期為[4]的周期函數(shù)，[y=sinπ4x]的最小正周期為8，結(jié)合[f（x）]與[y=sinπ4x]的單調(diào)性，易知在一個(gè)周期內(nèi)，由[f（x）·sinπx4≥2]可得[x∈1，3]，再結(jié)合周期求出范圍即可。

解：因?yàn)閇f（x）]是偶函數(shù)，所以[f（-x）=f（x）]，由[f（1+x）+f（1-x）=4]，可得[f（x）]關(guān)于（1，2）對(duì)稱，因?yàn)閇f（1+x）+f（1-x）=4]，所以[f1+（x+3）+f1-（x+3）=4]，則[f（x+4）=f1+（x+3）=-f1-（x+3）+4=-f-（x+2）+4]，因?yàn)閇f（x）]是偶函數(shù)，所以[-f-（x+2）=-f（x+2）]，因?yàn)閇f（1+x）+f（1-x）=4]，所以[f1+（x+1）+f1-（x+1）=4]，則[f（x+4）=-f（x+2）+4=-f1+（1+x）+4=f1-（1+x）=f（-x）=f（x）]，所以[f（x）]是周期為[4]的周期函數(shù)。因?yàn)閇f（x）]是偶函數(shù)，且在[0，1]上單調(diào)遞增，所以[f（x）]在[-1，0]上單調(diào)遞減，令[f（1+x）+f（1-x）=4]中[x=0]，則[f（1）+f（1）=4]，則[f（1）=2]，又因?yàn)閇f（x）]關(guān)于（1，2）對(duì)稱，所以[f（x）]在[1，2]上單調(diào)遞增，在[2，3]上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)[f（x）]是周期為[4]的周期函數(shù)，可得[f（x）]在[0，2]和[4，6]上單調(diào)遞增，[2，4]和[6，8]上單調(diào)遞減。因?yàn)閇y=sinπ4x]的最小正周期[T=2ππ4=8]，結(jié)合[y=sinπ4x]圖象（如圖1）可知，[y=sinπ4x]在[0，2]和[6，8]上單調(diào)遞增，在[2，6]上單調(diào)遞減，令[f（1+x）+f（1-x）=4]中[x=1]，則[f（2）+f（0）=4]，則[f（2）=4]，當(dāng)[x=1]，[y=sinπ4=22]，又[f（1）=2]，所以[f（1）·sinπ4=2]；當(dāng)[x=3]，[y=sin3π4=22]，又[f（3）=f（-1）=f（1）=2]，所以[f（3）·sin3π4=2]，所以當(dāng)[x∈0，8]時(shí)，[f（x）·sinπx4≥2]，解得[x∈1，3]。又因?yàn)閇f（x）]與[y=sinπ4x]均為周期函數(shù)，且8均為其周期，所以[f（x）·sinπx4≥2]的[x]的取值范圍是[1+8k，3+8k]，[k∈Z]。故答案為[1+8k，3+8k]，[k∈Z]。

點(diǎn)評(píng)：求解抽象函數(shù)的常用方法有賦值法、構(gòu)造特例、數(shù)形結(jié)合法。本題解題的關(guān)鍵是求出[y=f（x）]與[y=sinπ4x]的周期性，由[f（1）·sinπ4=2]，[f（3）·sin3π4=2]，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和周期性求解即可。

二、自定義函數(shù)

自定義函數(shù)，也叫新定義函數(shù)，題目中一般會(huì)給出自定義函數(shù)具有的某些性質(zhì)，要求考生判斷給出的函數(shù)是否屬于自定義函數(shù)，或者給出某個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)，要求考生判斷當(dāng)參數(shù)為何值時(shí)該函數(shù)是自定義函數(shù)。求解此類問題的關(guān)鍵是理解所給定義、性質(zhì)或規(guī)則，并將問題轉(zhuǎn)化為所熟悉的問題來解決。

［例2］已知函數(shù)[y=f（x）]，[x∈D]，若存在常數(shù)[k]（[k>0]），使得對(duì)定義域[D]內(nèi)的任意[x1]、[x2]（[x1≠x2]），都有[f（x1）-f（x2）≤kx1-x2]成立，則稱函數(shù)[y=f（x）]在其定義域[D]上是“[k]-利普希茲條件函數(shù)”。

（1）判斷函數(shù)①[y=x]，②[y=x3]是否是“1-利普希茲條件函數(shù)”，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由；

（2）若函數(shù)[y=x]（[1≤x≤4]）是“[k]-利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)[k]的最小值；

（3）若[y=f（x）]是定義在閉區(qū)間[0，1]上的“2-利普希茲條件函數(shù)”，且[f（0）=f（1）]，求證：對(duì)任意的[x1]、[x2∈0，1]都有[f（x1）-f（x2）≤1]。

分析：（1）證明[f（x1）-f（x2）≤x1-x2]即可判斷[y=x]，舉出反例即可判斷[y=x3]；（2）分離參數(shù)，將不等式變?yōu)殛P(guān)于[x1]、[x2]的不等式，結(jié)合定義域即可求得常數(shù)[k]的最小值；（3）對(duì)任意的[x1]、[x2∈0，1]都有[f（x1）-f（x2）≤m]，只需要[f（x1）-f（x2）max≤m]即可，根據(jù)新定義求出[f（x1）-f（x2）max]即可得出答案。

解：（1）對(duì)于函數(shù)[y=f（x）=x]，不妨設(shè)[x1>x2]，則[f（x1）-f（x2）=x1-x2]，符合題意，所以函數(shù)[y=x]是“1-利普希茲條件函數(shù)”；對(duì)于函數(shù)[y=f（x）=x3]，因?yàn)閇f（2）-f（1）=7>2-1]，所以函數(shù)[y=x3]不是“1-利普希茲條件函數(shù)”。

（2）若函數(shù)[f（x）=x]（[1≤x≤4]）是“[k-]利普希茲條件函數(shù)”，則對(duì)定義域[1，4]內(nèi)任意[x1]、[x2]（[x1≠x2]），均有[f（x1）-f（x2）≤kx1-x2]，即[x1-x2≤kx1-x2]，設(shè)[x1>x2]，則[x1-x2x1-x2≤k]，即[1x1+x2≤k]，因?yàn)閇1≤x2

（3）設(shè)[x1≥x2]，當(dāng)[x1-x2≤12]時(shí)，因?yàn)閇y=f（x）]是定義在閉區(qū)間[0，1]上的“2-利普希茲條件函數(shù)”，所以[f（x1）-f（x2）≤2x1-x2≤2×12=1]，當(dāng)[x1-x2>12]時(shí)，由[x1、x2∈0，1]得[12

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)新定義問題，解答本題的關(guān)鍵在于理解“k-利普希茲條件函數(shù)”，將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題。

三、絕對(duì)值函數(shù)

絕對(duì)值函數(shù)就是絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的函數(shù)，這類問題一般出現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合性問題中，命題角度主要有三個(gè)：一是由絕對(duì)值函數(shù)的最值求參數(shù)；二是含參絕對(duì)值不等式恒成立問題；三是絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)問題。在高考中無論是哪種絕對(duì)值函數(shù)問題，一般來說難度都很大，難在如何將絕對(duì)值符號(hào)化去。

［例3］若函數(shù)[f（x）=3x-a+x3]，[x∈-12a，a]存在最小值，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

分析：將函數(shù)[f（x）]化為分段函數(shù)[f（x）=3x-a+x3=x3-3x+a，-a2

解：因?yàn)閇x∈-12a，a]，所以[a>0]，則[f（x）=3x-a+x3=x3-3x+a，-a2

當(dāng)[a30]，所以[f（x）]在[a3，a2]上單調(diào)遞增；當(dāng)[-a2

點(diǎn)評(píng)：解決絕對(duì)值問題的基本思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)；常用方法：①換元、構(gòu)造函數(shù)；②數(shù)形結(jié)合；③利用絕對(duì)值三角不等式。本題解題的關(guān)鍵是對(duì)含參區(qū)間進(jìn)行討論，確定區(qū)間[-a2，a3]上與函數(shù)[f（x）]的極值點(diǎn)[x=1]和[x=-1]的包含關(guān)系，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并且要滿足函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[-a2，a]上存在最小值，還得比較區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與極小值的大小，才能確定符合條件的[a]的取值情況。

四、“嵌套”函數(shù)

所謂“嵌套”函數(shù)，其實(shí)就是一類復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，如[y=ff（x）+kf（x）+m]，[y=fg（x）+kx]等。“嵌套”函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)量、零點(diǎn)范圍、參數(shù)范圍問題是高考的命題熱點(diǎn)，時(shí)常出現(xiàn)在選擇題或填空題中。“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”是較為常見的兩類嵌套函數(shù)，解決這類問題的關(guān)鍵是如何“解套”。

［例4］已知函數(shù)[f（x）=（x2+x-5）ex]，若函數(shù)[g（x）=f（f（x））-a（a>0）]，則[g（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是（）。

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

分析：首先由[f（x）]畫出[f（x）]的大致圖像，設(shè)[t=f（x）]，則[f（t）=a]，分三種情況，[07e4]，分別討論[f（t）=a]根的情況，即可得出答案。

解：令[g（x）=0]，即[f（f（x））=a]，因?yàn)閇f（x）=（x2+x-5）ex]，所以[f（x）=（x2+3x-4）ex]。

由[f（x）>0]，得[x<-4]或[x>1]，由[f（x）<0]得[-4

第一種情況：當(dāng)[0-1+212]。

①討論[f（x）=t1]根的情況：當(dāng)[t1<-3e]時(shí)，[f（x）=t1]無實(shí)數(shù)根，當(dāng)[t1=-3e]時(shí)，[f（x）=t1]有1個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)[-3e

②討論[f（x）=t2]根的情況：因?yàn)閇-4

③討論[f（x）=t3]根的情況：因?yàn)閇t3>-1+212]，且[-1+212>7e4]，所以[f（x）=t3]只有1個(gè)實(shí)數(shù)根。

第二種情況：當(dāng)[a=7e4]時(shí)，[f（t）=a]有2個(gè)實(shí)數(shù)根[t4=-4]，[t5>-1+212]，則[f（x）=t4]有2個(gè)實(shí)數(shù)根，[f（x）=t5]有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故當(dāng)[a=7e4]時(shí)，[f（f（x））=a]有3個(gè)實(shí)數(shù)根。

第三種情況：當(dāng)[a>7e4]時(shí)，[f（t）=a]有一個(gè)實(shí)數(shù)根[t6>-1+212]，則[f（x）=t6]有1個(gè)實(shí)數(shù)根。

綜上，當(dāng)[07e4]時(shí)，[f（f（x））=a]有1個(gè)實(shí)數(shù)根。綜上，[g（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是1或3或4或5。故選D。

點(diǎn)評(píng)：本例采用了數(shù)形結(jié)合法和分類討論法求解含參嵌套函數(shù)問題。一般對(duì)于復(fù)合函數(shù)[y=fg（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)[u=g（x）]和外層函數(shù)[y=f（u）]；（2）確定外層函數(shù)[y=f（u）]的零點(diǎn)[u=ui（i=1，2，3，…，n）]；（3）確定直線[u=ui（i=1，2，3，…，n）]與內(nèi)層函數(shù)[u=g（x）]圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為[a1]，[a2]，[a3]，[…]，[an]，則函數(shù)[y=fg（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為[a1+a2+a3+…+an]。

從以上四類函數(shù)的特殊問題的解析可以看出，解答這些問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，將非常規(guī)問題轉(zhuǎn)化為一般問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，依然是解決這些問題的“法寶”。

（責(zé)任編輯? 黃桂堅(jiān)）