基于運(yùn)算，善用方程解立體幾何問題

卓麗霞 林敏

［摘 要］文章結(jié)合具體的立體幾何案例，分析如何利用空間坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)運(yùn)算解決立體幾何中常見的幾個問題。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間直角坐標(biāo)系；平面方程

［中圖分類號］G633.6［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］?A［文章編號］ 1674-6058（2023）32-0014-03

一、問題提出

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷，立體幾何試題多數(shù)依托正方體模型等學(xué)生熟悉的幾何體來命制，考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系和對某些結(jié)論的判定，在要求學(xué)生掌握立體幾何基礎(chǔ)知識、基本方法的同時，對學(xué)生的構(gòu)圖能力、空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力提出了更高的要求。如何在多樣復(fù)雜的圖形中尋求一種簡單有效的解題方法呢？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出：“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。”立體幾何中引入空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過平面方程使得問題解析化、符號化，啟發(fā)代數(shù)運(yùn)算思路，得到解決問題的通性通法。本文結(jié)合具體的立體幾何案例，分析如何利用空間坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)運(yùn)算解決立體幾何中常見的幾個問題。

二、追根溯源

利用平面方程，通過代數(shù)運(yùn)算來解決立體幾何問題這部分內(nèi)容源于教材。普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第44頁“拓廣探索”中第17題（節(jié)選），已經(jīng)為學(xué)生利用代數(shù)運(yùn)算解決立體幾何問題指明了方向。

17.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量[u=（a，b，c）（abc≠0）]，點(diǎn)[P0（x0，y0，z0）]，點(diǎn)[P（x，y，z）]。

（2）若平面[α]經(jīng)過點(diǎn)[P0]，且以[u]為法向量，[P]是平面[α]內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：

[a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0]。

立足教材，可將平面方程進(jìn)行拓展：

（1）把[A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0]稱為平面[α]的點(diǎn)法式方程，其中[（A，B，C）]為平面的法向量，[（x0，y0，z0）]為平面內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)。將其展開得到[Ax+By+Cz-（Ax0+By0+Cz0）=0]，令[D=-（Ax0+By0+Cz0）]，式子化為[Ax+By+Cz+D=0]，稱之為平面方程的一般式，方程中[x、y、z]前的系數(shù)組成的坐標(biāo)（A，B，C）就是該平面的法向量。特殊地，當(dāng)[D=0]時，方程表示過原點(diǎn)的平面；當(dāng)[A、B、C]有一個為[0]時，方程表示平行（或包含）某個坐標(biāo)軸的平面；當(dāng)[A、B、C]有兩個為[0]時，方程表示平行于某個坐標(biāo)平面的平面。類比平面中直線的截距式方程，過空間中三個特殊的點(diǎn)（[a]，0，0），（0，[b]，0），（0，0，c）的平面方程可表示為[xa+yb+zc=1]。

（2）在平面中兩直線相交，聯(lián)立兩直線方程可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，推廣到空間中，聯(lián)立兩相交平面的方程得到交線的直線方程，表示為[A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0。]

（3）類比平面中點(diǎn)到直線的距離公式，還可以進(jìn)一步得到：如圖1所示，在空間直角坐標(biāo)系下，平面外一點(diǎn)[P（x0，y0，z0）]到平面[α]：[Ax+By+Cz+D=0]的距離為[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]，證明如下：

過點(diǎn)[P]作平面[α]：[Ax+By+Cz+D=0]的垂線[l]，交平面于[Q]點(diǎn)，[A（x1，y1，z1）]為平面[α]內(nèi)一定點(diǎn)，則平面[α]的法向量為[n=（A，B，C）]，且點(diǎn)[P]到平面[α]的距離就是[AP]在直線[l]的投影向量[QP]的長度，即[PQ=AP·nn=Ax0+By0+Cz0-（Ax1+By1+Cz1）A2+B2+C2][=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]。

（4）平面中利用圓的方程，通過定量計(jì)算可得到圓與圓相交時公共弦的方程。同樣地，在空間直角坐標(biāo)系中，確定球的幾何元素為球心[（x0，y0，z0）]和半徑[R]，球的方程表示為[（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2]，通過兩球的方程相減可得到兩球相交的圓面方程。

三、案例探究

（一）平面方程在截面問題中的應(yīng)用

［例1］（合肥市2023年高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測第8題）已知正方體[ABCD-A1B1C1D1]的棱長為4，[M]、[N]分別是側(cè)面[CD1]和側(cè)面[BC1]的中心，過點(diǎn)[M]的平面[α]與直線[ND]垂直，平面[α]截正方體[AC1]所得的截面記為[S]，則[S]的面積為（）。

[A.53][B.46] [C.76][D.96]

解：以[D]為原點(diǎn)，以[DA]、[DC]、[DD1]所在的直線分別為[x]軸、[y]軸、[z]軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則[D（0，0，0）]，[M（0，2，2）]，[N（2，4，2）]，[DN=（2，4，2）]為平面[α]的法向量，可得平面[α]的方程為[2（x-0）+4（y-2）+2（z-2）=0]，即[x+2y+z-6=0]，將平面[α]的方程與[xOy]平面的方程即[z=0]聯(lián)立，得到交線[HI]在平面[xOy]內(nèi)的直線方程為[x+2y-6=0]，同理可得平面[α]在平面[yOz]和平面[xOz]內(nèi)的交線的直線方程分別為[2y+z-6=0]和[x+z-6=0]，則平面[α]截正方體的截面[S]如圖3所示。平面[α]與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為[P]（6，0，0），[I]（0，3，0），[Q]（0，0，6），解得[△PQI]的面積為[96]。同理求得[△PGH]的面積為[6]，則截面[S]的面積為[S△PQI-2S△PGH=96-26=76]。

評析：截面是指用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形，對截面問題的思考須經(jīng)歷識圖、想圖到構(gòu)圖的過程，難點(diǎn)在于找出截點(diǎn)最終圍成截面。這時可建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，借助截面所在平面的一個法向量和平面內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)，直接寫出平面方程，分別求得該平面與平面[xOy]、平面[yOz]和平面[xOz]的交線，從而得到截面，同時得到平面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和截面與正方體的交點(diǎn)，減少復(fù)雜的思維和推理過程，為空間感較弱的學(xué)生提供了解答方向。

（二）平面方程在軌跡問題中的應(yīng)用

［例2］（武漢市2023屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試第8題）設(shè)[A]、[B]是半徑為[3]的球體[O]表面上的兩定點(diǎn)，且[∠AOB=60°]，球體[O]表面上動點(diǎn)[P]滿足[PA=2PB]，則點(diǎn)[P]的軌跡長度為（）。

[A. 121111π][B. 4155π]

[C. 6147π][D. 121313π]

解：以[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得[A32，332，0]，[B-32，332，0]， 設(shè)[P（x，y，z）]，由[PA=2PB]可得[x-322+ ][y-3322+z2=4x+322+y-3322+z2]，

整理得[x2+y2+z2+5x-33y+9=0]①，又球[O]的方程為[x2+y2+z2=9]②，①式減②式得到滿足條件的[P]點(diǎn)所在的平面[α]方程為[5x-33y+18=0]。球心[O]到平面[α]的距離[d=18213=91313]。又點(diǎn)[P]的軌跡為一個圓，所以截面圓的半徑[r=9-8113=61313]，則點(diǎn)[P]的軌跡長度[2πr=121313π]。

評析：球是教材中常見的一個載體，將球與其他模型相結(jié)合求解軌跡的問題主要是考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，關(guān)鍵是要將立體圖形中的點(diǎn)、線、面等基本元素轉(zhuǎn)化到平面中解決。本題基于阿氏圓的文化背景，類比平面解析幾何，通過代數(shù)運(yùn)算得到空間中兩球的方程，借助平面方程解決了學(xué)生不能準(zhǔn)確構(gòu)圖和對圖形理解不到位而無法分析問題的困難。

（三）平面方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用

［例3］（江蘇省南通市崇川區(qū)等5地2023屆高三下學(xué)期3月適應(yīng)性考試第8題）在空間直角坐標(biāo)系[O-xyz]中，A（10，0，0），B（0，10，0），C（0，0，10），則三棱錐[O-ABC]內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個數(shù)為（）。

[A. C310] ? ? [B. C39] ? ? ? ? [C. C210] ? ?[D. C29]

解法一：以[O]為原點(diǎn)，以[OA]、[OB]、[OC]所在的直線分別為[x]軸、[y]軸、[z]軸，如圖5所示建立空間直角坐標(biāo)系，過A（10，0，0），B（0，10，0），C（0，0，10）的平面方程為[x+y+z=10]作平行于平面[ABC]的平面[x+y+z=9]，該平面內(nèi)[x]、[y]、[z]取整數(shù)有[C28]，同理在[x+y+z=8]上[x]、[y]、[z]取整數(shù)有[C27]……結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)解得三棱錐[O-ABC]內(nèi)部整點(diǎn)有[C28+C27+…+C22=C33+C23+C24+…+C28=C34+C25+…+C28=C35+C26+…+C28=C39]。

解法二：以[O]為原點(diǎn)，以[OA]、[OB]、[OC]所在的直線分別為[x]軸、[y]軸、[z]軸，如圖6所示建立空間直角坐標(biāo)系，過A（10，0，0），B（0，10，0），C（0，0，10）的平面方程為[x+y+z=10]，如圖6所示作平行于平面[xOy]的平面[z=9]，平面[z=9]與平面[ABC]的交線為[x+y=1]，此時無滿足題意的整點(diǎn)；作平面[z=8]，平面[z=8]與平面[ABC]的交線為[x+y=2]，此時無滿足題意的整點(diǎn)；作平面[z=7]，此時滿足題意的整點(diǎn)為（1，1，7），個數(shù)為[1]；作平面[z=6]，此時滿足題意的整點(diǎn)為（1，1，6），（1，2，6），（2，1，6），個數(shù)為[1+2=3]；作平面[z=5]，此時滿足題意的整點(diǎn)個數(shù)為[1+2+3=6]……作平面[z=1]，此時滿足題意的整點(diǎn)個數(shù)為[1+2+…+7=28]，則三棱錐[O-ABC]內(nèi)部整點(diǎn)共有[1+3+6+…+84=C39]。

評析：試題的情境源于我國古代數(shù)學(xué)中常見的一類問題——垛積問題，楊輝在《詳解九章算法》一書中有計(jì)算“三角垛”物體總數(shù)的題目：“三角垛，下廣，一面十二個，上尖，問計(jì)幾何？如圖7所示，三角垛中每一層球的個數(shù)為[an=n（n+1）2=C2n+1（n∈N+）]，記[Sn]為[an]的前[n]項(xiàng)和，則[Sn=C22+C23+…+C2n+1=C3n+1]。基于這個背景，題中的圖形既簡潔清晰又讓學(xué)生有熟悉感，給學(xué)生提供了想象的空間和多思維的平臺，但又對學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力有一定的要求。

解法一利用與平面[ABC]平行的平面，在平面方程中，結(jié)合隔板法計(jì)算整點(diǎn)個數(shù)；解法二利用與平面[xOy]平行的平面，列舉出滿足條件的整點(diǎn)。兩種解法都是將空間問題平面化，將問題轉(zhuǎn)化到學(xué)生熟悉的認(rèn)知區(qū)域，達(dá)到不同知識點(diǎn)的融合，在這一過程中，平面方程發(fā)揮了重要的作用。

四、總結(jié)反思

立體幾何試題中的空間圖形會讓學(xué)生有似曾相識的感覺，貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，給學(xué)生分析問題和解決問題提供了發(fā)揮能力水平的空間，重在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。對學(xué)生而言，最大的困難在于難以想象出幾何元素之間的位置關(guān)系及其數(shù)量關(guān)系，使得有些題目大有“只可意會，不可言傳”的感覺?？紤]到不同層次水平的學(xué)生的需求，就可利用向量讓幾何量帶上方向，利用坐標(biāo)讓幾何問題代數(shù)化。這樣處理幾何圖形的方法就具有統(tǒng)一性。

用坐標(biāo)法研究立體幾何問題，首先要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的選擇盡量讓題目需求的空間圖形的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，使得點(diǎn)坐標(biāo)易表示出來；其次是要觀察相應(yīng)的幾何體的特征，把握圖形中點(diǎn)、直線、平面這些基本幾何元素，其中利用直線的方向向量和平面的法向量表示直線和平面是關(guān)鍵。

確定了立體幾何圖形中所需要的直線方程和平面方程，可應(yīng)用于：（1）刻畫空間直線、平面的平行和垂直關(guān)系；（2）類比平面解析幾何，利用投影向量轉(zhuǎn)化點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離等空間距離問題；（3）利用公式結(jié)合代數(shù)運(yùn)算分析和解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的角或夾角問題；（4）利用兩平面相交的方程確定截點(diǎn)，找出截面或者截線，在平面內(nèi)求解截面面積和截線長度問題；（5）通過球的方程進(jìn)行定量計(jì)算，尋求兩球的位置關(guān)系，解決兩球相交面問題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 張勁松，申鐵.普通高中教科書 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊 A版［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）