馮康 中國現代計算數學的開拓者

馮康（1920 年9 月—1993 年8 月），數學家，中國科學院院士。中國現代計算數學和科學工程計算學科的領路人和開拓者。長期致力于拓撲群、廣義函數理論、應用數學、計算數學等方面的研究，獨立于西方創造了求解偏微分方程的有限元法。在以哈密頓方程和波動方程為主的動態問題研究中創造了“哈密頓系統的辛幾何算法”，開辟了辛幾何和辛格式研究新領域。1982 年獲國家自然科學獎二等獎，1990 年獲中國科學院自然科學獎一等獎，1997 年獲國家自然科學獎一等獎。

在數學界有這樣一塊沉默而閃光的基石，他是我國核武器事業發展的幕后英雄，也是破解我國首座百萬千瓦級水電站水庫大壩應力分析計算難題的關鍵人物。他獨立于西方創立了有限元法，是自然邊界歸化理論和辛幾何算法的創始人。菲爾茲獎得主、中國科學院外籍院士丘成桐教授曾贊譽馮康在有限元計算方面的工作是中國近代數學能夠超越西方或與之并駕齊驅的3 個主要原因之一。他撒播了中國現代計算數學和科學工程計算學科的火種，他為中國乃至世界數學史上留下了燦然一筆，他的光芒也將持續引領著無數的科學計算工作者。

獨立于西方創立有限元法

馮康早年畢業于中央大學物理系，20 世紀50 年代初曾到蘇聯研修，1953 年回國后在中國科學院數學研究所從事基礎數學研究，發表了諸多關于拓撲群和廣義函數論方面的優秀論文。20 世紀50 年代，伴隨著計算機的逐步發展，中國于1956 年制定了《1956—1967 年科學技術發展遠景規劃》，規劃中將計算機列為重點項目之一，隨后中國科學院計算技術研究所成立。馮康最初在中國科學院數學研究所參與相關研究工作，鑒于他在基礎數學方面有很高的造詣，同時精通經典物理學，通曉工程技術，因此次年馮康遵照華羅庚先生的建議，毅然受命調到中國科學院計算技術研究所三室負責計算數學與科學工程計算的研究工作。憑借著杰出的學術水平和嚴謹鉆研的精神，馮康很快就成為研究所的核心成員，在馮康的指導下，中國科學院計算技術研究所三室幫助國防、國民經濟各部門完成了大量的實際計算任務，為國家的經濟發展做出了突出貢獻。其中馮康的一項歷史性貢獻就是獨立于西方創立了有限元方法，并先于西方建立了其嚴密的理論基礎，這是中國近代數學趕超西方國家的一項重要標志。

1958 年，中國首座百萬千瓦級水電站——劉家峽水電站開工，正是這項國家攻關任務為有限元法的創立提供了土壤。水電站開工以后并不是一帆風順，這項重大的工程項目曾因為一些技術難題陷入過停工局面。1963 年的春天，劉家峽大壩設計組副組長朱昭鈞工程師風塵仆仆地來到中國科學院計算技術研究所，向研究人員闡述了關于劉家峽大壩現階段的問題，希望他們能夠幫助遠在甘肅的劉家峽大壩順利開工。馮康和三室其他研究人員耐心聽取介紹后，了解到主要是大壩的應力計算這一部分難以解決。當時研究人員進行水壩應力分析借助的是十三點差分格式的應力函數計算程序，由于在該程序中全部采用的是正方形網格，而實際上水壩的邊界是不可能與網格線重合的，因此計算結果并不理想。同時，由于劉家峽水電站是當時首座大型水電站，因此以往的水電站建設經驗難以運用到此處。

面對這樣一個具體的實際問題，三室的研究人員采用了諸多計算方法，進展卻一度緩慢。按常規方法處理數學物理問題離散計算方法分為4步：第一明確物理機制；第二寫出數學表述；第三采用離散模型；第四設計算法。然而，馮康以敏銳的眼光意識到傳統的方法難以處理幾何與材料的復雜性，因此，他考慮是否可以越出常規，從物理上的守恒定律或者變分原理出發，直接和恰當的離散模型結合起來。他同時結合電子計算機的特點，通過把變分原理與剖分逼近有機結合，把傳統上對立而各具優點的差分法與能量法辯證統一，于1964 年獨立于西方創立了一套現代化和系統化的求解微分方程的近似方法，即有限元方法，形成了標準的算法形態，編制了通用的計算程序。馮康提出的用變分原理進行差分計算的思想為解決劉家峽水壩的應力分析問題提供了決定性的啟示和指導。在馮康的籌劃部署下，三室的研究人員利用積分守恒格式計算出一組水壩的新結果。經過研究人員耐心細致的應力校核后，結果顯示不僅邊界節點附近的應力達到了基本平衡的效果，同時在壩體內部任意局部區域上的應力同樣達到了平衡！這一結果得到了劉家峽水壩工程設計組的滿意答復，水壩建設才得以繼續進行。1964 年的勞動節，在馮康的指揮下，經過廢寢忘食的攻關，劉家峽水壩計算的系統應用研究——“有限元”第一交響曲“實踐”大獲成功。次年，馮康撰寫的論文《基于變分原理的差分格式》在《應用數學與計算數學》上發表，這篇論文的問世是我國學者獨立于西方創始有限元方法的標志。馮康在極其廣泛的條件下證明了方法的收斂性和穩定性，提供了誤差估計，先于西方建立了有限元方法嚴格的數學理論基礎，為其實際應用提供了可靠的理論保證。

有限元方法的創立使得人們從一個全新的角度看待和分析微分方程的數值解法和理論，不僅為中國乃至世界數學發展史上留下重要一筆，而且極有力地促進了數學、工程科學、力學和計算機科學之間的交流滲透。如今國內外諸多學者對于馮康所創立的有限元方法給予了極高的贊譽和充分的肯定。

開拓邊界歸化理論新流派

馮康并沒有沉醉于有限元法的大獲成功，而是不斷從實際出發拓展新的研究領域。他注意到實際的計算問題中往往涉及的是無界區域計算，有限元法在解決此類問題時會遇到根本性質的阻礙。同時，有限元法應用的顯著成效使得馮康意識到合理地選取變分的數學型式是至關重要的。因此，馮康深刻地了解到要想掀開無界區域計算的這一塊面紗，就必須開發出全新的和更合適的數學型式并發展與此對應的數值計算方法。在20 世紀70 年代后期至80 年代初期，他逐漸探索邊界歸化和邊界元方法這一先進領域。

邊界元法的胚芽早在19 世紀時已經萌發，當時部分學者探討了關于微分方程邊值問題做邊界歸化的可能性，但限于當時的技術條件，直到20 世紀60年代才開始應用于數值計算中。馮康密切注視著這一前沿領域。當時國際上邊界元法理論有直接法和間接法兩大流派，但他并沒有跟隨國外步伐，而是根據微分方程邊值問題的物理本質和數學特性，指出唯有通過正則邊界歸化，才能保持能量不變，從而保持問題的本質不變。因此，馮康提出了正則邊界歸化的思想，開創了國際上邊界元研究的新流派，后來他又將其改為現在人們所熟知的自然邊界歸化。基于這一思想，他和他的學生余德浩系統地發展了自然邊界元方法。這一方法不僅具備所有邊界元方法共有的將問題降維處理的優點，同時還能保持原邊值問題的許多基本性質，能與經典有限元自然而直接地耦合，特別適用于處理無界區域問題。

這些創造性的工作開辟了邊界元研究的新領域，引起了各國同行的熱烈討論和密切關注，并已激發了學者們的后續研究。這一方法能夠靈活適應于大型復雜問題，是當前與并行計算相關而興起的區域分解算法的先驅工作。

突破哈密頓體系的辛幾何算法

馮康的創新成就得益于他總是從工程實際和物理原理出發，不斷瞄準國家需求，站在學科前沿提出有廣泛物理、工程背景的新課題，創建有堅實的數學理論基礎的新方法。哈密頓系統的辛幾何算法就是源于馮康在實踐中注意到系統動力學問題的計算。馮康注意到當代科學計算的主要課題是數值求解各種數學物理方程。在數理方程的譜系中，列于首位的是經典的力學方程。這類方程有3 種等價的數學形式體系，即牛頓、拉格朗日及哈密頓體系。馮康查閱浩繁的文獻后發現幾乎所有介紹微分方程數值求解的計算方法都是基于牛頓體系或拉格朗日體系，然而還未有人去觸碰哈密頓體系計算方法這顆星星。馮康又萌生了一個想法：為何不基于哈密頓體系發展新的研究算法呢？畢竟哈密頓體系一直是物理學理論研究的出發點，它的應用涉及物理、力學和工程的眾多領域。隨后，馮康在鉆研大量中外資料后更加肯定哈密頓體系是解決動態問題最合適的力學體系。從此他開始研究針對哈密頓體系的計算方法，借助深厚的基礎數學研究學術能力和敏銳的直覺，馮康找到了哈密頓系統數值方法的切入點——辛幾何算法。1983 年國外才出現了第一篇對特定哈密頓方程構造差分格式的論文，馮康則于1984 年在國際微分幾何與微分方程北京討論會上做了題為《差分格式與辛幾何》的大會報告，哈密頓體系的辛幾何算法首次被正式宣告于世界。馮康所創建的辛幾何算法不僅能夠克服傳統算法造成人為耗散性等歪曲體系特征的缺陷，而且在守恒性、對稱性和空間結構方面更進一步，提升了穩定性與長期跟蹤能力。基于隨后嚴謹深入的理論和大量的實驗數據，證明辛幾何算法確實為解決牛頓運動方程提供了正確思路，解決了長期困擾科學家的動力學長期預測計算問題。辛幾何算法的出現翻開了科學和工程領域計算的新篇章，如果沒有它，高能加速器設計、石油和天然氣勘探、分子動力學模擬、數值天氣預報等領域都將滯后于現在的發展步伐。

馮康和他的研究團隊不斷發展這一充滿活力的前沿研究領域，在10 年間提出和完善了基于辛幾何的哈密頓算法，進一步將其總結歸納為系統的理論框架；提出了產生任意階精度辛差分格式的構造性方法；提出了保持動力系統結構的算法，包括保哈密頓體系結構的辛幾何算法、切觸系統的切觸算法、量子系統的酉算法，實現了動力系統算法的幾何化等。馮康為國家和社會交付了一張張創新的答卷。

馮康所做出的開創性工作撥開了中國現代計算數學的迷霧，用自己的一生為中國數學史增添了光輝。他還曾首先倡導在我國開展廣義函數理論、組合彈性結構計算、孤立子等非線性問題計算的研究，以及數理方程反演問題的數值方法及其在地質地震勘探中的應用研究。馮康曾用無數個日日夜夜灌溉的科學計算事業的嫩芽正日漸蓬勃生長，他堅持從實踐出發的思想和努力鉆研的精神仍舊是一代代科學計算工作者的指路星光，激勵著他們積極投身于科學計算事業中。