一維多普勒效應的實驗研究

張 瑜，陳曉平

1.虎山中學，廣東 梅州 514200

2.石門高級中學，廣東 佛山 528225

《普通高中物理課程標準（2017年版）》將機械波相關內容由原來的選修模塊調整為選擇性必修模塊，提出通過實驗讓學生認識多普勒效應［1］。當火車（或救護車）遠離或者靠近觀察者時，觀測頻率會發生變化，這是一種常見的生活現象。在高中物理課堂中，教師講解多普勒效應時，往往引入演示實驗讓學生通過人耳判斷當聲源與觀察者發生相對運動時的音調變化。但由于不同學生的耳朵對音調變化的敏感度不同，在嘈雜的教室環境中當音調發生細微變化時學生不易察覺，所以難以達到較好的教學效果。本文介紹了一種定量測量一維聲學多普勒效應的實驗方案，繪制了頻率隨速度變化的圖像，形象直觀，可引入高中物理課堂教學。應發寶（2019）提出，教材在解釋多普勒效應的產生機制時會讓師生產生誤解：聲源和觀察者相對速度一樣時，不管是聲源靠近靜止的觀察者還是觀察者靠近靜止的聲源，觀測頻率應該相同［2］。因此，通過實驗提供事實證據，可以有效消除師生頭腦中錯誤的前概念。

1 一維聲學多普勒效應的簡介

多普勒效應中頻率發生變化是由于有效波速或波長發生了變化［3］。當波源以速度vS靠近或遠離靜止的觀察者時，由于觀察者與介質相對靜止，波在介質中傳播的速度就是波相對于觀察者的速度v［3］，即有效波速不變，而有效波長為λ'=，于是觀察者聽到的頻率為

當觀察者以速度vD靠近或遠離靜止的波源時，有效波長不變，而有效波速為v'=v±vD，于是觀察者聽到的頻率為

2 實驗方案設計

2.1 實驗儀器

小車、軌道、智能手機、藍牙音箱、iPad、麥克風、攝像機、實驗室溫度計。

2.2 實驗軟件

頻率發生器、Spaichinger Schallanalysator、Tracker、Origin、Excel。

2.3 實驗原理

如圖1所示，將發出特定頻率聲波的藍牙音箱作為聲源，將與iPad連接的麥克風作為觀察者，iPad上運行著Spaichinger Schallanalysator軟件，可以每隔0.186 s測量聲音的頻率，并輸出頻率隨時間變化的數據。將藍牙音箱（聲源）或麥克風（觀察者）固定在小車上，將軌道調節為合適角度，小車可以在軌道上做勻加速直線運動。將小車運動視頻導入Tracker軟件，得出小車速度隨時間變化的函數，將每個時刻的接收頻率與速度一一對應，可繪制頻率隨速度變化的圖像。

2.4 實驗內容

（1）當聲源分別發出 13 000 Hz、13 010 Hz、13 020 Hz、13 030 Hz的聲波時，測量聲源靠近（遠離）靜止觀察者時觀測頻率隨速度的變化，繪制f-v圖像，對直線進行擬合，并與理論值進行比較。

（2）當聲源分別發出 13 000 Hz、13 010 Hz、13 020 Hz、13 030 Hz的聲波時，測量觀察者靠近（遠離）靜止聲源時觀測頻率隨速度的變化，繪制f-v圖像，對直線進行擬合，并與理論值進行比較。

（3）觀察f-v圖像，當聲源頻率和二者的相對速度相同時，比較接收頻率是否相同。

2.5 實驗步驟

2.5.1 觀察者靜止而聲源運動

（1）如圖1（a）所示，將小音箱固定在小車上，調節軌道呈合適的傾斜角，小車可以從軌道頂端運動到軌道底端，在軌道底端放置與音箱正對的麥克風，麥克風則與運行Spaichinger Schallanalysator軟件的iPad連接，用于收音。

（2）調節好攝像機的高度，方便攝像機把小車整個運動過程都錄下來。打開攝像機，使之呈錄制狀態。

（3）打開手機上的頻率發生器軟件，將小車與音箱通過藍牙連接，讓音箱依次發出13 000 Hz、13 010 Hz、13 020 Hz、13 030 Hz的聲波。

（4）通過實驗室溫度計記錄室內溫度。

（5）讓小車從軌道頂端由靜止開始向軌道底端運動，釋放小車的同時打開iPad的Spaichinger Schallanalysator軟件開始測量聲音頻率，當小車運動到軌道底端的同時，關閉Spaichinger Schallanalysator軟件，停止測量，關閉攝像機，停止錄制。

（6）將小車的運動視頻導入Tracker軟件，得到位移隨時間變化的數據，將數據導入Origin軟件，得到位移隨時間變化的函數表達式，求導得到速度隨時間變化的表達式。導出頻率隨時間變化的數據，將每個時刻的接收頻率與速度一一對應。

（7）如圖1（b）所示，將麥克風從軌道底端放置到軌道頂端。

（8）重復（2）—（6）步驟。

2.5.2 聲源靜止而觀察者運動

當觀察者靠近靜止聲源時，如圖1（c）所示，將iPad以及麥克風固定在小車上，調節軌道呈合適的傾斜角，在軌道底端放置與麥克風正對著的音箱，音箱依次發出13 000 Hz、13 010 Hz、13 020 Hz、13 030 Hz 的聲波，Spaichinger Schallanalysator軟件記錄頻率隨時間變化的數據，其余操作不變。

當觀察者遠離靜止聲源時，如圖1（d）所示，將聲源從軌道底端放置到軌道頂端，其余操作不變。

圖1 實驗示意圖

3 實驗結果和分析

3.1 定性分析

利用Tracker對聲源或觀察者的運動進行分析，其做初速度為v0的勻加速直線運動。當聲源運動時，觀測頻率為當觀察者運動時，觀測頻率為如圖2所示，當聲源勻加速靠近靜止觀察者和觀察者勻加速靠近靜止聲源時，頻率隨速度的增大而增大；當聲源勻加速遠離靜止觀察者和觀察者勻加速遠離靜止聲源時，頻率隨速度的增大而減小。這與多普勒效應規律一致。從圖2中可以看出，觀測頻率與速度呈y=kx+b的線性關系，實驗數據在擬合曲線附近波動。其中，當聲源與觀察者相互靠近時，k＞0，呈線性上升；當聲源與觀察者相互遠離時，k＜0，呈線性下降。

圖2 頻率隨速度變化的關系圖和擬合圖

3.2 定量分析

實驗在溫度為21℃時進行，聲波在空氣中的傳播速度為

將聲源或觀察者的速度代入相應的式子，得到接收頻率隨速度變化的理論值，并將實驗值與理論值比較。當13 020 Hz的聲源勻加速靠近靜止觀察者，將運動視頻導入Tracker并進行分析，得到速度跟時間的變化關系：vS=0.066t+0.038。根據（1）式計算接收頻率的理論值，如表1所示。

表1 13 020 Hz聲源靠近靜止觀察者實驗部分數據表

如圖3所示，實驗值與理論值接近。需要注意的是：聲源頻率都不是從源頻率開始變化的，這是因為Spaichinger Schallanalysator軟件測量頻率時，并非從0時刻開始，而是從0.186 s開始，此時觀測頻率相比聲源已有變化。

圖3 接收頻率隨速度變化的實驗值與理論值的比較

在四個不同頻率聲源下，當聲源頻率越大時，實驗值與理論值越接近，這是因為高頻率聲音不易受環境影響。對比聲源運動與觀察者運動兩種情形，觀察者運動的實驗誤差較小，這是因為觀察者運動時加速度較大，速度大，頻移較大，觀測頻率更加準確。因此，在進行多普勒效應實驗時，應創造聲源頻率高、相對速度大的實驗環境。

對比聲源靠近觀察者和觀察者靠近聲源（圖2），可以發現：在相同的速度下，兩者的觀測頻率并不相同。盡管學生會認為只要相對速度相同，觀測頻率就一樣，在這里可以提供足夠的實驗數據來消除學生頭腦中錯誤的前概念，促進學生對多普勒效應科學本質的理解。

4 誤差分析

當聲源靠近靜止觀察者時，13 000 Hz的聲源實驗值誤差不超過±0.022%，13 010 Hz的聲源實驗值誤差不超過±0.021%，13 020 Hz的聲源實驗值誤差不超過±0.010%，13 030 Hz的聲源實驗值誤差不超過±0.008%。

當觀察者靠近靜止聲源時，13 000 Hz的聲源實驗值相對誤差不超過±0.016%，13 010 Hz的聲源實驗值誤差不超過±0.012%，13 020 Hz的聲源實驗值誤差不超過±0.010%，13 030 Hz的聲源實驗值誤差不超過±0.009%。

實驗的誤差主要來自于以下幾個方面：

（1）環境的噪音對觀測頻率產生了影響，導致實驗值在理論值附近波動。

（2）一維多普勒效應要求波源與觀察者的連線以及二者速度矢量在同一直線上［3］，在實驗中則要求聲源與觀察者需正對著，由于二者有相對運動，音箱的揚聲器與麥克風難以絕對做到在同一直線上。

5 結束語

隨著科學技術的進步，信息技術在中學物理實驗中的應用也越來越廣泛。利用頻率發生器軟件、Spaichinger Schallanalysator軟件和 Tracker軟件，提出了一維多普勒效應定量測量的實驗研究方案。