航天器多約束交會(huì)的僅測(cè)角導(dǎo)航最優(yōu)多目標(biāo)閉環(huán)制導(dǎo)

杜榮華，廖文和，張 翔

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

0 引言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天任務(wù)范圍也從傳統(tǒng)的通信、導(dǎo)航和遙感等應(yīng)用領(lǐng)域向在軌服務(wù)[1-2]、空間碎片清理[3-4]、編隊(duì)飛行[5-6]和深空探測(cè)[7-8]等新型航天任務(wù)拓展,這些新型航天任務(wù)都涉及針對(duì)空間目標(biāo)的自主交會(huì)操作，相關(guān)技術(shù)也成為了國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)前沿技術(shù)[9]。

為了成功實(shí)施針對(duì)空間目標(biāo)的自主交會(huì)操作，亟需提升航天器的自主運(yùn)行能力，這其中涉及自主目標(biāo)檢測(cè)、自主相對(duì)導(dǎo)航及自主軌跡規(guī)劃和控制等方面的研究[9]。本文重點(diǎn)研究了航天器自主交會(huì)操作中的自主相對(duì)導(dǎo)航問(wèn)題，即航天器能夠通過(guò)星載相對(duì)導(dǎo)航傳感器，自主獲取空間目標(biāo)相對(duì)于航天器的相對(duì)狀態(tài)信息。目前常用來(lái)測(cè)量空間物體之間相對(duì)狀態(tài)信息的有源主動(dòng)式傳感器(例如激光和微波雷達(dá)等)，由于其功耗、質(zhì)量和體積都比較大，使得它們無(wú)法應(yīng)用在微小衛(wèi)星平臺(tái)上；而無(wú)源被動(dòng)式傳感器(例如可見光和紅外相機(jī)等)在這一方面具有較大的優(yōu)勢(shì)[10-12]，因?yàn)樗鼈儗?duì)衛(wèi)星總體質(zhì)量和功耗的設(shè)計(jì)影響很小[13]，且能作用的相對(duì)導(dǎo)航范圍較廣。此外，大部分航天器都配備了星敏感器，如果方向合適，可用于探測(cè)其視野范圍內(nèi)的空間目標(biāo)，并根據(jù)測(cè)得的視線角信息執(zhí)行相對(duì)導(dǎo)航任務(wù)[9, 12, 14]。其中，僅測(cè)角導(dǎo)航技術(shù)代表了多種高級(jí)分布式空間系統(tǒng)的明確使能技術(shù)，包括空間態(tài)勢(shì)感知、自主交會(huì)對(duì)接、分布式孔徑科學(xué)和涉及空間非合作目標(biāo)的在軌維修等任務(wù)[9, 12, 15]。

僅測(cè)角導(dǎo)航技術(shù)指通過(guò)單個(gè)相機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)測(cè)量航天器和空間目標(biāo)之間的視線角信息，以推導(dǎo)出它們之間的相對(duì)狀態(tài)信息。然而，由于單目相機(jī)深度信息的缺失，僅測(cè)角導(dǎo)航存在星間距離不可觀測(cè)的問(wèn)題[16-17]。目前，已經(jīng)有許多學(xué)者研究了提高僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性的方法。D.C.Woffinden和D.K.Geller[18-19]通過(guò)六自由度仿真，證明了實(shí)際情況下僅測(cè)角導(dǎo)航在自主交會(huì)中的實(shí)用性，分析了僅測(cè)角導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)的條件，并提出了通過(guò)軌道機(jī)動(dòng)來(lái)提高僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性的方法。李九人等[20]在Woffinden和Geller的基礎(chǔ)上，研究了提高僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性的軌道機(jī)動(dòng)策略。J.Grzymisch等[21-22]提供了描述僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性的新方法，并給出了典型的不可觀測(cè)的軌道機(jī)動(dòng)方式。G.Gaias等[23]基于相對(duì)軌道根數(shù)，研究了基于軌道機(jī)動(dòng)的僅測(cè)角導(dǎo)航問(wèn)題。羅建軍等[24]研究了僅測(cè)角導(dǎo)航多約束交會(huì)的閉環(huán)最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題，其優(yōu)化目標(biāo)包括燃耗、僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)和誤差協(xié)方差，并把誤差協(xié)方差作為約束條件進(jìn)行分析，且優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的最終形式為燃耗和僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)的加權(quán)值。由于燃耗和僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)的量綱、數(shù)量級(jí)不同，這種通過(guò)加權(quán)值作為最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的建模方式，其加權(quán)值的大小嚴(yán)重依賴于數(shù)量級(jí)較大的優(yōu)化目標(biāo)。總結(jié)以上方法，這些研究主要集中在如何提高僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性的軌道機(jī)動(dòng)策略上，并沒(méi)有充分考慮僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)之間存在的耦合關(guān)系。這樣雖然可以提高僅測(cè)角導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀性，但同時(shí)也帶來(lái)了更多的燃耗與碰撞風(fēng)險(xiǎn)的問(wèn)題，并且沒(méi)有考慮燃耗、推力器推力幅度以及光學(xué)導(dǎo)航相機(jī)視場(chǎng)角和探測(cè)時(shí)間等約束條件，并不能滿足航天器實(shí)際交會(huì)場(chǎng)景中的使用要求。

本文充分考慮了僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)之間存在的耦合關(guān)系，以及航天器自主交會(huì)場(chǎng)景中存在的各種約束條件，開展了多約束、多目標(biāo)優(yōu)化下的僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)問(wèn)題研究，旨在獲得3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的Pareto最優(yōu)解集。3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)包括交會(huì)時(shí)間、燃耗和僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)，從而為不同情形下基于僅測(cè)角導(dǎo)航的航天器自主交會(huì)任務(wù)提供解決方案。為了達(dá)到此目的，本文采用Clohessy-Wiltshire (CW)方程作為航天器的相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，建立了多約束、多目標(biāo)優(yōu)化下的僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并分析了僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)之間存在的耦合關(guān)系。由于3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的量綱和數(shù)量級(jí)不同，導(dǎo)致它們之間的值相差很大，如果采用傳統(tǒng)的加權(quán)值法構(gòu)建最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，則加權(quán)值的大小嚴(yán)重依賴于數(shù)量級(jí)較大的優(yōu)化目標(biāo)。此外，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法僅能求出優(yōu)化問(wèn)題的局部最優(yōu)解，并且求解結(jié)果嚴(yán)重依賴于初始值。因此，最后通過(guò)Matlab遺傳算法工具箱中的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，求解得到了該多目標(biāo)優(yōu)化模型的Pareto最優(yōu)解集，證明了3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)之間存在相互制約關(guān)系，即提高其中一種優(yōu)化目標(biāo)的性能會(huì)降低其他優(yōu)化目標(biāo)的性能。

1 相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型

采用著名的CW方程[25]作為主星和副星之間自主交會(huì)的相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程，該方程建立在笛卡爾坐標(biāo)系中，如圖1所示，其中x軸背離地心，z軸垂直主星的軌道平面，y軸在軌道平面內(nèi)且與x軸和z軸滿足右手定則。若不考慮攝動(dòng)，則CW方程為

圖1 LVLH坐標(biāo)系定義

(1)

其中，ω為主星的軌道角速率；x、y和z為相對(duì)位置分量；ux、uy和uz為副星的推力加速度分量。

假設(shè)副星沒(méi)有進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)操作，即ux、uy和uz均為零，則對(duì)式(1)進(jìn)行積分之后得到CW方程的解為

y(t)=[6(sin(ωt)-ωt)]x0+y0+

(2)

由式(2)得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

對(duì)于給定的航天器自主交會(huì)任務(wù)，定義其初始狀態(tài)和最終狀態(tài)為

(9)

副星的推力矢量可以近似為n個(gè)速度脈沖

(10)

其中，ti是施加脈沖機(jī)動(dòng)的時(shí)間；Δvi=(Δvxi,Δvyi,Δvzi)T；δ(t-ti)是狄拉克函數(shù)。

將式(10)代入式(8),得到

(11)

定義

Δχ=χ(tf)-Φ(tf,t0)χ(t0)

(12)

Δυ=[(Δv0)T(Δv1)T…(Δvn-1)T]T

(13)

Ξ=[Φ2(tf,t0),Φ2(tf,t1),…,Φ2(tf,tn-1)]T

(14)

得到

Δχ=ΞTΔυ

(15)

當(dāng)n=1時(shí)，式(15)一般無(wú)解。令[ΞT,Δχ]為式(15)所描述的線性方程組的增廣矩陣,如果rank([ΞT,Δχ])=rank(ΞT)，則式(15)有解，否則式(15)無(wú)解。當(dāng)n=2時(shí)，由式(15)得到

Δυ=(ΞT)-1Δχ

(16)

當(dāng)n>2 時(shí)，式(15)有多個(gè)解，它的一般解的形式為[26]

Δυ=(ΞT)-Δχ+(I-(ΞT)-ΞT)λ

(17)

其中，(ΞT)-是ΞT的任意廣義逆矩陣；λ是任意3n×1的向量。

如果選擇最小范數(shù)解，則獲得n個(gè)脈沖機(jī)動(dòng)的速度增量為

Δυ=(ΞΞT)-1ΞΔχ

(18)

如果n個(gè)脈沖機(jī)動(dòng)不滿足推力器能力的約束條件，則可以將最小范數(shù)解作為初始解，通過(guò)調(diào)整變量λ來(lái)最小化燃耗，從而使其滿足推力器能力的約束條件，否則式(15)無(wú)解。

2 僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)耦合關(guān)系分析

根據(jù)圖2所示視線測(cè)量幾何示意圖，可以建立非線性的視線測(cè)量方程為

圖2 視線測(cè)量幾何

(19)

其中，上標(biāo)c表示相機(jī)坐標(biāo)系，可以進(jìn)行省略；α和ε分別表示相對(duì)方位角和相對(duì)俯仰角。

假設(shè)相機(jī)的測(cè)量噪聲較小，則可以忽略其影響，并對(duì)式(19)進(jìn)行類線性化[21]。對(duì)式(19)中的第1個(gè)分式兩邊取正切得到

xcosα-ysinα=0

(20)

對(duì)式(19)中的第2個(gè)分式兩邊取正切，并將式(20)代入其中得到

ysinε+zcosαcosε=0

(21)

將式(20)和式(21)整理成線性齊次方程組的形式為

Π(z)χ=02×1

(22)

其中，Π(z)的表達(dá)式為

(23)

由式(23)可知，Π(z)表示的矩陣是滿秩的，即

rank(Π(z))=2<6

(24)

根據(jù)式(24)可以得出式(22)的解不唯一，因此需要3組視線角觀測(cè)量才能正確地求出主星和副星之間真實(shí)的相對(duì)狀態(tài)信息。假設(shè)有3組視線角觀測(cè)量，得到

(25)

根據(jù)式(11)，主星和副星之間相對(duì)狀態(tài)傳播方程的離散形式為

(26)

根據(jù)式(26)得到χ0、χ1和χ2之間的關(guān)系為

(27)

將式(27)代入式(25)，得到

(28)

式(28)有非零解的必要條件是式(28)為非齊次方程式，即式(28)的左邊為非零矩陣

(29)

(30)

由式(30)可知，僅測(cè)角導(dǎo)航誤差與制導(dǎo)誤差滿足線性關(guān)系，那么僅測(cè)角導(dǎo)航誤差收斂時(shí)制導(dǎo)誤差也隨之收斂。另外，僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)的流程如圖3所示。

圖3 僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)流程

3 多目標(biāo)優(yōu)化模型

3.1 目標(biāo)函數(shù)

第1個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示交會(huì)時(shí)間，即

minf1(x)=Jt=tf

(31)

第2個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示燃耗大小，即

(32)

第3個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)[29]，即

(33)

3.2 優(yōu)化變量

由于是最短時(shí)間的集合，因此優(yōu)化變量包括交會(huì)時(shí)間tf，繼而軌道機(jī)動(dòng)操作的時(shí)間點(diǎn)ti(i=0,1,…,n-1)也是優(yōu)化變量，即到達(dá)每個(gè)路徑點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)更少。另外，優(yōu)化變量還包括速度增量Δvi,i=0,1,…,n-1，其計(jì)算公式由式(16)和式(18)確定，并且需要滿足推力器能力的約束條件。

3.3 約束條件

首先，副星和主星之間需要滿足相對(duì)動(dòng)力學(xué)的約束條件為

χi+1-Φ(ΔT)χi-Φ2(ΔT)Δvi=06×1,
i=0,1,…,n-1

(34)

其中，ΔT表示采樣時(shí)間間隔。

在初始時(shí)刻t0和終止時(shí)刻tf上需滿足的邊界約束條件為

(35)

對(duì)于機(jī)動(dòng)操作的時(shí)間點(diǎn)ti(i=0,1,…,n-1)，為了在機(jī)動(dòng)操作前有足夠的時(shí)間用于副星調(diào)整姿態(tài)，ti(i=0,1,…,n-1)需滿足以下約束條件

(36)

其中，Δt定義了兩次脈沖機(jī)動(dòng)操作之間的最小時(shí)間間隔。

對(duì)于微小型衛(wèi)星，由于配備的推力器能提供的推力大小有限，所以單次脈沖機(jī)動(dòng)操作的速度增量和整個(gè)時(shí)間段軌道機(jī)動(dòng)操作的總速度增量需滿足以下條件

(37)

其中，Δvmax表示單次脈沖機(jī)動(dòng)操作允許的最大速度增量；utotal表示允許施加于副星的最大總速度增量。

為了保證主星始終在副星的相機(jī)視場(chǎng)內(nèi)，需要滿足的約束條件為

(38)

其中，γ和β分別表示導(dǎo)航相機(jī)的最大水平視場(chǎng)角和最大垂直視場(chǎng)角

最后，為了保證副星和主星不發(fā)生碰撞，需要滿足的被動(dòng)安全約束條件為

(39)

其中，rsafe表示被動(dòng)安全軌跡中的最小安全距離。

3.4 數(shù)學(xué)模型

最后，提出的多目標(biāo)優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

minf(x)=min[f1(x),f2(x),f3(x)]

s.t.

其中

(41)

式(40)和式(41)表述的多約束多目標(biāo)優(yōu)化模型可被歸納為求Pareto最優(yōu)解集的問(wèn)題形式。

4 仿真校驗(yàn)

4.1 問(wèn)題配置

本文通過(guò)Matlab遺傳算法工具箱中的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，求解上述多目標(biāo)多約束情況下的僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。與傳統(tǒng)的優(yōu)化方法相比，遺傳算法適合于求解復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并具有較強(qiáng)的魯棒性；而傳統(tǒng)的優(yōu)化方法僅能求出優(yōu)化問(wèn)題的局部最優(yōu)解，且求解結(jié)果嚴(yán)重依賴于初始值。遺傳算法所采用的仿真參數(shù)如表1所示，需要解決的僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)問(wèn)題的參數(shù)配置如表2所示。本文主要進(jìn)行了副星從10km處通過(guò)僅測(cè)角導(dǎo)航交會(huì)抵近主星至1km范圍內(nèi)的數(shù)值仿真，并且主星和副星的初始和終端相對(duì)狀態(tài)為

表1 遺傳算法中采用的仿真參數(shù)

表2 問(wèn)題配置

(42)

4.2 仿真結(jié)果

首先，針對(duì)不同的問(wèn)題配置形式，在相同的計(jì)算機(jī)資源條件下(lenovo, Windows 7, intel CORE i7)，程序運(yùn)行一次得到仿真結(jié)果的時(shí)間如表3所示。另外，表4給出了軌道機(jī)動(dòng)操作的脈沖次數(shù)分別為2、3和4時(shí)的4組Pareto最優(yōu)解集。

表3 運(yùn)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)

表4 不同脈沖次數(shù)下4組Pareto最優(yōu)解集

針對(duì)不同脈沖次數(shù)下的配置問(wèn)題，本文提出的多目標(biāo)優(yōu)化模型的仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。其中，優(yōu)化目標(biāo)f1(單位為s)為交會(huì)時(shí)間，優(yōu)化目標(biāo)f2(單位為m/s)為燃耗，優(yōu)化目標(biāo)f3(單位為m2)為僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)。

通過(guò)分析表3中顯示的結(jié)果，得出軌道機(jī)動(dòng)操作的脈沖次數(shù)越多，在相同的計(jì)算機(jī)資源條件下，程序運(yùn)行一次得到仿真結(jié)果所花的時(shí)間越久。通過(guò)分析圖4～圖6以及表4中顯示的結(jié)果，得出航天器交會(huì)時(shí)間越長(zhǎng)，則燃耗就越小，且僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性就越好。因此，交會(huì)時(shí)間、燃耗和僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)之間存在相互制約關(guān)系，即提高其中一種優(yōu)化目標(biāo)的性能會(huì)降低其他優(yōu)化目標(biāo)的性能。由此，在航天器自主交會(huì)過(guò)程中采用僅測(cè)角導(dǎo)航技術(shù)時(shí)，可以通過(guò)增加航天器的交會(huì)時(shí)間來(lái)降低燃耗，并且可以提高僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)。此外，從圖4～圖6以及表4可以看出，在相同的交會(huì)時(shí)間下，脈沖次數(shù)越多，則燃耗就越大。當(dāng)交會(huì)時(shí)間為12000s時(shí)，二次脈沖機(jī)動(dòng)操作下的燃耗為0.8701m/s，三次脈沖機(jī)動(dòng)操作下的燃耗為1.4984m/s，四次脈沖機(jī)動(dòng)操作下的燃耗為2.7680m/s。因此，脈沖次數(shù)的多少對(duì)燃耗大小也起著至關(guān)重要的作用。

(a) f1 vs f2

(a) f1 vs f2

5 結(jié)論

本文開展了航天器多約束交會(huì)的僅測(cè)角導(dǎo)航最優(yōu)多目標(biāo)閉環(huán)制導(dǎo)問(wèn)題研究，建立了多約束、多目標(biāo)優(yōu)化下的僅測(cè)角導(dǎo)航和閉環(huán)制導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)Matlab遺傳算法工具箱中的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù),求解得到了該多目標(biāo)優(yōu)化模型的Pareto最優(yōu)解集，并得到以下結(jié)論：

1)軌道機(jī)動(dòng)操作的脈沖次數(shù)越多，在相同的計(jì)算機(jī)資源條件下，程序運(yùn)行一次得到仿真結(jié)果所花的時(shí)間越久。

2)交會(huì)時(shí)間、燃耗和僅測(cè)角導(dǎo)航可觀性指標(biāo)之間存在相互制約關(guān)系，即提高其中一種優(yōu)化目標(biāo)的性能會(huì)降低其他優(yōu)化目標(biāo)的性能。此外，在相同的交會(huì)時(shí)間下，脈沖次數(shù)越多，則燃耗就越大，所以脈沖次數(shù)的多少對(duì)燃耗大小也起著至關(guān)重要的作用。

該多目標(biāo)優(yōu)化模型求解得到的Pareto最優(yōu)解集，可以為不同情形下基于僅測(cè)角導(dǎo)航的航天器自主交會(huì)任務(wù)提供解決方案。