勒讓德方程的解

張捍衛 張 華 楊永勤 李曉玲

1 河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南省焦作市世紀路2001號，454000

勒讓德方程是物理學和其他技術領域常遇到的一類常微分方程。在大地測量學中，通常只關注締合勒讓德函數遞推公式及其計算精度與速度。遞推公式大致可分為標準向前按列和按行遞推方法[1]、列式遞推方法[2]和跨階次遞推方法[3]等，這些遞推公式在理論上具有等價性。但由于遞推公式結構存在優劣，在計算過程中，不同類型的遞推公式顯示出不同的效果[4-7]，因此，需要進一步改善遞推公式結構[8-9]。球諧與橢球諧理論[10-11]作為物理大地測量學的重要理論，雖然地球與太陽系內的天體橢率較小，但也可用于其他領域研究[12]。

本文給出部分特殊函數的任意階導數表達式。在此基礎上，直接給出第一類連帶勒讓德函數的超比表達式，及其與其他特殊函數的理論關系；同時利用級數展開方法，直接給出第二類連帶勒讓德函數的超比表達式。

1 勒讓德方程及其奇點

復數域內勒讓德方程為[13-14]：

(1)

式中，ν為待定參數。

連帶(締合)勒讓德方程為：

(2)

顯然，當m=0時，方程(2)就可化為方程(1)。式(2)的系數為：

(3)

由于式(3)在x0=0點解析，因此x0=0為方程(1)和(2)的常點。

根據式(3)得：

(4)

所以，x0=±1、∞分別為勒讓德方程的3個正則奇點。

2 式(1)冪級數解：第一類勒讓德函數

文獻[13-14]指出，若x0為二階微分方程的常點，則該方程的系數和解均可以通過麥克勞林級數來表示：

(5)

因此，方程(1)在常點x0=0鄰域內的解為：

(6)

將式(6)代入式(1)，可得系數之間的遞推公式：

(7)

設置c0和c1為任意常數，可證Pν(x)在|x|<1時收斂，在x=±1處發散[13-14]。

當ν=n時，Pν(x)截斷為多項式Pn(x)，如果取最高冪次系數：

(8)

則有[13-14]：

(9)

式中，[·]表示取整數。值得注意的是，多項式對自變量數域范圍無要求。

當ν=n時，可證明

(10)

第一個等號成立。后面3個等號，可根據(C7)、(C15)和(C21)式得到。

3 式(1)冪級數解：第二類勒讓德函數

與Pn(x)線性無關的另一個解Qn(x)，可通過劉維爾公式得到[13-14]：

(11)

式中，p(x)為方程(1)的系數，具體見式(3)。

當ν=n時，設方程(1)的級數解為：

(12)

將上式代入式(1)，可得系數之間的遞推公式為：

(13)

由此可得：

(14)

如果設置

(15)

則可將式(12)表示為：

(16)

上式稱為第二類勒讓德函數。

考慮到式(A9)、(A10)以及式(15)，可將式(16)寫為：

(17)

注意，第二類勒讓德函數是一個無窮級數，自變量要求|x|>1。

4 式(2)冪級數解：第一類與第二類連帶Legendre函數

可證明：如果式(1)的解為y，那么式(2)的解為[13-14]：

(18)

因此，當ν=n時，則有：

(19)

分別稱為第一類和第二類連帶勒讓德函數。

根據式(10)和式(19)中第一式，以及(C5)、(C9)、(C16)和(C23)式，可得：

(20)

上式為第一類連帶勒讓德函數(實際上為多項式)的不同表述。

根據式(17)和式(19)中第二式，可得：

(21)

根據式(A9)和式(A10)，可得：

因此，式(21)可寫為：

(22)

這里已考慮到(B4)式。

5 結 語

本文給出超比函數、雅可比多項式、超球多項式和蓋根堡多項式的任意階導數，在此基礎上利用式(19)第一式和式(10)，可直接得到式(20)。另外，首次利用級數展開方法并靈活運用括號運算符，直接給出式(16)和式(22)。

勒讓德方程、切比雪夫方程、雅可比方程、超球方程和蓋根堡方程等均屬于超比方程類型，可以化為超比方程求解。因此，在研究勒讓德方程時，可以利用其他微分方程的部分特性來研究勒讓德方程的性質。