基于高斯過程的參數辨識及永磁同步電機模型電流預測控制策略

魏宗恩， 鄧永停， 喬延婷， 費 強， 李洪文

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100039； 3.陸軍裝甲兵學院士官學校，吉林 長春 130000；4.季華實驗室， 廣東 佛山 528200）

1 引言

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor， PMSM）因其可靠性高、體積小、控制精度高等優點在光電跟蹤設備［1-2］、高精度數控機床、航空航天領域得到廣泛應用，同時，永磁同步電機也被廣泛應用于新能源汽車領域。因此，對高性能的永磁同步電機控制算法［3-4］的研究具有重要意義。基于有限控制集的模型預測控制［5］（Finite Control Set Model Predictive Control， FCS-MPC）算法利用代價函數，通過預測不同電壓對應的電流來選擇逆變器的開關狀態。該策略的優點是瞬態響應快、實現簡單、無需調制。然而，直接使用系統模型來選擇最優控制行為，使得系統在建模錯誤或參數變化的情況下，出現性能變化［6-8］。因此，預測模型誤差的影響［9-10］是FCS-MPC的重要問題。針對上述問題，傳統的方法是建立更為精確的物理模型，或者設計復雜高階求解器。這增加了系統的復雜度，造成過高的計算負荷。也有許多其他方案被國內外學者提出，其中，無模型預測控制方案［11-12］和基于參數辨識的預測模型優化控制方案成果顯著。

基于參數辨識的預測模型優化控制方案在保證控制性能的前提下進一步提高系統魯棒性。目前，永磁同步電機參數辨識方法分為離線估計方法［13-14］和在線估計方法［15-17］。此外，模擬解析方法，特別是有限元分析［18］，也被歸類為離線參數估計技術，此技術常被用來作為其他辨識方法實驗的實際參考。在線估計方法中，基于機器學習的方法備受關注，其通過數據來進行預測，隨著有效數據的積累，機器學習的預測能力可以持續的進化，預測精度不斷提高，目前，神經網絡（Neural Network， NN）［19］、遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）［20］和粒子群優化（Particle Swarm Optimization， PSO）［21-22］等算法已應用于電機控制的自調試［23-24］和狀態監測。

一般機器學習的算法在系統參數辨識的應用過程中需要進行超參數的調試，如神經網絡中的學習率、隱藏層的數量，支持向量機中的正則化常量等。目前，應用于參數辨識機器學習的算法中，大都需要基于經驗與不斷測試對超參數進行優化，以提高學習的性能和效果，此過程增加了辨識算法的實施難度。另外，機器學習回歸算法預測精度的評估需要衡量預測值與實際參數值之間的誤差，此“實際的參數值”是基于其他辨識方法得到的，在參數辨識過程中，缺乏實時性的性能指標對預測結果進行評估。

高斯過程作為一種“非參數”機器學習技術，其超參數使用極大自然法或蒙特卡洛方法自適應獲取，這簡化了超參數調試的過程，并增加超參數選取的可解釋性。此外，高斯過程是一個具有概率意義的學習機，可對預測輸出做出概率解釋，其賦予預測結果的置信度指標可用于預測效果的評估。基于上述兩點，本文提出基于高斯過程的永磁同步電機參數辨識方法并與有限集電流預測控制相結合，對PMSM進行精確控制。

2 永磁同步電機電流預測模型

在理想狀態下，PMSM在d-q軸坐標下的電壓方程為：

PMSM磁鏈方程為：

其中：ψd為d軸總磁鏈，ψq為q軸總磁鏈；vd和id分別為d軸電壓和電流，vq和iq分別為q軸電壓和電流，Rs為定子電阻，Ld和Lq分別為d軸和q軸電感，ψm為定子磁鏈，ωr為電機的角速度。

通過式（1）和式（2）可得PMSM連續空間狀態方程：

上述連續狀態空間方程采用歐拉法進行離散化化處理：

其中：Ts為采樣周期，i(k)為k時刻（k=1，2，3，…）電流值，i(k+1)為下一采樣時刻電流值。因此，PMSM電流預測模型可由式（3）和式（4）得出：

其中：id(k)，iq(k)分別為k時刻的d軸和q軸電流，id(k+1)，iq(k+1)分別為k+1時刻的d軸和q軸電流。

3 PMSM電流預測模型失配影響

將PMSM電流預測模型表達式簡化為：

其中：Di=(1-RsTs/Ls)，Dv=Ts/Ls，表貼式永磁同步電機d軸和q軸電感相等，用Ls表示。空間矢量角度分析，式中預測電流矢量i(k+1)由實際電流矢量i(k)與實際電壓矢量v(k)加權合成。

以d-q軸電感參數為例分析模型失配對系統控制性能的影響。當系統模型未失配時，預測電流可表示為：

其中：ir(k+1)為無失配預測電流，Lrs為電感真實值。當系統模型失配時，預測電流可表示為：

其中：ip(k+1)為失配預測電流，Lp s為電感標定值。由式（7）和式（8）可得：

對式（9）進行z變換：

由此得到此離散系統極點為：z=-Lrs/Lps+1，令，m=1時，系統零極點如圖1（a）所示，系統極點位于原點，沖激響應如圖1（b）所示，電流實現無差拍跟蹤。系統模型參數正向失配，并考慮實際情況，在0.5＜m＜1的情況下，系統z域零極點分布圖如圖1（c）所示，系統極點位于正實軸且在單位圓內，沖激響應如圖1（d）所示，響應呈指數衰減，m數值與電流響應速度成正相關。

圖1 系統性能分析圖Fig.1 System Performance Analysis

系統模型參數負向失配即在1＜m＜1.5的情況下，系統z域零極點分布圖如圖1（e）所示，系統極點位于負實軸，沖激響應如圖1（f）所示，電流階躍響應呈指數衰減，m數值與電流響應速度成負相關。

由上述分析可知，系統模型不同失配程度會對系統性能造成不同影響，對于模型預測電流控制，此影響體現在電流控制效果上，圖2展示了在傳統FCS-MPC策略下，電感Ls不同失配程度下q軸電流表現。如圖所示，在電感參數正向失配的情況下，q軸電流參考值相較于實際q軸電流會產生上偏移現象，而且偏移的程度與電感參數失配程度成正相關。在電感參數負向失配的情況下，q軸電流參考值相較于實際q軸電流會產生下偏移現象，而且偏移的程度與電感參數失配程度成正相關。通過圖2（a）與圖2（e）、圖2（b）與圖2（f）、圖2（c）與圖2（g）三組對比分析，在失配幅度相同的條件下，電感參數負向失配時會造成更嚴重的偏移現象。這表明電感變化對FCSMPC性能的影響是不對稱的，在預測模型高估實際電感值的情況下更具危害性。

圖2 電感不同失配程度下的q軸電流響應Fig.2 Performance of q-axis current with different degrees of inductance mismatch

經上述分析可知，電感參數的失配程度與電流實際表現存在某種關系。將電流表現數據作為輸入，電感參數的失配程度數據作為輸出，通過高斯過程回歸模型的訓練，可建立起輸入變量到輸出變量的映射關系。通過此關系，在電流狀態已知的情況下可推得模型失配程度，進而求得實際參數值，實現系統模型的在線優化。

4 基于高斯過程的參數優化方案

4.1 訓練數據的獲取與預處理

高斯過程作為機器學習的方法，需要量化數據作為支撐。上文描述q軸電流參考值相較于實際q軸電流偏移程度，可量化為電流偏移度P。電流偏移度P描述q軸電流iq對q軸參考電流iqref上偏移程度P_u和下偏移程度P_d的比例關系：

其中：n為單檢測周期內數據量，λ為偏移度系數，用作數據標準化處理，初始值設為1。

電感值不同失配程度下的q軸電流偏移度如圖3所示，電流表現通過量化數據分析，電感參數的正、負向失配對電流的影響是不對稱的，不同失配程度下電流偏移度P的數據作為高斯過程回歸模型的訓練輸入之一。

圖3 電感不同失配程度下的q軸電流偏移度PFig.3 Current offset of q-axis under different mismatch

q軸電流表現另一重要量化數據為電流波動度B，其描述q軸電流iq以q軸參考電流iqref為基準的波動程度：

然而這一指標隨電感參數失配程度的變化呈現復雜的變化趨勢，以此指標作為高斯過程回歸模型的另一訓練輸入，其變化規律通過高斯過程算法學習。圖4為實時獲取部分訓練數據集的三維散點圖，隨著電流偏移度和電流波動度的變化，電感標稱值呈螺旋上升的變化趨勢。

圖4 訓練數據集的三維散點圖Fig.4 Scatter plot of training dataset

4.2 高斯過程回歸模型

區別于傳統參數優化方法，高斯過程參數優化作為一種機器學習的方法依賴于有效數據的訓練。

假設訓練數據集有n個樣本，則此數據集可表示為{y，α，β，γ}，其中，電流波動度B和電流偏移度P分別用α，β來表示，γ是參數標稱值，以上三項作為訓練輸入數據，y是參數實際值，作為訓練輸出數據。

測試數據集用{y*，α*，β*，γ*}表示，為表述方便，令多維訓練輸入數據集{α，β，γ}=x，令多維測試輸入數據集{α*，β*，γ*}=x*，測試輸出數據表示為y*。

與高斯分布描述數據的分布規律類似，高斯過程（GP）描述的是函數的分布。均值函數m(x)和協方差函數k(x，x′)決定了高斯過程全部的統計特征，因此，定義高斯過程為：

對于實際問題，還需考慮噪聲ε對觀測值的影響，因此，模型描述為：

其中：進一步假設噪聲ε符合均值為0，方差為σ2的高斯分布：ε～N(0，σ2n)，且其獨立于f(x)。此時，實際函數值y服從高斯過程：

其中：

訓練樣本與一個測試點的聯合分布為：

其中：K表示協方差矩陣K(x，x)，描述訓練數據x內部相關性；KT*表示協方差矩陣K(x，x*)，描述訓練數據x與測試點x*協差關系；K*表示協方差矩陣K(x*，x)；K**表示協方差矩陣K(x*，x*)，描述測試點x*內部相關性。上述協方差矩陣K中元素kij是由協方差函數確定的，即kij=k(xi，xj)。

根據貝葉斯公式及式（16）得：

其 中 ，[μ2+K*K-1(y-μ1)] 和 [K**-K*K-1KT*]分別為預測均值y*和預測方差var(y*)。預測均值即為目標參數預測值，預測方差即為得到此預測值的概率評估。

在本文訓練數據統計特征下，高斯過程回歸模型均值函數選擇為零均值函數，核函數選擇為Matérn協方差函數：

其中：d=(x-x′)T(x-x′)，{σf，ρ}為超參數θ。

本文用最大似然估計法確定高斯過程核函數中的超參數θ，似然函數為：

取f為高斯過程模型f～GP(0，Σ)，則負對數邊際似然為：

超參數θ的最優解通過L偏導獲得：

在上述設計的高斯過程算法基礎下用訓練數據進行在線訓練，節省了一般機器學習算法的超參數調試過程，隨預測值同時輸出的預測方差經預處理后作為預測效果的評估，可實時監測預測狀態以及異常數據。

高斯過程回歸預測模型精度主要受其核函數影響，為了驗證本文中核函數相較于其他常用核函數在此數據類型和規模下具有更高的預測精度，隨機選擇10組測試數據分別在以平方指數協方差函數、有理二次協方差函數以及本文應用的Matérn協方差函數為核函數的高斯過程模型下進行測試。

平方指數協方差函數表達式為：

有理二次協方差函數表達式為：

系統模型參數真實值與預測值對比圖如圖5（a）～5（c）所示，實驗結果顯示，以平方指數協方差函數、有理二次協方差函數為核心的高斯過程回歸算法均有較高的預測精度，但是在系統參數失配程度較高的情況下，會產生較大的預測誤差，本文采用的Matérn核函數，在各種失配狀態下均表現高的預測精度。

圖5 系統模型參數真實值與預測值對比圖Fig.5 Comparison of actual and predicted values of system model parameters

4.3 基于高斯過程參數辨識的模型預測控制

基于高斯過程的永磁同步電機模型預測控制系統框圖如圖6所示。系統通過PI控制器進行速度控制，并產生電流參考值。預測電流控制器將對該電流進行跟蹤，選擇能使代價函數最小化的電壓矢量，將其應用于整個采樣間隔。在系統運行的過程中進行電流檢測，電流檢測數據經預處理模塊得到電流波動度B和電流偏移度P，此兩項作為高斯過程回歸參數優化模塊的輸入進行系統參數的預測，預測結果將更新預測電流控制器中已失配的參數，使系統恢復未失配狀態。

圖6 基于高斯過程的永磁同步電機模型預測控制系統框圖Fig.6 Block diagram of MPC system for PMSM based on GP

系統中高斯過程回歸模型是不斷更新的，隨著訓練數據的累積而進化。在不同速度參考值或不同負載條件下，穩定后的q軸電流表現量化值會有所不同，因此在不同實驗條件下的實驗數據將會訓練新的高斯過程回歸模型。

高斯過程的訓練數據直接由目標算法FCSMPC獲取，因此參數辨識過程對FCS-MPC不會造成類似于其他入侵式辨識算法帶來的不利影響，同時，訓練得到的回歸模型將用來優化FCSMPC算法，實現了控制與優化的閉環。

5 實驗分析

實驗驗證FCS-GPMPC控制策略的有效性，搭建了如圖7所示的實驗平臺，DSP-TMS320F2 8335和FPGA-EP3C40F324組成伺服控制器。PMSM參數如表1所示。

圖7 實驗平臺實物圖Fig.7 Photograph of experimental platform

表1 永磁同步電機參數Tab.1 Parameters of PMSM

首先進行高斯過程回歸模型的獲取，在給定速度50 r/min、零負載條件下，電感參數標稱值在以實際參數值為基準-25%～25%的范圍波動，利用電流波動度等實時數據進行高斯過程回歸模型的訓練，得到圖8（a）所示擬合曲面，通過電流波動度和電流偏移度即獲得電感參數的失配信息。

為驗證回歸模型在不同速度條件下的自適應性能，在給定速度100 r/min、零負載條件下進行回歸模型自適應獲取，得到圖8（b）所示的擬合曲面。為驗證高斯過程回歸模型在不同負載條件下的自適應性能，在給定速度100 r/min，2 N·m負載條件下進行回歸模型自適應獲取，得到圖8（c）所示的擬合曲面。實驗證明，電機運行條件不同，電流表現和參數失配之間的回歸模型會有不同，本文高斯過程方法會在電機不同運行狀態下自適應更新回歸模型。

圖8 不同運行條件下擬合曲面Fig.8 Fitted surfaces under different operating states

基于本文方法進行參數辨識的實驗，如圖9所示（彩圖見期刊電子版），圓點表示該時刻實際參數值，紅色曲線表示預測參數值，圖中顯示，預測參數曲線準確跟蹤實際參數值。測試數據集顯示，在本文數據類型和規模下，預測誤差均控制在2%以內，均方根誤差RMSE為0.002 1，已到達千分位級，R2達到0.99，接近于1。

圖9 參數辨識結果Fig.9 Result of parameter identification

高斯過程回歸模型在輸出預測均值y*的同時會輸出預測方差var(y*)，因此置信度為95%的置信區間為：。圖9中灰色陰影部分即為預測值的置信區間，可用于預測效果的評估以及異常數據的檢測，預測誤差與置信區間的波動成正相關。為驗證置信區間對異常預測值的檢測能力，在系統運行的過程中加入異常值，如圖10所示陰影部分即置信區間迅速擴大，這代表此時刻預測方差出現較大波動，即檢測到本組數據中出現異常值或者出現較大預測誤差。因此，置信區間的大小可用于預測效果的評估。

圖10 預測異常檢測Fig.10 Predictive anomaly detection

為進一步驗證本文控制策略的穩態性能，在2 N·m負載、100 r/min速度參考值條件下，對比本文控制策略與傳統FCS-MPC在參數失配情況下相電流和q軸電流狀態。圖11（a）、圖11（b）為傳統FCS-MPC策略下a相電流波形及其快速傅里葉分析（Fast Fourier Transform， FFT），圖11（c）、圖11（d）為本文控制策略下參數優化后a相電流波形及其快速傅里葉分析。相較于傳統FCS-MPC，本文控制策略下的相電流總諧波失真（Total Harmonic Distortion， THD）由4.38%降為3.74%。

圖11 相電流響應對比Fig.11 Comparison of phase current response

考慮電感參數失配程度的極限情況，參數標稱值在以實際參數值為基準-50%～50%的范圍隨機波動。傳統FCS-MPC算法q軸電流響應和基于所提方法參數優化后的q軸電流響應分別如圖12（a）、圖12（b）所示。相較于傳統FCSMPC，所提方法q軸電流波動度降低30.5%，電流平均偏移度降低19.6%。

圖12 q軸電流響應對比Fig.12 Comparison of q-axis current response

實驗驗證FCS-GPMPC控制算法對電流階躍變化的動態跟蹤性能，如圖13～14所示，q軸參考電流在5 s時由0 A上升到1 A，傳統的FCS-MPC算法的響應時間與FCS-GPMPC算法一致，但由于電感參數的不匹配，導致對未來電流的預測不準確，降低了電流跟蹤性能。FCS-GPMPC算法及時調整電感參數標稱值，因此其對參考電流的階躍變化有更好的動態響應。

圖13 q軸電流階躍響應（FCS-MPC）Fig.13 Step response of q-axis current

6 結論

本文設計了基于高斯過程參數優化的模型預測控制器，高斯過程參數辯識方法簡化了其他機器學習算法超參數的調試過程，其波動參數的精確估計提高了模型預測控制器的控制性能。高斯過程回歸算法還實時提供了預測結果的置信區間，通過此置信區間，可在線進行系統算法的監測及優化。基于高斯過程參數優化的模型預測控制可實時優化預測模型，對比于傳統的FCS-MPC，所提方法對電流的穩態性能和動態性能均有提升。實驗結果表明：基于高斯過程回歸的參數辯識方法具有較高的精度，在電感參數失配程度不斷變化的情況下，實現參數的精確跟蹤，預測誤差控制在2%，相較于傳統FCS-MPC，本文控制策略下的相電流總諧波失真也有所降低，電感失配程度隨機變化下q軸電流波動度降低30.5%，電流平均偏移度降低19.6%，另外，在參數失配情況下，所提算法對q軸參考電流的階躍變化有更好的動態響應。

圖14 q軸電流階躍響應（FCS-GPMPC）Fig.14 Step response of q-axis current