源于新教材習題的說題案例及教學啟示

肖松柏 張 璐

?新疆烏魯木齊市第四十一中學

2022年4月，市教研中心舉辦了高中數學教師說題比賽，要求所選試題必須是人教A版高中數學(2019版)必修第一冊或必修第二冊中的例題或習題.目的就是鼓勵教師學習新教材、鉆研新教材，以教材為本，以課程標準為綱開展教學，糾正以前那種脫離教材搞教學，忽視教材中典型例題和習題的不妥做法.本文中以本次說題比賽所選習題為例，談談對新教材習題的認識.

1 說題案例

圖1

1.1 說題目來源

本題選自人教A版高中數學(2019版)必修第二冊第23頁習題6.2綜合運用第15題，主要考查平面向量的線性運算.

1.2 說題目考查的核心素養

本題屬于向量問題中的高頻考點，在解題中應用平面向量基本定理、向量加減法法則、向量運算才能得到解決.考查的核心素養有邏輯推理、數學運算、直觀想象.

1.3 說解題方法

評析：本證法主要用到向量的加法法則及“算兩次”的方法.

證法2：如圖2，延長EF至點G，使EF=FG.

因為F是BC的中點，所以BF=CF.

圖2

因此四邊形EBGF是平行四邊形.

評析：證法2主要通過構造平行四邊形，應用向量加法的平行四邊形法則.

圖3

證法3：如圖3，延長BA,CD交于點O，連接EO,FO.

評析：證法3主要應用了由證法2得出的中線向量結論，簡化計算.

圖4

證法4：如圖4，過點B作BG∥DC，使BG=DC，則四邊形BGCD是平行四邊形.

因為F為DG的中點，E為AD的中點，所以EF是△AGD的中位線.

1.4 說結論應用

本題結果可以作為一個結論，靈活應用該結論在解題中可以簡化計算.

圖5

解：如圖5，取AD,AB,BC,CD的中點分別為E,G,F,H.

所以AC=3.

1.5 說變式拓展

如果變換習題中的四邊形，結論仍然成立，會為解決問題帶來很多方便.

這個結論稱為中線長定理.即為人教A版高中數學(2019年版)必修二第53頁習題6.4第15題:

△ABC的三邊分別為a,b,c，BC,CA,AB邊上的中線分別記為ma,mb,mc，利用余弦定理證明：

圖6

1.6 說教學價值

從本習題的證明可以得到中線向量結論，繼而證明中線長定理.向量的分解一直是學生的難點，從幾道變式題可以看出，學生只要立足教材，真正理解并體會有關解法，對其相關的變式問題也很容易解決.因此對教材中的典型例題、習題進行研究，開展“一題多解、一題多變、多題同解” 的訓練，可以提升學生的能力.本題涉及向量的分解，加減法的計算，平行四邊形法則的應用，是高考的命題熱點，作為例題極具典型性、作為習題極具訓練價值.

2 教學啟示

2.1 提高對教材習題重要性的認識

本次說題比賽，市教研中心之所以要求必須選擇新教材中的例題或習題，目的就是要引導教師鉆研新教材、研讀新教材，關注重點例題和習題，糾正拋開課本圍繞一本復習資料或自編講義教學的錯誤做法.對于教材在教學中的作用，《普通高中數學課程標準(2017版2020年修訂)》指出：習題是教材的重要組成部分，要提高習題的有效性，科學、準確把握習題的容量、難度.習題是課堂教學內容的鞏固和深化，也應當為學生發展數學學科核心素養提供平臺[1].但在潛意識中學生和教師都覺得課本習題過于簡單而常被忽視，違背了教材設置習題的初衷.但在2019年版新教材中習題設置進行分層，可以滿足不同程度學生的需要，加之“源于課本、高于課本”是高考命題的一條原則，因而教學中要提高對教材習題重要性的認識.

2.2 熟悉習題設置，布置作業有的放矢

教材中的習題是編寫者為鞏固教材知識內容，實現課程標準要求精心設計的，具有基礎性、典型性和發展性，因此教師必須熟悉習題設置，布置作業有的放矢.教材中每小節內容后都設置了“練習”，這類習題緊扣本節新知，難度不大，目的是幫助學生理解和掌握本節課知識點，一般在課堂上完成.每一大節后都設置了“習題”，綜合了這一大節的所有知識點，具有基礎性、綜合性、探究性的特點.“復習鞏固”習題，主要復習本大節的主要知識點，適合基礎較弱的學生完成.“綜合運用”習題具有一定的難度和綜合性，適合中等基礎的學生完成.“拓廣探索”習題綜合性更強，還具有發展性，需要引導學生完成.新教材中習題的分層設置，有利于滿足不同基礎學生的需求，有利于激發學生學習積極性.

2.3 對重點習題適當拓展研究

教材中設置的習題除了具有鞏固新知的功能，還承載著拓展延伸新知的功能[2].教師可以選擇具有典型性、靈活性、層次性、鞏固性的習題，引導學生進行研究型學習.比如說題比賽選擇的這道習題，考慮它有哪些解法，能不能變式，是否隱含有結論，結論如何應用，等等.又如必修二第53頁“習題6.4”第10題：你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎？這其實就是正弦定理的面積公式，現在以習題形式出現，就是要求學生在證明的基礎上會靈活應用.再如“習題6.4”第21題是一道研究方案的試題，可以參考必修二第49頁例2.所以學生和教師都要轉變對教材習題簡單而被忽視的做法.

2.4 針對習題完成情況及時講評和評價

習題還具有評價功能.教材中的習題多作為每天的課后作業，學生通過完成習題鞏固消化本節內容，及時發現存在的問題，教師及時批改作業，及時發現作業中暴露出來的問題，并及時講評，及時評價，可提升基礎較弱學生的獲得感、自信心，可以激發學生學習數學的熱情.同時通過學生完成習題情況反饋進行教學評價，及時調整教學策略，達到教學相長的目的.