例談證明函數零點唯一性問題的有效策略*

管良梁

?安徽省合肥市第四中學

1 例題呈現

2 解題策略探究

2.1 分區間研究法

所謂分區間研究法就是將函數的定義域分成幾個區間，在不同的區間里對函數進行研究.

2.2 構造輔助函數法

所謂構造輔助函數法就是根據題干構造一個新的函數.借助對新構造函數的研究，解決原函數所涉及的問題.

2.3 數形結合法

數形結合是一種數學思想.所謂數形結合法，就是將代數問題與幾何圖形結合起來，代數問題和幾何問題相互轉化，把復雜問題簡單化.

因為r(x)=xex(x>0)，所以r′(x)=ex+xex=ex(x+1).

因為x∈(0,+∞)，所以r′(x)=ex(x+1)>0.

故函數r(x)=xex在(0,+∞)上單調遞增.

因為x→0時，r(x)→0，且x→+∞時，r(x)→+∞，所以函數r(x)=xex(x>0)的圖象如圖1中所示.

圖1

圖2

即證函數h(x)=x2ex(x>0)的圖象和函數g(x)=-lnx的圖象有唯一交點.

因為h(x)=x2ex(x>0)，所以h′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2).

由x∈(0,+∞)，得h′(x)=xex(x+2)>0.

所以函數h(x)=x2ex在(0,+∞)上單調遞增.

因為x→0時，h(x)→0，且x→+∞時，h(x)→+∞，所以函數h(x)=x2ex(x>0)的圖象如圖2中所示.

易知，函數g(x)=-lnx的圖象，如圖2所示.

由圖2可知，函數h(x)=x2ex(x>0)的圖象和函數g(x)=-lnx的圖象有唯一交點B，所以方程x2ex=-lnx(x>0)有唯一解.

函數的零點等價于對應方程的解，也等價于對應函數圖象與x軸交點的橫坐標.不同的問題采取不同的方法，使得復雜問題簡單化，轉化為我們熟悉的函數或方程加以解答.