從試驗(yàn)到論證
——對(duì)一道數(shù)列問題的探究與思考

金永濤

北京理工大學(xué)附屬中學(xué) (100089)

數(shù)學(xué)試驗(yàn)，是在綜合解決學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，根據(jù)問題情境，構(gòu)造出具體的實(shí)例或反例、發(fā)現(xiàn)或猜測(cè)實(shí)例蘊(yùn)含的性質(zhì)，通過進(jìn)一步檢驗(yàn)、歸納與推廣等過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)的深刻理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).數(shù)學(xué)試驗(yàn)，要從觀察數(shù)學(xué)對(duì)象開始，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ).

高中階段對(duì)數(shù)列的研究是以“背景——概念(定義、表示、分類)——性質(zhì)——特例”為基本架構(gòu)，其中“特例”是指等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩類有明確的現(xiàn)實(shí)背景、可以給出精確的規(guī)律表達(dá)、在解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題中有重要應(yīng)用價(jià)值的數(shù)列，對(duì)它們的研究按照“背景——概念——表示——性質(zhì)——求和公式——應(yīng)用”的路徑展開.在研究一個(gè)具體的數(shù)列時(shí)，先要識(shí)別它是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列；如果不是，可否將其轉(zhuǎn)化為這兩類特殊數(shù)列；問題中的數(shù)列與兩類特殊數(shù)列具有哪些聯(lián)系，怎么應(yīng)用它們之間的聯(lián)系思考、解答問題；如何應(yīng)用數(shù)列的研究方法，探究與思考數(shù)列問題等.數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，在思考數(shù)列問題時(shí)，要關(guān)注自變量的離散性和有序性，重視應(yīng)用數(shù)學(xué)試驗(yàn)探究，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并解答問題.

一、問題呈現(xiàn)

題目已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1+an=3n+1，求{an}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn.

本題中數(shù)列以遞推關(guān)系的形式給出，根據(jù)遞推關(guān)系可以依次得到{an}每一項(xiàng)的值；在遞推關(guān)系中，相鄰兩項(xiàng)之和為3n+1，注意到數(shù)列{an+1+an}是一個(gè)等差數(shù)列.

二、問題探究

要求{an}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn，首先要準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)、理解數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)遞推關(guān)系，通過列舉法，觀察、分析{an}部分項(xiàng)的值，探究數(shù)列的性質(zhì)并解答問題.

探究1：列舉{an}部分項(xiàng)的值，探究數(shù)列的性質(zhì).

a1=1，a1+a2=4，a2+a3=7，a3+a4=10，a4+a5=13，a5+a6=16，a6+a7=19，a7+a8=22，a8+a9=25，….

易得到數(shù)列{an}為1，3，4，6，7，9，10，12，13，….即該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列.

探究2：歸納推理，確定研究思路與方法.

通過分析數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系——等差關(guān)系，概括出{an}的性質(zhì)為a1=1，a2=3，且an+2-an=3.借助數(shù)學(xué)試驗(yàn)(列舉與歸納)探究數(shù)列性質(zhì)，這是研究數(shù)列問題的重要方法；依據(jù)得到的性質(zhì)，整理遞推關(guān)系，確定出解決問題的具體方法.

探究3：邏輯推理，回歸概念本質(zhì).

在遞推關(guān)系中，數(shù)列{an+1+an}也可以看成是一個(gè)數(shù)列且為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的概念可知，從第二項(xiàng)起后一項(xiàng)與相鄰的前一項(xiàng)之差為常數(shù)(公差)，則(an+2+an+1)-(an+1+an)=[3(n+1)+1]-(3n+1)，化簡(jiǎn)后也能得到an+2-an=3.這一過程，是基于“數(shù)列的遞推關(guān)系也是一個(gè)數(shù)列”的學(xué)科觀點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)列概念本質(zhì)確定出研究思路與解決方法.

探究4：嚴(yán)謹(jǐn)論證，提升素養(yǎng).

探究5：轉(zhuǎn)換視角，提煉學(xué)科思維.

在求解數(shù)列問題時(shí)，通常利用數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系求解前n項(xiàng)和Sn，或者是先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，再進(jìn)一步求解通項(xiàng)公式.之所以能這樣思考，不僅是源于an和Sn的基本關(guān)系，也是對(duì)數(shù)列概念本質(zhì)的思考——前n項(xiàng)和是一個(gè)數(shù)列{Sn}.

三、思考與感悟

數(shù)學(xué)試驗(yàn)是研究數(shù)列的重要方式，對(duì)于復(fù)雜的數(shù)列問題，直接進(jìn)行推理論證是困難的.數(shù)學(xué)試驗(yàn)，既是準(zhǔn)確把握題目信息、深入認(rèn)識(shí)數(shù)列規(guī)律的重要方式，也是探索研究思路和具體解決方法的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)試驗(yàn)不能只停留在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的感性認(rèn)知層面，還要對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行深層次的探究，并借助推理論證、數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)、規(guī)律的嚴(yán)謹(jǐn)說理.

在求解數(shù)列問題時(shí)，要重視對(duì)數(shù)列基本特征的認(rèn)識(shí)和理解，這是有效解答數(shù)列問題的根本.通過將數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)的關(guān)系，或構(gòu)建起其與特殊數(shù)列的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，進(jìn)而應(yīng)用典型方法(如公式法、迭代法等)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.在解題過程中，不僅要準(zhǔn)確掌握并應(yīng)用遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式思考并解答問題，還要有意識(shí)地構(gòu)建、形成數(shù)列的學(xué)科觀點(diǎn)——遞推關(guān)系與前n項(xiàng)和也是一個(gè)數(shù)列，以數(shù)列的視角看待遞推關(guān)系與前n項(xiàng)和，系統(tǒng)掌握數(shù)列問題的研究方法.