明確路徑，有序探究
——以“線面垂直的性質定理”教學為例

楊克林

福建省漳浦第一中學 (363200)

眾所周知，數學探究是一種尋求新知的過程，同時也一種教學模式，是一種在教師指導下學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.數學探究教學在激發學習動機、豐富學生學習方式、增強學習效果、培養創新人才上具有其他教學方式不可替代的功能.但當前的數學探究教學也存在形式化及無序性等弊端.例如，探究的問題要么過于簡單，使得探究過程流于形式，要么探究的問題過難，學生無處探究；在探究過程中，要么教師過度干預，探究成為了教師的“表演”，要么教師指導缺位，學生盲目探究.若要從根本上解決探究教學中存在的這些弊端，首先必須要讓學生明確探究的路徑，從而使得數學探究成為一種有序的學習活動.最近，筆者觀摩了一堂市級數學教學公開課，教學的課題是“線面垂直的性質定理”.本文結合這堂課的教學過程，談談對數學探究教學的一點認知.

1 探究教學過程簡介

首先，教師讓學生回顧上節課學習的內容，復習線面垂直的判斷定理，然后問學生，類比前面的學習順序，接下去要學習什么？學生自然想到應該學習“性質定理”，接著教師又問，是怎么樣的性質定理？對于這個問題，學生眾說紛紜，有的認為應該研究線線垂直，有的則認為面面垂直.看到回答內容有些混亂，教師就直接給出了性質定理“同垂直于同一平面的兩條直線平行”.

接下去就是定理的證明環節，首先教師讓學生把用文字語言描述的定理轉化為符號語言“已知直線a⊥平面α，直線b⊥平面α，則a//b”，然后就讓學生自主探究證明的過程.利用線面垂直的判斷定理，就很容易證明這個定理.最后，就進入了性質定理的應用環節，這也是本節課的重點強調，一節課中的三分之二時間都花在這個環節上.

筆者認為，雖然本節課進行了所謂的“探究”教學，但實際上探究的過程只留于表層，或者說探究的層次非常的淺.首先，在判斷定理的猜想環節，學生處于一種“盲猜”狀態，因為大多學生根本不知道究竟什么是性質，什么是性質定理，最后教師只能自己給出定理的內容；其次，定理證明環節，并不是學生獨立的探究發現過程，更多的是在教師引導下的一種常規證明；而且，本節課也沒有對性質定理再進一步深入的探究，而是把大量的時間花在學生習題訓練上.

2 探究教學路徑要義

數學探究目的就是引導學生以自主探索、合作交流的學習方式,使學生經歷數學知識產生、形成、展開和應用的過程,在探究中感受數學、體驗數學和理解數學,發展解決問題的策略.倘若沒有設計好探究路徑的指示牌,就會造成學生探究方向不明,探究效率低下，從而探究活動難以達到預期的效果.

對于數學探究，首先應該明確開展數學探究教學本身的總路徑，即提出問題-猜測結論-制定方案-驗證(證明)結論-應用結論.這是區分數學探究教學與常規教學的標志，是確保數學探究課具備“探究”意義的關鍵.在大路徑明確的前提下，還要進一步明確針對不同數學對象如何開展探究的基本路徑.比如，數學概念構建的路徑、推理證明的路徑、數學解題的路徑等.數學概念的建構過程是按照“背景—概念—性質—應用”；解題探究的過程是按照“嘗試—碰撞-優化-應用”等過程.再進一步細化，還需要明確研究某一個知識模塊的路徑，比如，研究立體幾何的“直觀感知-操作確認-思辨論證-度量計算”的路徑，研究向量運算的“運算背景-運算規則-運算性質-運算定律”的路徑，研究解析幾何的“幾何問題代數化，代數式子坐標化”的路徑等.繼續細化，還需明確探究某個知識點的路徑，比如，利用“圖像直觀”來研究函數性質的路徑、利用“數形結合”來研究函數零點的路徑、利用“單位圓的對稱性”來研究三角函數誘導公式的路徑.只有對研究路徑的不斷細化，數學探究的路徑才會逐步清晰，從而被納入學生的“已有經驗”中，真正實現有序探究的目的.

3 探究教學改進建議

對于“線面垂直性質定理”探究教學，其關鍵是必須明確三個問題.首先，何為性質？所謂的性質就是線面垂直的一個必要條件，即已知“直線與平面垂直”能推出什么樣的結論，但“性質”有很多，到底哪個性質才被稱為“定理”，要明確探究的第二個問題，也即“何為性質定理”.一般地，立體幾何中，性質定理的產生一般都基于兩個方面的需求.一是，解決實際問題的需求，比如，在證明線面平行時，需要在平面內找到一個直線與平面外的直線平行，但有時平面內的這條直線不好找，怎么辦？這可以從必要性的角度去分析，去找線索，即如果直線已經與平面平行了，它會具備怎樣的性質，而這個性質剛好能夠幫助找到所需要的“平面內”的直線.另一個需求就是數學知識自我完善的需求，例如，線面平行的判斷定理已經解決了從“線線平行”到“線面平行”推理，那么能不能倒推呢？如果能夠倒推，就形成了邏輯推理的“閉環”.基于這兩個方面的思考，于是線面平行的性質定理就是“已知直線平行平面，若過這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線與交線平行”，即從“線面平行”推出了“線線平行”.面面平行的性質定理也是按照這樣的邏輯進行確定的，即從“面面平行”推出“線線平行”，這就形成了針對整個空間平行關系的推理閉環.

線面垂直的性質定理也可以類比空間平行關系的性質定理的研究路徑來確定.因此，首先讓學生回顧線面平行、面面平行的判斷定理及性質定理，在明確兩個定理的功能，進一步猜想線面垂直的性質定理應該是怎樣的.但線面垂直的性質定理與前面的又有差異，因為根據線面垂直的定義，實現了由“線面垂直”到“線線垂直”的推導，根據線面垂直的判斷定理，又實現了由“線線垂直”到“線面垂直”的推導，垂直關系的推理閉環問題已經解決，這就導致線面垂直的判斷定理的確定又陷入了迷茫之中.面對這個問題，教師不妨讓學生大膽的猜想：能否建立起空間垂直關系與平行關系的聯系？如果能夠建立起來，就實現了平行與垂直關系的之間推理，這樣的性質定理也更具價值.這樣一來，線面垂直性質定理的探究路徑明確了，即從“線面垂直”推出“線線平行”.

最后要解決的是第三個問題，即性質定理的構成要素，即條件是什么，結論是什么.現在條件很清楚了，即“已知直線與平面垂直”，結論是“直線與直線平行”，當然這個命題的條件還不夠充分，需要再增加其它條件.那么應該增加什么條件？通過分析空間平行關系的性質定理的構成要素，不難發現，構成性質定理還需要引入“新的幾何對象”并賦予“新的位置關系”.現在的結論涉及到“直線與直線平行”，因此引入的新的幾何對象肯定是“直線”，至于“這條新的直線”與已知直線、已知平面的位置關系可以通過枚舉的方法進行確定.不妨設已知的直線為a，已知的平面為α，新引入的直線為b.在直線a⊥平面α的前提下，如果b∥α，a∥b成立嗎？如果b?α，a//b成立嗎？如果b⊥α，a∥b成立嗎？這樣性質定理就很容易被確定出來了.按照這樣的思路，如果引入的其它幾何對象，比如平面，通過改變其位置關系，就可以獲得更多的性質，然后讓學生判斷這些性質的真假，并進行證明或說明.這樣一來，整節課探究意義就更加明顯了.

總之，凡事預則立，不預則廢.數學探究的路徑要根據學習目標進行精心預設,從而在確保探究活動自然發生的同時，發展學生是核心素養，實現學生從“學會”到“會學”的跨越.