例談圓錐曲線中非對稱問題的處理策略

金保源

華南師范大學(xué)附屬惠陽學(xué)校 (516200)

在圓錐曲線問題中，將直線方程與曲線方程聯(lián)立后，消去x或y，得到方程再結(jié)合韋達(dá)定理來進行其它運算是常見的解題思路，但是在某些問題中可能會涉及需要計算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式.像這種“非對稱”的韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)，通常是無法根據(jù)韋達(dá)定理直接求出的，大部分學(xué)生遇到這樣的問題束手無策.本文以一道高三調(diào)研試題為例，提出了非對稱韋達(dá)問題常見的六種解決思路，供讀者參考.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓C的左、右頂點分別為A、B，點M、N是橢圓上異于A、B的不同兩點,直線BN的斜率為k(k≠0)，直線AM的斜率為3k，求證：直線MN過定點.

2 解法探究

思路1 恒等變形，化單變量

思路2 積化為和，降次處理

思路3 代入曲線，平方消元

思路4 待定系數(shù)，和差轉(zhuǎn)化

思路5 式子分離，配湊乘積

點評：對于非對稱結(jié)構(gòu)sy1+ty2+my1y2=0，可以將式子配湊成和積形式的對稱式，即

思路6 第三定義，構(gòu)造對偶

3 小結(jié)啟示

解決問題時,只有我們真正把握住問題的本質(zhì),才能真正的理解問題進而解決問題.“不對稱”憑借線性運算、作商、乘方等可變?yōu)槟軌颉爸苯印睉?yīng)用韋達(dá)的“對稱”情況，這是本文解法的思想根源.一般地，高中解幾試題中的所謂“不對稱”其實也屬于“對稱”，這是由二次曲線本身所決定的，其不對稱僅僅是代數(shù)形式上“不直接”.在教學(xué)中,教師只有從更深的角度揭露本質(zhì),才能真正讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到樂趣,開拓學(xué)生眼界,開闊學(xué)生思維,培育學(xué)生優(yōu)秀的個性,真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.