解題教學應在學生“卡殼處”下功夫

何雪冰

江蘇省江浦高級中學 (211800)

近期，筆者在高三復習中選用了一道解析幾何題，試題的難度適中，但學生們的得分情況讓人大跌眼鏡，與之前的預想大相徑庭.本文是筆者對該題教學的點滴思考，與大家分享.

1 試題呈現

(濟南市2022年1月高三學情調研檢測第22題)已知P為圓M:x2+y2-2x-15=0上一動點，點N(-1,0)，線段PN的垂直平分線交線段PM于點Q.

(1)求點Q的軌跡方程；

(2)設點Q的軌跡為曲線C，過點N作曲線C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點分別為E，F，過點N作直線EF的垂線，垂足為點H，是否存在定點G，使得|GH|為定值？若存在，求出點G的坐標；若不存在，說明理由.

2 考題分析

該題第(1)問考查橢圓的定義和簡單的平面幾何性質；該題第(2)問考查直線與橢圓的位置關系，通過對H點的分析可以發現，點H在一個定圓上，從而將問題轉化為研究直線EF經過一個定點，該定點需要自行分析問題發現，我們暫且把這種類型的問題稱為“隱藏定點”問題，這種類型的問題在高考中時常出現.本題考查學生邏輯推理能力、數學運算能力，考查方程的思想、同構的思想、轉化與化歸思想.

學生在解答此題時容易卡在以下幾點處：(1)未能預知直線EF過定點，導致無從下手；(2)已經求出點E，F坐標，但無法求出直線EF方程；(3)未能梳理清晰算理，不斷地繞彎路，導致耗時太久、解題失敗.

3.1 解法探究

3.2 “卡殼處”微探究

從學生得到的點E、F坐標出發，再做微探究得到下面解法.

既然已經預判直線EF過定點，那為何不嘗試猜想該定點呢？

評注：該解法以退為進，先利用特殊值探求定點后再去證明定點，將探索定點問題轉化為證明定值問題，從而解題有目標，證明有方向，起到了化繁為簡，減少運算之功效.華羅庚先生的“退步解題法”告訴我們：復雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.

3.3 “卡殼處”再探究

正因為直線EF難求，那為何不設而不求呢？從學生卡殼處再做微探究得到下面解法.

評注：該解法避開求直線EF的方程，利用兩條直線與橢圓相交的平等關系得到兩個同構式，由此轉化為二次方程根與系數關系，輕松求得直線EF的截距與斜率的關系，從而得到定點，大大簡化了運算與思維過程.此解法給人一種耳目一新的感覺.

4 感悟心得

在解析幾何教學中，經常遇到學生列出式子解不下去的情形，教師應該多反思平時教學時是否關注學生所需要的，是否過問學生卡殼處在哪里，是否用“顯然”、“易得”等代替引導學生挖掘卡殼點、突破卡殼點.因此，教師在解題教學中應多在學生卡殼處下功夫，多鉆研，幫助、引導學生真正解決問題，解決真問題.解析幾何中的問題探究無窮盡，需要師生堅持不懈的探索與反思！