研磨經典問題，尋根拓展提升
——以一道數學質檢試題為例

盧燕霞

福建省龍巖市教育科學研究院 (364000)

1 試題析解

(龍巖市2022年高三3月質檢第20題)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a，b，c是三個連續的正整數，且a

(1)求a；

分析：本題意圖考查解三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式，以及三角變換公式等，考查分類討論思想、函數與方程思想和轉化思想，考查邏輯推理、數學運算、數據分析和數學建模等核心素養.本題的亮點在于已知條件“C=2A”，呈現內容豐富，表現在角的動態變化過程，與正、余弦定理有關，也與二倍角公式有關，還與平幾知識有關聯；第(2)問的“順時針旋轉”也生動刻畫了角的旋轉，與角的定義產生聯系，形成新角，自然地與三角恒等變換有關聯.

圖1

(i)如圖1，sin∠CAD=

圖2

2 題根檢索

高考題的題根，或源于教材，或源于歷年真題，或源于數學名題等，從中進行改編、整合.關注試題中的題干“三個連續的正整數”、“C=2A”，可以發現該題源于往年高考試題的加工與整合，在教材中也有背景.

高考題根1 (2021年新高考全國Ⅱ第18題)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，b=a+1，c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

高考題根2 (2014年安徽高考理科第16題)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.

(1)求a的值；

教材題根:(必修5第25頁復習參考題B組第3題)研究一下，一個三角形能否具有以下兩個性質：(1)三邊是連續的三個自然數；(2)最大角是最小角的2倍.

3 拓展研磨

在研磨中，解題是師生努力的共同方向，但經典試題隱藏的價值才是真正的寶庫，其中包含了解題思想、數學方法和學科核心素養等育人價值.本文試題中出現的“倍角”，其實也隱藏著一個結論，在往年高考題中頻頻出現，含金量高，其證明過程涉及豐富的數學思想，極大整合了解三角形部分的知識與方法，具有重要的解題指導意義.

結論在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且A=2B，求證：a2-b2=bc.

分析：本題關鍵點是由角的關系轉化為邊的關系，正弦定理、余弦定理、射影定理和三角函數的定義都具備邊角的轉化關系；由A=2B可知a>b，角A可能是銳角，也可能是鈍角.

證法1：(平幾法)巧作輔助線，利用三角形相似得到比值相等獲證.

圖3

證法5：(定義法)利用三角函數的定義、點的坐標、二倍角公式推理獲證.建系往往有簡化計算量的功效，具有簡潔、優美的特點，因而通過建系寫出各頂點坐標，再建立等量關系，化簡表達式，得到命題的結論.

圖4

說明：本法實質是利用三角函數的定義；此證法是借助點坐標的不同表達，但它們是等量關系；證明過程中的bcosA=c-acosB的本質是射影定理.

4 拓展應用

倍角關系在解三角形中屬于特殊情形，但在高考題中也屢見不鮮，受到命題者的青睞.在解題中若能熟練運用上述結論，就能快速求解有關的邊、角問題，準確得到答案(選擇、填空題中尤為明顯)，這里列舉若干題，供大家參考.

真題2 (2012年天津高考理科第6題)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知8b=5c，C=2B，則cosC=( ).

說明：不僅在三角形中的倍角關系，在圓錐曲線中也有“倍角”關系，而且隱藏了動點的軌跡問題，能通過倍角得到軌跡是雙曲線.

此外，2008年四川高考卷文科第7題、2009年湖南高考卷文科第14題、2013年北京高考卷理科第15題等都屬于同類型，請讀者查閱研究.

探究已知兩定點的坐標分別為A(-1,0)，B(2,0)，動點M滿足條件∠MBA=2∠MAB，求動點M的軌跡方程.

高考真題、高質量的模擬題是最好的訓練題，是最佳的研磨素材.認真研究經典試題，有利于發現高考命題特點和命題趨勢，從中總結規律，探尋解題技巧，研究隱含的思想方法，挖掘相關的變式拓展，便于回歸教材，明確考試和復習的方向，更好地駕馭課堂，真正落實“考什么”、“怎么考”、“怎么解”、“為什么這樣解”，對培養學生分析問題、解決問題的能力，培養探究意識和批判性思維，培養學科核心素養，提升教育教學質量，都有重要的現實意義.