一道模擬試題的解法探究及推廣

丁勝鋒

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué) (527100)

圓錐曲線綜合問(wèn)題是解析幾何的核心內(nèi)容，是歷年高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)之一，也是高考復(fù)習(xí)備考難突破的難點(diǎn)之一，對(duì)于圓錐曲線綜合問(wèn)題，由于題目文字符號(hào)多且運(yùn)算量大，使得學(xué)生在解題過(guò)程中目標(biāo)性不強(qiáng)并且方法單一，得分率偏低.在高考復(fù)習(xí)備考中，我們希望學(xué)生能規(guī)范答題格式的同時(shí)，更能夠跳出問(wèn)題的本身，得到一般性結(jié)論和在解題方法上有所突破，避免由于靜止地思考問(wèn)題帶來(lái)思維的局限性和片面性.本文以一道高三模擬題為例，探求其解法和一般性結(jié)論的推廣.

圖1

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系和直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，體現(xiàn)了直線與橢圓核心內(nèi)容和圓錐曲線基本思想方法的考查.

一 多視角解析

解法1和解法2在思維上很直觀，但對(duì)運(yùn)算能力要求較高.解法3思維起點(diǎn)高，運(yùn)算量少.并且在題設(shè)條件發(fā)生變化，解法3能減少很大的運(yùn)算量.

二 性質(zhì)推廣

在問(wèn)題中1中，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，k1+k2=5.實(shí)際上，點(diǎn)M可以為橢圓上任一點(diǎn)，k1+k2可為任意常數(shù)，可得到以下結(jié)論：

圖2

證明：(1)若y0=0，不妨設(shè)M為橢圓右頂點(diǎn)，由于k1+k2=0和橢圓的對(duì)稱性，因此直線AB與y平行，所以AB與y軸同向.

上述討論是在斜率之和為常數(shù)情況下，則直線AB定向或過(guò)定點(diǎn)，實(shí)際上當(dāng)兩直線的斜率之積為常數(shù)時(shí)也有類似結(jié)論.

其證明方法與結(jié)論1證明方法類似.

以上是以橢圓為載體的斜率之和與斜率之積為常數(shù)時(shí)，直線定向或過(guò)定點(diǎn)，實(shí)際上在雙曲線和拋物線上也具有類似性質(zhì)，讀者不妨自己證明.