培養(yǎng)想象能力 發(fā)展空間觀念
——《長方體的表面積》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評與教學(xué)建議

文|王靈勇

一、習(xí)題展示

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容

下圖的長方體中擺了6 個1立方厘米的小正方體，這個長方體的表面積是（）平方厘米。

2.能力指向

史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題》一書中指出，面積是對二維空間圖形的度量。本題注重引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用空間想象能力，通過數(shù)學(xué)想象和推理，在頭腦中建構(gòu)完整的立體圖形的過程，強(qiáng)化學(xué)生獲得部分?jǐn)?shù)學(xué)信息時對它進(jìn)行深度加工，溝通一維、二維與三維空間之間的聯(lián)系，讓學(xué)生明白計算長方體的表面積需要度量出它的長、寬、高。本題注重考查學(xué)生的空間想象、幾何推理和應(yīng)用意識。

3.學(xué)情分析

測查了城區(qū)學(xué)校2 個班92名學(xué)生，鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校3 個班144 名學(xué)生，測評統(tǒng)計結(jié)果顯示大約67.8%的學(xué)生能正確完成。分析學(xué)生的解題過程，并對錯誤的學(xué)生進(jìn)行訪談，學(xué)生出現(xiàn)錯誤主要有以下原因：（1）空間觀念薄弱，沒理解題意，不能通過正方體度量出長方體的長、寬、高，尤其是寬，部分學(xué)生認(rèn)為寬是3 厘米或2 厘米；（2）對長方體表面積本質(zhì)概念沒有理解，計算能力薄弱，表面積計算錯誤。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容

人工智能時代已經(jīng)來臨，越來越多的人工智能走進(jìn)了我們的生活?！皰叩貦C(jī)器人”就是其中之一。根據(jù)統(tǒng)計，全球個人及家用服務(wù)機(jī)器人2020年銷售額約65億美元。2020年～2023年全球服務(wù)機(jī)器人銷售總額將達(dá)到345 億美元，其中個人及家用服務(wù)機(jī)器人銷售總額為274 億美元。

請為某品牌“掃地機(jī)器人”設(shè)計一個長方體包裝盒，至少要用多少紙板？（粘貼處忽略不計）

某品牌掃地機(jī)器人技術(shù)參數(shù)

2.能力指向

哈爾莫斯指出，“數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)”。通過本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用能力、長方體的表面積計算知識。某品牌掃地機(jī)器人的參數(shù)信息標(biāo)注的眾多數(shù)據(jù)形成了數(shù)據(jù)干擾，學(xué)生應(yīng)根據(jù)需要尋找有價值的數(shù)學(xué)信息，從而解決問題；其次為圓柱體設(shè)計長方體包裝盒，需要借助一定的空間想象能力，學(xué)生在解決問題的過程中頭腦經(jīng)歷了從二維平面空間向三維立體空間的轉(zhuǎn)化，真正讓學(xué)生在想象操作中培養(yǎng)空間觀念。

3.學(xué)情分析

抽樣測查了城區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校的學(xué)生，測評統(tǒng)計結(jié)果顯示大約65.8%的學(xué)生能提取有價值的數(shù)學(xué)信息，借助掃地機(jī)器人的直徑和高度數(shù)據(jù)，通過空間想象構(gòu)建出長方體包裝盒，并進(jìn)行正確計算。大約25.5%的學(xué)生不能從商品信息中提取出有效的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析整理，嘗試解決。另有大約8.7%的學(xué)生計算過程出現(xiàn)了錯誤。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容

學(xué)?？茖W(xué)創(chuàng)作小組的同學(xué)設(shè)計了一款機(jī)器零件中的電池，用棱長為1 厘米的小正方體電池拼成一個長方體電池（如下圖），后來小設(shè)計師們發(fā)現(xiàn)，如果去掉1、2、3、4、5 中的幾個小正方體電池，不僅不影響電池使用效果，還能節(jié)省資源，增大電池的接觸面（即表面積比原來增加了）可以增強(qiáng)電池性能。如果你是設(shè)計師，你覺得可以去掉哪幾個小正方形，具體有哪幾種可能？哪種表面積增加最大？可以畫一畫或者說一說你的理由。

2.能力指向

此題具有一定的開放性，學(xué)生能正確理解長方體、正方體表面積的概念，目的在于發(fā)展學(xué)生空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力。探索正方體個數(shù)與表面積兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。小正方體個數(shù)減少，表面積可能增加、也可能不變，學(xué)生能根據(jù)題意，提取有效的信息進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行有序思考，規(guī)范答題的習(xí)慣，發(fā)展幾何直觀和推理能力。

3.學(xué)情分析

根據(jù)學(xué)生解決問題的具體表現(xiàn)，劃分為四個水平層次，如表1。

表1

測評統(tǒng)計結(jié)果顯示：測試學(xué)生的水平大多集中于水平0、水平1、水平2。大約52.4%的學(xué)生能夠簡單闡述或直觀說明自己的結(jié)論，但是思考的過程比較零散，缺少整體性。大約15%的學(xué)生只作答了其中的一個問題。只有大約5%的學(xué)生能進(jìn)行有序思考，通過數(shù)形結(jié)合對比每一種方法，具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題思路。

二、教學(xué)建議

1.加強(qiáng)操作想象，豐富活動體驗，培養(yǎng)空間觀念

空間觀念對于學(xué)生來說比較抽象，要形成豐富的操作活動經(jīng)驗，還需依賴于表象。如習(xí)題1，教師在教學(xué)中需要加強(qiáng)操作體驗活動，精心準(zhǔn)備教具、學(xué)具供學(xué)生動手操作，同時可以借助多媒體———如幾何畫板的動態(tài)演示給予學(xué)生更直觀的觀察和認(rèn)識。同時教師應(yīng)注重想象和推理活動的設(shè)計，如：擺一擺小正方體活動，提供部分小正方體擺一擺（出現(xiàn)長、寬、高），為學(xué)生搭建完整的長方體架構(gòu)提供幫助。也可以設(shè)計拆一拆活動，讓學(xué)生想一想長方體中最多拆掉幾個小正方體仍然能想象出長方體原來的模樣（留下長、寬、高）。在操作體驗、觀察想象中，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察長方體的長、寬、高和小正方體之間的關(guān)系，說說自己是怎么想的，尤其是長和寬如何得到的。幫助學(xué)生加強(qiáng)對圖形內(nèi)在關(guān)系的認(rèn)知，建立正確的圖形表象，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

2.注重生活應(yīng)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

教學(xué)中需要讓學(xué)生嘗試解決一些創(chuàng)新性的習(xí)題，學(xué)生在掌握知識技能的同時，經(jīng)歷綜合運(yùn)用與想象推理的過程，特別是綜合運(yùn)用信息讀取能力、空間想象推理能力等多種能力。如習(xí)題2，教學(xué)中需加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，培養(yǎng)學(xué)生信息提取能力，綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)信息解決問題的能力。針對每個專題的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，教師向?qū)W生推薦適合本學(xué)段學(xué)生年齡特點(diǎn)的數(shù)學(xué)百科課外知識，搭建展示交流的平臺，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成邊閱讀邊思考的好習(xí)慣。復(fù)習(xí)中，注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識。針對某品牌“掃地機(jī)器人”設(shè)計長方體包裝盒，至少要用多少紙板的問題，讓學(xué)生想象包裝好以后的形狀，需要用到哪些數(shù)據(jù)。有效選擇相關(guān)的數(shù)據(jù)信息，根據(jù)數(shù)據(jù)信息想象出長方體長、寬、高。學(xué)生通過想象與說理，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

3.設(shè)計開放習(xí)題，滲透有序思維，培養(yǎng)推理能力

教學(xué)中要有意識地設(shè)計有一定思維含量的練習(xí)，讓學(xué)生體會思維的有序性與想象推理的作用。如習(xí)題3，此題是一個開放題，是長方體表面積知識的拓展運(yùn)用，探索小正方體數(shù)量與長方體表面積之間的關(guān)系。首先，用幾個規(guī)格相同的小正方體拼一拼、看一看、說一說，拼的過程中仔細(xì)觀察，小正方體個數(shù)和表面積是怎么變化的。其次，從大長方體中去掉1、2、3、4、5 中的一個小正方體，發(fā)現(xiàn)表面積和個數(shù)是怎么變化的。如：去掉第1 個時，由于在頂點(diǎn)處，減少3 個面，同時也增加3 個面，其實就是表面積不變，第5 個和第1 個同理，表面積不增加的一個個逐一排除，表面積增加的一個個羅列出來。隨后繼續(xù)探討去掉2 個、3 個、4 個、5 個的情況，過程中引導(dǎo)學(xué)生想象去掉1個正方體的方法策略，反思去掉哪幾種可以增加表面積，對之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗進(jìn)行遷移運(yùn)用。通過開放性練習(xí)，滲透有序思維，培養(yǎng)推理能力。