從“算術”到“代數”的一次教學實踐與探索
——以《用含有字母的式子表示稍復雜的數量關系和公式》教學為例

文|于元元

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第101、102 頁，練習十八第4、5 題，拓展習題。

【教學過程】

一、創設情境，提出問題

導入：同學們，苗族是一個非常有魅力的民族，他們擁有自己獨特的文化和傳統，并且一直在通過各種方式進行著傳承和傳播。今天讓我們借助互聯網云游苗寨，感受苗族的風土人情（邊講邊播放“苗寨慶豐收舉行長桌宴”的視頻）。“長桌宴”是苗族宴席的最高形式與隆重禮儀，已有幾千年的悠久歷史。

師：視頻看完了，關于“長桌宴”還有很多的數學知識（課件先出示“長桌宴”的場景圖再出示“長桌宴”幾何圖），一起來探究吧。

【設計意圖：筆者選擇利用“苗族長桌宴的視頻”導入，有三點想法：一是創設生活化的情境，有助于培養學生的應用意識，激發學生的興趣；二是利用幾何直觀來培養學生的符號意識和建模思想；三是根據對教材中例4 的設計意圖的理解，筆者對教材的“例4”進行了加工。】

二、尋找規律，探究新知

1.探究改編例題（例4）。

（1）出示題目。

課件依次出示：

提問：4 表示什么？2 表示什么？4+2 表示什么？

出示增加2 張桌子的圖片。

提問：你又發現了什么？

預設：又增加了1 張或者一共2 張。

（隨著學生的回答，補充式子）

師：如果增加3 張桌子，共坐多少人？你能寫出表達“共坐的人數”的式子嗎？你是怎樣想的？

（2）完善表格，明確關系。

增加的桌子張數123共坐的人數4+2 4+2×2 4+2×3

引導學生觀察生成的表格，討論：增加的桌子張數和共坐的人數之間是什么關系？

明確：每增加一張桌子，就要增加2 人；增加幾張桌子，共坐的人數就是4 加幾個2 的和。這就是增加的桌子張數和共坐的人數之間的關系。

師：如果增加5 張方桌，你們會表示共坐人數的式子嗎？如果增加10 張、20 張、30 張呢？

（學生口答即可）

師：現在增加的桌子數不知道具體有幾張了，取而代之的是字母a，現在你還會表示共坐的人數嗎？學生回答后教師出示完善后的表格并板書。

增加的桌子張數12 3共坐的人數4+2 4+2×24+2×3…… a…… 4+2a

板書：4＋2×a（提問：2×a 表示什么？），有更簡單的寫法嗎？（4＋2a）

【設計意圖：只有當學生對于數量關系熟悉之后，用算術表達穩定的情況下，再呈現另一種“代數”思想的表達，兩種表達便不會混淆，反而會因為“代數”思想的來臨讓算術思維變得更加深刻而自然。】

（3）小結概括，引出課題。

概括：4＋2a 不僅可以表示共坐的人數，還可以表示復雜的數量關系，這就是我們今天學習的“用含有字母的式子表示稍復雜的數量關系”（先板書課題中的一部分，后續再逐漸完善）。

提問：這里的a 可以是什么數？（鋪墊：在具體情境中，字母表示的數是有范圍的）

師：如果a＝8，共坐多少人？如果a＝15 呢？（口頭代入求值）

【設計意圖：通過這個環節引導學生理解，如果已經知道式子中的一個量，就可以通過運算得到另外一個量，從而進一步感悟可以用字母表示數量關系，讓學生初步經歷通過具體數值的計算歸納一般關系的過程。】

2.探究例5。

師：苗家人非常好客，給游客們準備了橙汁，看看這里又有什么數學問題等著我們來探究。

（1）課件出示例5。

提問：同學們，你們明白圖的意思嗎？誰來說一說它想要表達的數學信息？

交流后明確：冷水壺里有1100 毫升橙汁，倒了3 杯，每杯x毫升，還剩下一些。

（2）用字母表示數量關系。

師：你能用一個式子表示“冷水壺里還剩多少毫升橙汁嗎？”誰來說一說？

預設：1100－x－x－x、1100－（x＋x＋x）、1100－3x。

（3）引導比較。

師：這些式子都能表示剩下的橙汁嗎？它們有什么相同和不同？

小結：總量-已經倒出的量=剩下的量。

師：同樣的數量關系可以用不同的式子來表示，哪個更簡潔？

討論：這里的x 可以表示哪些數？（再次感知：在具體情境中，字母表示的數有一定的范圍）

小結：在具體的情境中，字母表示的數總是有一定范圍的。

（4）自主學習“代入求值”的書寫格式。

提問：根據你們研究得出的“1100-3x”這個式子，如果告訴你x＝250 時，你知道怎樣求冷水壺里還剩下多少毫升橙汁嗎？

師：請同學們打開課本第101頁，自學例5。

反饋收獲：通過剛才的認真閱讀，你學到了什么？

小結：字母表示的是數，結果不用帶單位；將數值代入字母式，請注意書寫格式。（等號對齊、運算順序）

（學生板演“代入求值”的書寫過程，再次強調基本方法和書寫格式）

學生自主小結（教師根據情況進行完善）：當告訴我們式子中字母的具體數值時，就可以把數代入式子，根據運算順序計算出結果，但是一定要注意書寫格式。

3.探究例6。

師：現在，讓我們繼續苗寨之旅，參觀苗寨典型的建筑——吊腳樓，這是吊腳樓的縮小平面圖（課件演示從吊腳樓實物圖片中抽象出幾何圖形的過程），它的頂部圖形是三角形。（課件出示例6的三角形圖片）

提問：三角形的面積計算公式是什么？用含有字母的式子怎樣表示？（學生自主嘗試）

活動要求：

1.平面圖的底是14 厘米，高是8.4 厘米，這個三角形的面積是多少？

2.請你先寫出計算公式，再把數值代入公式計算。

3.學生完成后指名板演，集體訂正。

（課件出示計算過程）

提問：和老師的一樣嗎？同桌互相檢查，看看哪里不一樣，如果有錯誤請你幫他指出來，最好的學習方法就是教會他人。

小結：通過這道題的學習，我們知道含有字母的式子不僅表示數量關系，還可以表示計算公式，但我們需要注意的是：字母表示的是數，這里的計算結果也表示數，所以得數后不用寫單位。

三、練習應用，鞏固新知

1.完成“練一練”第1 題。

讀題，明確題意后在表格內填寫剩下的千克數。

交流引導：匯報填寫的結果。說說你是怎樣填寫的。

提問：a－300b 表示什么意思？如果學生回答是剩下的千克數，可以追問學生還可以表示什么？

指出：用含有字母的式子表示數量關系時，就像寫算式一樣去思考，只不過是把字母看作一個數，按照題目的意思寫出含有字母的式子即可。

2.完成“練一練”第3 題。這里是教材中第一次呈現長方形周長的字母公式，要求學生把它的周長公式規范地寫下來，注意提醒學生C=2（a+b）中數字2 要寫在括號的前面。

3.練習十八的第4、5 題，用智慧功能課堂做成內置選擇題，推送給全班作答，利用數據精準定位教學，分析學生的失誤原因，相機進行學習，進而突破障礙。

四、回顧反思，總結課堂

師：同學們，我們習慣一直向前跑，其實還應該學會駐足回望，看看我們走過的足跡，有哪些反思和收獲，汲取了哪些經驗，現在我們一起回望走過的足跡。

師：以后我們還會學到很多代數的知識，老師希望大家都能像數學家韋達一樣，做一個勤于思考、勇于探索的人，做一個善于用數學知識和思維去解決問題的人。

【設計意圖：課堂小結不僅要著眼于知識，還要著眼于獲取知識過程中的收獲和體會，突出學生探索過程的意義和價值。曹培英老師說：“教師有意滲透解決問題的思想方法是重于知識本身的。”】

五、反饋應用，設置作業

拓展題：

1.隨著鄉村振興事業的發展，來苗寨旅行的人越來越多，根據我們發現的規律，如果有100 人參加長桌宴，你知道需要多少張方桌拼成一行長桌嗎？

增加的桌子張數12 3共坐的人數4+2 4+2×24+2×3…… a…… 4+2a

2.思考：如果一共有a 張方桌，你能找到表達長桌共坐人數的另外一種含有字母的式子嗎？

【設計意圖：小學生數學建模思想的培養，可以充分利用幾何直觀，在交流過程中對學生進行語言能力的培養。通過示意圖，學生可以得到很多變式的數量關系。例如：總人數=方桌一共的張數×2+4，方桌一共的張數=（總人數-4）÷2等，此環節試圖通過現實情境和幾何直觀來激發學生生活經驗與視覺觀察能力，達到數學建模和符號意識雙重培養的目的。】