理想氣體壓強公式推導方法的優化

方德龍

南京工程學院數理學院 江蘇南京 211167

在大學物理教學內容中，氣體動理論第一次將研究對象的數量拓展到無法窮盡的地步。雖然每一個粒子的運動幾乎隨機而不可預測，但是龐大的粒子體系卻呈現出明顯的統計規律性。合理地利用統計規律是掌握氣體動理論的關鍵。理想氣體壓強公式是氣體動理論的一個基本方程[1-4]，它建立了宏觀量和微觀量之間的連接。其推導過程是一次牛頓力學與統計規律的結合，通過壓強公式的推導可以加強統計概念、統計規律的學習，深入認識壓強的實質，并有利于同學們從機械世界觀過渡到概率的世界觀。

理想氣體壓強公式的推導并不是一個新鮮的問題，很多學者都做了研究和拓展。有的把長方體容器拓展到其他形狀[5]，有的考慮了氣體分子的速率分布律[6-7]，有的通過添加假設做了簡化推導[1，8-10]。筆者在工科物理教學過程中發現，即便是對于教材中常規的推導方法，很多同學掌握起來也有困難。眾所周知，理想氣體壓強公式的推導過程中涉及的算式并不多，之所以還需要作簡化推導，是因為文字描述比較多，很容易缺乏邏輯連貫性以及產生理解上的偏差。因此筆者通過吸取同學們反饋的意見，針對同學們的理解困難點，重新梳理并優化了教材中的推導方法，以及提出圖解法，以期能夠讓同學們更容易掌握理想氣體壓強公式的推導方法，并更直觀地感受大量粒子的統計規律。

1 問題描述和難點分析

假設有一邊長分別為lx、ly和lz的長方形容器，其中含有N個同類理想氣體分子，每個分子的質量均為m。以器壁A1為例，求在平衡狀態時，氣體對A1面的壓強。

圖1 理想氣體壓強公式的推導

以任意一個氣體分子i為研究對象，其x軸方向上的速度分量為vix，在與A1壁的一次完全彈性碰撞前后，其動量改變了2mvix，則根據動量定理有：

(1)

以上內容是同學們易于理解的，但接下來伴隨著沖量和平均作用力的引入，很多同學產生了理解上的困惑。為此，文章首先重溫一遍沖量和平均作用力的概念。

2 沖量和平均作用力

(2)

這是很多教材引入平均作用力的方式，其中Δt一般取為碰撞前后的時間差，此時對應的平均沖力同學們很容易理解其物理意義。但是一旦把Δt拓寬到碰撞時間以外，同學們就會困惑：兩個物體都沒有接觸，這樣求出來的平均作用力有什么物理意義？憑什么還可以依照這個公式求？為此，作者認為有必要重新回顧一下平均作用力的概念。數學上，函數f在區間(a，b)的平均值被定義為：

(3)

應用到力F在時間區間(t1，t2)上的平均值即為：

(4)

3 通過平均作用力求解

在理想氣體模型中，單個分子與容器壁的碰撞可以認為是周期性的。我們要求的應是長期的平均作用力，因此平均區間就應該選取周期的整數倍，最簡單地，選擇一個周期：

(5)

(6)

聯立(5)、(6)式得出：

(7)

以上是以一個周期為研究對象，而周期不僅僅是微觀上的一個時間段，還是描述整個事件的一個系統參數，與之對應的另一個系統參數是頻率，它描述單位時間碰撞的次數。因此我們還可以以單位時間為研究對象，此時(5)式變為：

(8)

也就是說單位時間內的沖量大小就等于平均作用力，那么應該選擇哪一段單位時間為研究對象呢？微觀上，室溫下的氣體分子的平均運動速率約為每秒幾百米，在一個長一米的容器內，理想氣體分子一秒鐘其實已經與容器壁碰撞了上百次。所以任意選取一段單位時間，其碰撞次數是差別不大的。但是僅認識到這一點還不夠，更應該認識到我們要求的是長期的平均作用力。因此單位時間的碰撞次數不應該是任意選取的，而應該是長期的統計平均值，實際上就是整個事件的頻率。一次碰撞產生的沖量為2mvix，所以平均作用力為：

(9)

兩種方法求出的平均作用力顯然是一樣的，所有氣體分子的總平均作用力為：

(10)

由于A1壁的面積為lylz，所以氣體的壓強為：

(11)

對大量氣體分子而言，熱運動在每個方向上是均一的，因此有

(12)

所以

(13)

這就是理想氣體壓強公式，它是氣體動理論的基本公式之一。壓強公式把壓強這個宏觀量與分子運動速率這個微觀量聯系起來，從而揭示了壓強的微觀本質和統計意義。

4 通過圖解法求解

圖2 圖解法求解壓強

下面我們繼續從圖2出發求解合力F。合力F也就是把所有的Fi-t曲線與橫軸包圍的面積求和后再鋪滿橫軸得到的縱軸值，為此我們可以先把每一個Fi-t曲線與橫軸包圍的面積鋪滿橫軸，再將對應的縱軸值相加。對于任意一個Fi-t曲線與橫軸包圍的面積我們可以如圖3所示鋪滿橫軸，單次碰撞過程的Fi-t曲線與橫軸包圍的面積剛好就是一次碰撞所產生的沖量。由此可見每次碰撞的F-t曲線形狀并不重要，在動量定理的約束之下，它與橫軸包圍的面積不會變，那么對結果就沒有影響。將該部分面積平鋪在一個周期里對應的縱軸值顯然為：

(14)

圖3 Fi-t曲線與橫軸包圍的面積鋪滿橫軸

結語

兩種方法各有優劣，圖解法較為直觀，但思路不夠簡潔；常規方法中以一個周期為研究對象較以單位時間為研究對象更直觀一些，它們都較大程度地依賴于同學們對動量定理中平均作用力以及長期平均作用力的理解。筆者在工科教學實踐中發現，如果直接介紹以單位時間為研究對象的常規方法，很多同學難以接受。如果在介紹常規方法之前，先重溫一遍沖量和平均作用力的概念，必要時輔以圖解法，效果會好很多。最后要說明的是，圖解法雖然沒有提及平均作用力，但其求解過程其實已經反映了平均作用力的思想。對于物理相關專業學生來說，掌握更抽象、更凝練的常規方法還是有必要的，圖解法可以作為理解長期平均作用力和大量粒子統計規律的輔助工具。