基于二元衍射的光譜共焦顯微位移測量

阮昊洋， 李加福， 白嫻靚， 杜 華， 羅明哲， 胡佳成

(1. 中國計量大學計量測試工程學院，浙江 杭州 310018; 2. 中國計量科學研究院，北京 100029;3. 北京國科軍友工程咨詢公司，北京 100086)

0 引 言

光譜共焦顯微測量方法是共焦測量的一個重要分支，它幾乎適用于任何反射率樣品的測量，尤其可以實現單點實時測量。從這個角度來看，光譜共焦顯微測量優于其他高精度三維測量方法，如白光干涉測量。通常光譜共焦顯微系統需要高成本、具有線性色散特性的多折射透鏡組成的復雜物鏡。為了實現透明薄膜或者復雜工件內部凹陷不平整等非常規工作環境的檢測，朱萬彬等[1]設計了不同的色散透鏡組，實現了不同精度的微小位移測量。他們將光源用復色光代替，光源經過半透半反射鏡和色散透鏡組后聚焦在像面上并形成虛像，入射光遇到像平面上放置的物體后發生反射，反射光再次經過色散透鏡組、半透半反射鏡和小孔后，由光譜儀將其接收。通過光譜儀分析兩次峰值波長的差值來計算微小位移值。此方法相較于傳統非接觸式測量方法，精度和軸向分辨率得到了提高[2]，然而在設計色散透鏡組時，如果色散線性度較差，就會使測量精度降低[3]。并且優化過程中要使球差盡可能小，特別是要降低軸向球差對測量精度的影響；還要減小單色像差和點擴展函數的半峰全寬（FWMH）等[4]。優化過程中對球差、透鏡口徑大小、彌散斑、像方和物方孔徑角等因素的調控不是獨立的[5]，要綜合起來分析才能得到色散透鏡結構的最優解，這使設計難度大大提高。

近年來，經典二元衍射光學元件的超聚焦和納米成像受到了廣泛的關注，其在原子光學、共焦成像、X射線納米顯微鏡、全息顯微鏡等領域有多種應用。二元衍射元件的特殊性包括明顯的線性色散特性和高NA（數值孔徑）的單焦點。Park Hyo Mi等[6]設計出一種基于商用幾何相位透鏡的二元共焦傳感器，該傳感器一方面核心組件有很大的不同，色散聚焦元件是一種超構透鏡，并且是偏振敏感的，其諧振單元基本在亞波長尺度上；另一方面，利用矢量角譜理論來選擇最合適的線性色散區域，可以精確地確定每個偏移焦平面上的焦斑分布以及照明波長的上下限。

為此提出一種基于二元衍射的光譜共焦顯微位移測量方法。該方法引入二元衍射透鏡代替一般的色散透鏡組，通過理論分析建立數學模型，仿真和實驗結果均表明，二元衍射透鏡實現了入射光線的軸向色散，不同波長的光聚焦在光軸上的不同位置，色散現象顯著。二元衍射透鏡與放大倍數更高的顯微鏡組合進行測量，在提高了系統的軸向分辨率同時提高了系統的測量精度，且二元衍射透鏡的性能良好，結構簡單、易于實現。

1 基本原理與測量裝置

1.1 光譜共焦位移測量原理

光譜共焦位移測量是利用光學色散原理，對光譜儀對檢測到的信號進行處理，提取峰值波長，從而建立波長與位移之間的關系還原出位移。光譜共焦系統如圖1所示，整個系統由白光光源、分光棱鏡、光譜儀、共焦小孔、色散物鏡和準直鏡組成。白光光源發出的光經針孔可以近似看成點光源，經過準直和色散物鏡后，因位置色差被聚焦在光軸上的不同位置，形成連續的單色光焦點，且每一個單色光焦點到被測物體的距離都不同。當被測樣品處于復色光束聚焦范圍之內時[7]，只有某一波長的光聚焦在被測面上，該波長的光由于滿足共焦條件，可以從被測物表面反射回共焦小孔并進入光譜儀，而其他波長的光在被測物面表面處于離焦狀態，反射回的光被阻擋在共焦小孔以外，所以大部分光線無法進入光譜儀。通過光譜儀解碼得到出射信號光強最大處的波長值，即峰值波長。峰值波長與位移一一映射，我們可以通過標定得到波長與位移的對應關系，測量時通過計算出射信號的峰值波長得到被測表面的位移。該系統具有良好的抗干擾能力，損耗低，重量輕，可以適應多種被測表面的特性[8]。

圖1 光譜共焦位移傳感系統原理

1.2 二元色散鏡理論分析及制備

菲涅爾波帶片是一種二元衍射光學元件[9]，其每個環的半徑坐標可用rn定義，相鄰波帶的光程差為λ/2。如圖2所示，第n波帶的半徑rn為：

圖2 二元色散鏡軸向圖和側視圖

式中：f——主焦距；

n——總環數；

λ——設計波長。

設計波長λ為：

式中：λ0——照明波長；

η——介質折射率。

菲涅爾波帶片的有效數值孔徑NAeff為：

式中：α為最大對焦半角，且滿足tanα=rn/f。因此，菲涅爾波帶片的直徑為：

對于二元相位型菲涅爾波帶片，當rn為奇數時，傳輸函數t(r)=1；當rn為偶數時，傳輸函數t(r)=-1。在標量衍射理論下，主焦點的橫向尺寸(半最大值時全寬，半高寬)可以計算為：

同時，根據標量衍射理論和瑞利準則[10]，將真空中二元相位型菲涅爾波帶片的橫向空間分辨率簡化：

式中，Δr=rn-rn-1為最外層環空的徑向寬度。橫向空間分辨率僅由一個結構參數Δr決定。應該注意的是，方程(5)和(6)，只適用于低NA的菲涅爾波帶片，極化的影響可以忽略。當有效數值孔徑變大(如NAeff＞0.4)時，由多級衍射光束構成的二次焦點消失，只剩下一個主焦點。潛在的原因被清楚地揭示出來，由于退化因子的差異，高NA的菲涅爾波帶片與相同數值孔徑的精細校正物鏡相比，更容易獲得超分辨率聚焦。然而，受目前微加工技術的限制，在可接受的加工成本范圍內，只能在可見光波段制備高NA小型菲涅爾波帶片或低NA大型菲涅爾波帶片。

通常對于菲涅爾波帶片，照明波長等于或接近設計波長。然而，當照明波長偏離設計波長時，菲涅爾波帶片會發生明顯的色散。在一定的波長范圍內，軸向色散曲線為負且接近線性。根據低NA菲涅爾波帶片的色散聚焦特性，用矢量角譜理論可精確計算其電場強度分布，但實際成像和測量過程很少受到偏振的影響，特別是在低NA光學系統下。其原因是縱向偏振分量EZ不能通過低NA光學系統傳播。從矢量角譜理論可以得到菲涅爾波帶片后任意平面上的三維光場分布。

當照明波長偏離設計波長時，在標量衍射理論的框架下，可以定性地計算出菲涅爾波帶片的焦距變化范圍：

式中，Δλ和Δf分別表示照明波長和焦距的變化。根據式(7)可計算其近似色散范圍。

二元衍射透鏡是用氮化硅在玻璃基板上制備的。為了提高基材的透光率，通過交替涂覆四層五氧化二鈦和二氧化硅來實現增透涂層。在400～900 nm的波長范圍內，通過式(7)計算可得線性色散范圍為0.879 mm。測量的反射率小于0.5%。然后通過標準的光刻工藝來制備二元衍射透鏡。根據中心波長588 nm計算得到氮化硅的刻蝕深度為293 nm(λ=n·d，其中n為折射率 2.008)，因此相鄰區域之間的相位差為180°，以最大化焦強度。

2 仿真分析

通過ZEMAX軟件對上述二元衍射透鏡進行仿真分析。設置入瞳直徑為30 mm，設計波長選擇F、D、C可見光波長分別為 486 nm，588 nm和656 nm，其中主波長設為588 nm。系統設計焦距為50 mm，二元透鏡衍射級次設為1，歸一化半徑為15 mm，二次項系數與四次項系數均設為變量進行優化處理，具體結構參數如表1所示。仿真光路圖如圖3所示。

表1 二元色散鏡仿真參數

圖3 二元透鏡仿真光路圖

由優化結果可知，該二元透鏡的軸向色散范圍為881.8 μm，線性度良好，與(7)式計算的理論值相當。具體的波長與聚焦位置的對應關系如圖4所示。

圖4 二元色散鏡波長與焦移的關系

由于二元衍射透鏡上各點的聚光能力不同，從無窮遠處來的平行光線在理論上應該會聚在焦點上，但是由于近軸光線與遠軸光線的會聚點不一致，會聚光線并不是形成一個點，而是一個以光軸為中心對稱的彌散圓，因此就形成了球差。仿真結果對軸向球差進行了校正，如圖5所示為F、D、C三色波長的軸向球差，其中設計波長處的軸向球差校正良好。

圖5 軸向球差

利用點列圖評估系統的像差情況，物方的點通過光學系統，實際并不能形成完美像點，而是形成彌散斑，彌散斑的大小是評價光學系統好壞的標準。如圖6所示，設計波長焦點處的RMS半徑為0.309 μm，彌散斑直徑小于艾里斑直徑，像差基本校正到了衍射極限。

圖6 設計波長離焦點列圖

3 數據處理

準確的提取出光譜信號中的峰值波長是整個二元系統數據處理中重要的一環。從白光光源發出的復色光在經過二元鏡和顯微鏡最終反射回光譜儀被采集的過程中會產生各種噪聲，如光譜儀噪聲、光源噪聲等，這些噪聲會影響光譜信號的形狀甚至降低峰值波長的提取準確性。因此需要對光譜信號進行預處理后[11]再采取適當的算法進行峰值波長的提取。

首先需要對由二元透鏡內部光學表面和光纖耦合器端面反射回來的雜散光等組成的暗信號進行處理。處理的方法是將二元鏡頭用深色遮擋板擋住，使得光譜儀采集到的信號只有暗信號。此后的測量過程中光譜儀采集到的光譜信號都需要刪減掉暗信號的增量，從而獲得測量所需的光譜信號。在對光譜信號去除暗信號操作后，對光譜信號中的每一個數據都除以對應的光源光譜光強的最大值，實現光譜特性歸一化處理[12]來避免光譜光強峰值大小的變化和光譜光強曲線的峰值波長的微小偏移所產生的系統誤差，圖7為被測物在不同位置時的光譜光強歸一化分布。

圖7 被測物在不同位置時的光譜光強分布

同時整個系統在各個環節都會產生隨機噪聲，通過中值濾波[13]能夠有效濾除噪聲，并且算法簡單，中值濾波的算法為：

式中：x1,x2,x3· ··xn——窗口數據點；

y1,y2,y3· ··yn——從小到大排列后的數據點形式。

經過上述信號預處理后，采用加權質心算法[14]對峰值波長的提取才是準確的。該方法增大了光強大的點在確定峰值波長時的權重，光強大的點離峰值中心也越近，信噪比也較高，從而對峰值波長提取影響力進一步加大，精度得到提升。其公式可表述為：

式中：xc——質心位置；

n——序列總個數；

λi與Ii——光譜序列與對應的光強序列。

4 實驗分析

4.1 實驗裝置

在光學平臺上完成了對二元顯微位移測量系統的搭建，如圖8所示，它由白光LED光源、光譜儀、二元衍射透鏡、顯微物鏡、光纖耦合器和納米位移臺等組成。

圖8 二元色散光譜共焦測距實物圖

實驗所用光源波長范圍為400～900 nm，光譜儀的分辨率為0.2 nm，采用直徑為400 μm的多模光纖。二元衍射透鏡設計波長λ0為588 nm，設計焦距fc為50 mm，線性色散范圍為0.879 mm。顯微物鏡放大倍數分別為 50×和 100×，工作距離為0.38 mm和0.21 mm。所用PI納米位移臺的分辨率可達0.1 nm，重復精度±1 nm，線性誤差為0.02%。

4.2 標定擬合誤差及重復性

被測物選擇標準量塊，分別選擇放大倍數為50×和100×的顯微物鏡與二元衍射透鏡進行組合，對整個系統用PI納米位移臺進行標定和測量。標定開始前，將標準量塊固定在納米位移臺上，并將其移動到某一位置作為標定的起始位置，將納米位移臺的讀數清零。標定開始時，使納米位移臺沿著軸向運動，對于放大倍數為50×和100×的顯微物鏡組合系統，測量范圍分別為100 μm和40 μm，納米位移臺每次步進距離分別為4 μm和2 μm，對每個標定點均進行3次信息采集，每次保存光譜儀的數據和納米位移臺位移值。兩組標定過程所采集的標定點的個數分別為25個和20個。隨后，對每個測量點3次平均后的峰值波長和納米位移臺位移值進行曲線擬合，從而獲得峰值波長和位移的關系曲線。圖9為經過六次多項式擬合[15]后的擬合曲線結果，選用 50×物鏡在 400～900 nm波段對應的位移為100 μm，具體表達式為：

圖9 標定擬合結果

選用100×物鏡在400～900 nm波段對應的位移為40 μm，具體表達式為：

每個標定點的擬合誤差如圖10所示，其中50×物鏡的測量系統最大擬合誤差為0.090 5 μm，平均擬合誤差為0.039 3 μm。100×物鏡的測量系統最大擬合誤差為0.088 9 μm，平均擬合誤差為0.034 9 μm。

圖10 擬合誤差

系統的重復性結果如表2所示，對于50×物鏡的測量系統，25個標定點的3次測量的平均峰值波長用表示，表示平均峰值波長偏差，表示對應的平均位移偏差，由表可知，峰值波長的最大偏差值為0.378nm，總平均波長偏差值為0.177nm，對應的總平均位移偏差值為0.058 7μm。對于100×物鏡的測量系統，20個標定點的3次測量的平均峰值波長用表示，表示平均峰值波長偏差，表示對應的平均位移偏差，由表可知，峰值波長的最大偏差值為0.244 nm，總平均波長偏差值為0.130 nm，對應的總平均位移偏差值為0.043 5 μm。

表2 系統重復性結果

4.3 測量誤差及軸向分辨率

更換被測量塊，對50×物鏡系統進行全量程范圍內的三次測量，測量范圍100 μm，測量起始點處的平均峰值波長為406.949 nm，測量結束點處的平均峰值波長為687.072 nm，納米位移臺和光譜儀記錄25個測量點的數據。將光譜儀的數據進行處理計算出峰值波長代入(10)式求得位移，隨后計算與納米位移臺位移的偏差值，如圖11所示，橫坐標為納米位移臺位移值，縱坐標為偏差值。由圖知，測量誤差最大為0.217 μm，平均偏差值為0.068 8 μm。隨后更換100×物鏡，對同一被測件進行實驗，測量范圍為40 μm，測量起始點處的平均峰值波長為432.453 nm，測量結束點處的平均峰值波長為806.963 nm，納米位移臺和光譜儀記錄20個測量點的數據，最終得到測量誤差最大為0.112 μm，平均偏差值為 0.046 2 μm。

圖11 系統測量誤差

由上述實驗結果可知，采用100×顯微物鏡和二元衍射透鏡搭建的位移系統測量精度更高，對此系統進行軸向分辨率測試，更換被測量塊，分別以0.2 μm、0.4 μm、0.8 μm、1 μm 為步距對被測物進行5次往復步距運動，每次移動后采集光譜響應曲線10次，根據式(11)計算相對位移。實驗表明，由于環境等因素的影響，當步距為0.2 μm時，納米位移臺的示值變化范圍達0.04 μm，由圖12知，系統的軸向分辨率優于0.2 μm。

圖12 系統軸向分辨率

5 結束語

本文基于光譜共焦位移測量原理，提出了一種基于二元衍射的光譜共焦顯微位移測量方法。利用矢量角譜理論精確計算了二元衍射透鏡的色散聚焦特性，采用標準光刻技術制作了二元鏡，并用仿真軟件對二元衍射透鏡的結構和色散特性進行分析，得到其軸向色散特性較好，像差較小。在上述基礎上對測量系統進行了搭建，采用合適的數據處理方法建立了峰值波長和位移之間的關系，由實驗結果可知，在400～900 nm光譜范圍內，50×顯微物鏡和二元衍射透鏡搭建的系統的測量范圍為100 μm，平均測量精度達到0.068 8 μm；100×顯微物鏡和二元衍射透鏡搭建的系統的測量范圍為40 μm，平均測量精度達到0.046 2 μm。選用100×顯微物鏡的位移測量系統能達到更高的測量精度，且系統的軸向分辨率優于0.2 μm。該測量系統可廣泛應用于原子光學、共焦成像、全息顯微鏡等多領域，在工程領域具有很高的應用價值。