小學階段“尺規(guī)作圖”功能定位、內容邏輯及教學建議

劉加霞

【編者按】在傳統(tǒng)觀念里，利用圓規(guī)與無刻度直尺開展的尺規(guī)作圖直到中學階段才會出現(xiàn)。但《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在第二學段的“內容要求”中便提出“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”，正式將與尺規(guī)作圖有關的內容前置到小學階段，這對于教師教學是一個不小的挑戰(zhàn)。尺規(guī)作圖在小學階段出現(xiàn)有何深意？需要在哪些方面加以落實？對于學生幾何直觀、推理意識等素養(yǎng)的提升作用如何顯現(xiàn)等，這些問題都值得大家展開探討。

【摘 要】在小學數(shù)學課程中，整體設計與有效實現(xiàn)“尺規(guī)作圖”的育人價值首先要厘清它的功能定位、邏輯層次，然后再基于小學生的認知需求與難點，創(chuàng)設能夠引發(fā)學生思考的問題情境，教師適時并恰當?shù)厥痉蹲鲌D。

【關鍵詞】尺規(guī)作圖 功能定位 內容邏輯 教學建議

一、小學階段增加尺規(guī)作圖的功能定位

雖然尺規(guī)作圖的實質并不在畫圖，而是一種嚴格的邏輯分析與論證的鍛煉與修養(yǎng)”［1］，但在小學階段尺規(guī)作圖的目標定位并不在于此。《義務教育數(shù)學課程標準》（以下簡稱《課程標準》）中小學階段的“用直尺和圓規(guī)作圖”內容不同于歐幾里得《幾何原本》中的尺規(guī)作圖。《幾何原本》是以五條“作圖公法”為基礎，每一步都必須以定義、公設或已被證明的命題為依據(jù)進行。尺規(guī)作圖一直是構建幾何學演繹體系的基礎，是認識幾何概念及其關系的基礎，但需要重新審視該內容在小學課程中的功能定位。

1.提供了認識圖形的新途徑，把握圖形的本質特征。

尺規(guī)作圖為小學生認識幾何圖形提供了另一條路徑。認識圖形的特征主要有兩種途徑：靜態(tài)抽象、動態(tài)畫圖。圖形的認識主要是對圖形的抽象［2］，即學生經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，是從整體感知的角度抽象并認識圖形的特征與關系。認識圖形還可以從要素構成角度，經(jīng)歷圖形的邊與角的動態(tài)生成過程。例如，認識“圓”，可以對圓形實物進行靜態(tài)抽象（描出圓形實物的輪廓形成圓），再折疊圓形紙片感悟圓的“萬能對稱性”；也可以用標準或非標準圓規(guī)（甚至只用直尺）在畫圓過程中經(jīng)歷圓的生成過程，感悟“圓，一中同長”這一本質。兩種途徑都能把握圓的本質與特征。小學階段所學圖形主要通過靜態(tài)抽象、直觀操作（例如折疊、測量）實物來認識，較為符合學生的認知特點。但作（畫）圖的過程能讓學生經(jīng)歷由“點”到“線”，再到“圖形”的全過程，這一過程往往揭示圖形的本質特征，動態(tài)畫圖也是小學生認識圖形的重要渠道。

通過尺規(guī)作圖的學習，學生不僅更深刻地認識圖形特征，更是培養(yǎng)他們幾何直觀、空間觀念、推理意識的重要載體。對很多學生來說，看似簡單的尺規(guī)作圖在實際操作過程中存在難度，需要他們具備較強的空間想象能力與推理能力。正因為“有難度”才更能激發(fā)學生強烈的探究愿望，但不排除部分學生因“不知從哪兒入手作圖”“沒有強烈的作圖動機”而放棄思考與完成作圖任務，育人目標難以實現(xiàn)。

2.初步認識尺規(guī)的基本功能，促進構造性思維的發(fā)展。

幾何作圖是將想象的幾何概念構造（存在性）出來的基本途徑。作圖的過程實質是“構圖”的過程：首先構造出圖形的核心要素“點”與“線”。例如，學生在用尺規(guī)畫等長線段的過程中，逐步理解作圖的根本，初步感悟“構圖”的基本要素：“規(guī)”的核心是能構造出無數(shù)條“看不見”的、共用同一個端點的等長線段。“看得見”的是圓規(guī)的針尖確定不動的圓心，“帶鉛筆”的一腳確定無數(shù)個到圓心距離都相等的點，“點動形成弧線”。“尺”的核心是把兩點連起來構成線段，其背后的道理是線段的長度是由兩個端點的距離決定的，將抽象的“距離”可視化為有長度的“線段”。尺規(guī)作圖的本質就是“找到兩點”再連線，即可作出滿足要求的線段或圖形。

尺規(guī)作圖讓學生經(jīng)歷幾何圖形的從“無”到“有”的構造過程，形成認識的視覺過程，建立相應的幾何表象與空間知覺等，都有助于學生認識圖形的組成元素及其位置關系，對圖形的結構特征形成直觀感知與理解，探究并發(fā)現(xiàn)圖形各要素之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的幾何直觀與空間觀念，體現(xiàn)出構造性思維，為邏輯推理積累經(jīng)驗。

3.滲透并讓學生初步感悟數(shù)學精神的力量。

歐幾里得幾何建立了最簡單、最直觀、最能為學生所接受的數(shù)學模型：點、線、面、三角形、圓，又能讓學生通過操作尺規(guī)親身體驗數(shù)學推理的力量。柏拉圖認為直線和圓是最簡潔、最清楚的圖形，因此只有直線、圓以及由它們得出的圖形才是最清楚的；直線和圓的對稱性反映了部分與部分之間的統(tǒng)一性，而將這種統(tǒng)一性推而廣之，便可探尋到整個宇宙的奧秘［3］，看似簡單的尺規(guī)作圖蘊含著幾何學的精髓。

以“尺規(guī)作圖活動育德”應該指的是智者的，與理想、信念、行動相關的，令世人稱頌并仿效的那些閃爍著人倫光輝的事跡。［4］教學中，教師可通過講故事的方式介紹古希臘數(shù)學家以及《幾何原本》，讓學生感受其中的尺規(guī)作圖竟會如此嚴謹，像古希臘“三大不能”作圖問題竟然不能用尺規(guī)作圖解決。初步感知這些富于挑戰(zhàn)性的問題是促進數(shù)學發(fā)展的動力，感悟數(shù)學家們不畏困難、不言放棄的探究精神，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極情感。作為數(shù)學文化啟蒙的載體，尺規(guī)作圖對數(shù)學學科的發(fā)展價值，以及它所蘊含的數(shù)學美學價值、數(shù)學理性精神等應該盡早在教學中滲透，讓學生初步感悟數(shù)學來源于生活也超越生活，數(shù)學是一種精神力量。

二、小學階段尺規(guī)作圖內容的邏輯層次

《課程標準》要求的尺規(guī)作圖共有19處，分為基本作圖與復合作圖，有16處的尺規(guī)作圖源自《幾何原本》［5］，其中基本作圖有5個，復合作圖是有限次地運用基本作圖方法作出其他圖形。小學階段的作圖內容較少，但由于是第一次進入小學，需要首先弄清楚其內容的邏輯層次與作圖本質。

1.小學階段尺規(guī)作圖的內容及其邏輯層次。

在小學階段，“用直尺和圓規(guī)作圖”主要包括：（1）作一條線段等于已知線段（感知線段長度與兩點間距離的關系，增強幾何直觀。（2）將三角形的三條邊畫到一條直線上（直觀感受三角形的周長）。（3）作三角形，直觀感受三角形中任意兩邊之和大于第三邊。

這三個作圖內容可以分為兩類：第一類是“作等長線段”，通過作圖認識三角形周長是其簡單運用，屬于基本作圖內容。第二類是“已知三條線段，作三角形”，即給出幾組線段（每組三條），有的能構成三角形，有的不能，能構成三角形的要用直尺和圓規(guī)畫出來，該任務屬于復合作圖內容。通過作圖“理性地”認識圖形的周長與三角形的三邊關系。作圖任務比“度量邊長再相加（或用線圍一圍再測量線的長度）”“拼擺三根小棒”等直觀操作活動更抽象，但尋找“點”的過程充滿探究意蘊。第二類作圖能凸顯尺規(guī)作圖的本質：用圓規(guī)尋找滿足條件的兩點，用直尺連接兩點形成滿足條件的圖形。它比直觀操作任務難很多，也比第一類作圖任務更難。

2.《課程標準》中的“作等長線段”與《幾何原本》相關命題的差異。

小學階段的“作與已知線段等長的線段”，無論是“過已知一點作等長線段”，還是“已知兩條不等長的線段，在較長的線段上取與較短線段等長的線段”，其作圖內容與方法跟《幾何原本》第一卷命題1.2、命題1.3都不同。小學階段的“作等長線段”是在已知直線上“截取”線段，即已存在直線，在其上用圓規(guī)截取與已知線段等長的線段。該作圖任務表面上好像是命題1.3，但作圖方法并不相同。《課程標準》中對“作等長線段”的內容表述與作法較為簡單且直觀：根據(jù)《幾何原本》公理4確保了圓規(guī)兩腳間的距離等于已知線段a的長度，根據(jù)公設3作圓，再根據(jù)作圖公法4（線圓有交點）找到點B，線段AB即為所求。

“作等長線段”關涉《幾何原本》［6］第一卷的前三個命題。命題1.1：在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。設AB是已知有限直線，要求在AB上作一等邊三角形（作法省略）。命題1.2：由一個已知點（作為端點）作一線段等于已知線段。設A是已知點，BC是已知線段，要求由A（作為端點）作一線段等于BC。具體作法為：（1）從點A到點B連直線（公設1）。（2）在AB上作等邊三角形ABD（命題1.1）。（3）延長DA、DB成直線DE、DF（公設2）。（4）以B為圓心，BC為距離作圓CGH（公設3）。（5）以D為圓心，DG為距離作圓GLK（公設3）。（6）由于點B為圓心，所以BC=BG；點D為圓心，所以DG=DL，而DA=DB，因此，余量AL等于余量BG（公理3）。（7）而BG=BC，因此AL、BC都等于BG，等于同量的量彼此相等，因此AL=BC（公理1）。如圖1所示。

圖1

命題1.3：已知兩條不相等的線段，試由大的上邊截取一條線段使它等于另外一條。設AB、C是兩條不相等的線段，且AB大于C，要求由較大的AB上截取一段等于C。具體作法如圖2所示。

命題1.3與《課程標準》所給方法的最大不同是：首先“根據(jù)命題1.2作出與C等長的線段AD”，然后再以A為圓心，AD為半徑作圓A（公設3）與線段AB相交于點E，AE=AD（定義15），而AD=C，所以AE=C（公理1），而《課程標準》所給方法是“簡化版”，更為直觀。

由前述分析可知，《課程標準》中的“作等長線段”不同于《幾何原本》中的作圖方法，也不同于傳統(tǒng)課程中用有刻度直尺畫出給定長度的線段。以往課程中的“畫5厘米長的線段”凸顯的仍然是“度量思想”，這條線段是由5條“1厘米線段”不改變線段方向前提下首尾相連構成的，強調直觀操作不強調推理；《課程標準》提出的作法則有較為簡單的推理成分（例如根據(jù)公設3、公理4、作圖公法4），作圖直觀易于學生理解。《幾何原本》中的作法則是嚴謹?shù)耐评磉^程，每一步操作都必須有定義、公理、公設或已知命題作為作圖依據(jù)。義務教育階段的作圖方法不能完全按照《幾何原本》。

三、小學階段落實尺規(guī)作圖育人目標的教學建議

1.創(chuàng)設有必要展開尺規(guī)作圖的問題情境。

好的問題情境是激發(fā)學生好奇心、增強探究意愿的前提。問題情境既可以是現(xiàn)實生活情境，也可以是脫離現(xiàn)實的純數(shù)學情境。例如，學習“作等長線段”時有的教師創(chuàng)設了如下情境。［7］

教師首先播放了鞏立姣在東京奧運會鉛球比賽中的錄像，引出本節(jié)課的第一個學習活動：出示三位同學投鉛球的軌跡圖和“能入選校隊的標準長度”（如圖3），請學生判斷：誰能夠達到入選校隊的標準。

學生用無刻度的直尺和圓規(guī)有多種方法解決“誰能入選校隊”問題，其關鍵步驟是用直尺或圓規(guī)“搬動”一條線段與另外的線段“重合”來比較長短，而本質就是命題1.3——在較長線段上截取較短線段。

在解決該問題過程中，學生逐步感悟圓與線段的本質。圓的本質——一中同長，進而理解為何現(xiàn)實生活中鉛球場地上畫了很多圓弧，同一圓弧到中心點的距離都相同、不同圓弧到中心點的距離不同，便于快速判斷選手的比賽成績。線段的本質——有限長度，可比較長度或累加，讓學生體會到用圓規(guī)可以將不同長度的線段“重疊”（或首尾累加），更便于比較長短（或求線段之和），進而感悟到“作等長線段”的現(xiàn)實價值和數(shù)學意義。在解決現(xiàn)實問題基礎上再進一步作圖并概要歸納作圖步驟，初步感悟這樣作圖的合理性。

小學階段尺規(guī)作圖的問題情境可以從現(xiàn)實問題導入，讓學生感悟作圖的必要性和多樣性。但是自古以來尺規(guī)作圖都是純數(shù)學問題，更要脫離現(xiàn)實情境解決純粹數(shù)學問題。例如，判斷三條邊能否構成三角形，已知三條邊畫出三角形等，讓小學生也初步感受數(shù)學來源于生活更超越現(xiàn)實生活，純粹數(shù)學問題也能吸引他們不斷探究。

2.精準把握學生作圖過程中的難點。

如前所述，尺規(guī)作圖的核心是找到滿足條件的“點”，然后“連點成線”再構成所作的目標圖，即使小學階段最為簡單的作圖也是如此。按照作圖公法的第三、四、五條可知，點產(chǎn)生于“線線相交、線圓相交、圓圓相交”，小學生作圖的難點是不知道“弧線與直線、弧線與弧線”相交成的點即是滿足條件的點。例如，在畫三角形時，學生知道以其中一條邊為底（已知兩點頂點），目標是找到三角形的另一個頂點，但學生不知道或不理解“兩弧的交點就是三角形的第三個頂點”。學生習慣用直尺畫出兩組等長線段，不斷調試來尋找“交點（頂點）”（圖4），不能直接想到分別畫兩條圓弧相交（圖5），其難點是“看不見”圓規(guī)能畫出無數(shù)條長度相等但方向不同的線段。

教學時教師要在適當時機“揭秘”（如圖6）：“看得見”的圓弧上的無數(shù)個點與圓心相連構成等長線段。例如，教學中這樣處理。［8］

師：這組同學的方法（圖5）真巧妙，借助這兩條弧讓我們一下就找到了第三個頂點。為什么當我們確定了這兩條弧的交點就確定了三角形的第三個頂點了呢？

生1：這條弧上的任意一點，到線段c的端點距離都是相等的。這條弧可以看作是這些點運動的軌跡。那這個交點就是線段a和線段b相交的位置。

生2：這條弧其實就是線段a所有的可能性，然后再把線段b也畫出來，那這兩條弧的交點就既滿足了線段a的長度又滿足了線段b的長度。

師：看來這個點可真神奇呀！同學們，比較一下這兩個小組的作品，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：我發(fā)現(xiàn)這些點連起來就是這條弧。

需要提及的是，在小學階段完全放手讓學生構思作圖、實際作圖、歸納作圖步驟非常困難，必須有教師的適當引導、啟發(fā)式追問，以及教師示范規(guī)范的作圖步驟。教材如何編寫這部分內容也很有挑戰(zhàn)性，稍有不慎就容易變成“告知作圖步驟、學生模仿作圖”的狀況，這樣便背離了《課程標準》將該內容“下放”到小學階段的初衷。如何避免“照葫蘆畫瓢”的現(xiàn)狀是教材編寫者與一線教師的挑戰(zhàn)。

3.讓學生初步體會尺規(guī)在數(shù)學發(fā)展中的價值。

在古代的生產(chǎn)、生活中，較直的樹枝就是“尺”，樹杈就是“規(guī)”，尺與規(guī)是實用性工具。加之線與圓是最基本的兩種圖形，因此，尺規(guī)能夠脫離實際、剝離實用屬性，完成一個從物或器躍升為概念的思想飛躍，使其成為《幾何原本》第一卷公設1～3的內容，以它們?yōu)榍疤嵘韶S富的、具有邏輯關系的內容，使得難以窮盡的各種間接想法得以實現(xiàn)。沒有刻度的尺和任意確定的圓或弧猶如人的左膀右臂，所畫之圖躍然平地、紙草或泥板之上，畫出來可以方便思考，不畫出來也能想出來，尺規(guī)所能，盡在腦中！［9］

歷史上罕有數(shù)學家未探究過尺規(guī)作圖，其簡便易行卻內涵豐富，能夠激發(fā)人本能的好奇心與求知欲。例如，可以給小學生講述阿基米德無懼持刀的羅馬士兵仍專注于幾何作圖，尺規(guī)作圖三大“不能問題”看似簡單卻激發(fā)無數(shù)數(shù)學家來探究并推動數(shù)學發(fā)展；講述中國古代伏羲手執(zhí)“矩”，女媧手執(zhí)“規(guī)”，用來畫圓、直線與量直角，進而演變?yōu)椤耙?guī)矩”一詞，表示行為要有規(guī)范；也可以介紹有的數(shù)學家提出運用“生銹圓規(guī)”（兩腳間固定不能叉開）仍可以完成很多作圖問題，同時介紹中國現(xiàn)代數(shù)學家的貢獻等等。

（作者單位：北京教育學院數(shù)學與科學教育學院）

［1］梅向明，周春荔.尺規(guī)作圖話古今［M］.長沙：湖南教育出版社，2000：185.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：27.

［3］向坤，寧連華.從尺規(guī)作圖看古希臘數(shù)學觀及其對教育的啟示［J］.數(shù)學教育學報，2013，22（01）：100-102.

［4］方運加.聊聊“尺規(guī)作圖”［J］.中小學數(shù)學（初中），2021（11）：4-7.

［5］駱文娟.從《原本》與“課標”談尺規(guī)作圖教學［J］.數(shù)學通報，2022，61（12）：17-21.

［6］［古希臘］歐幾里得. 幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯. 梁宗巨，張毓新，徐伯謙，校.西安：陜西科學技術出版社，2003：3-5.

［7］曹翰麟，賈福錄，范存麗等.任務導行，常思啟智——“用尺規(guī)作等長線段”教學實踐與思考［J］.小學教學（數(shù)學），2022（05）：8-10.

［8］張丹，劉延革，于國文等.尺規(guī)作圖成就思維的精彩——“畫一個三角形”教學實踐與思考［J］.小學教學（數(shù)學），2022（05）：11-13.

［9］方運加.聊聊“尺規(guī)作圖”［J］.中小學數(shù)學（初中），2021（11）：4-7.