坐標變換下平面解析系統單值軌道的不變性

郭春　黃土森

摘 要： 為了研究平面解析系統在何種坐標變換下單值軌道具有不變性，首先給出平面解析系統的軌線沿固定方向進入奇點的兩個定義，并證明了它們是等價的；其次引入判別軌線沿固定方向進入奇點的一個充要條件，得到平面解析系統在非正則變換下系統軌道可以具有不同的單值性；最后通過對平面解析系統做正則變換，證明了變換前后的系統軌線具有相同的單值性。該結果對研究平面解析系統單值軌道的不變性具有參考價值。

關鍵詞： 平面解析系統；軌線；奇點；單值性問題；正則坐標變換

中圖分類號： O175.14

文獻標志碼： A

文章編號： 1673-3851 （2023） 11-0775-09

引文格式：郭春，黃土森.坐標變換下平面解析系統單值軌道的不變性［J］. 浙江理工大學學報（自然科學），2023，49（6）：775-783.

Reference Format： GUO Chun， HUANG Tusen. Invariance of monodromic orbits of planar analytic system under coordinate transformation［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2023，49（6）：775-783.

Invariance of monodromic orbits of planar analytic system under coordinate transformation

GUO Chun， HUANG Tusen

（School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract：? In order to study the invariance of monodromic orbits under which coordinate transformation of planar analytic system， firstly， two definitions of orbits of planar analytic system entering singular point along a fixed direction are given， and they are proved to be equivalent. Secondly， a necessary and sufficient condition for discriminating that orbits enter singular point along a fixed direction is introduced， and it is obtained that the orbits for the planar analytic system and the associated system under non-regular coordinate transformation have a different monodromy. Finally， by making a regular coordinate transformation on the planar analytic system， it is proved that the orbits for the planar analytic system and the associated system have the same monodromy. The result can provide a reference for studying the invariance of monodomic orbits of planar analytic system.

Key words： planar analytic system; orbit; singular point; monodromy problem; regular coordinate transformation

0 引 言

非線性微分方程出現在應用科學的許多分支中，而中心與焦點的區分問題（簡稱中心問題或穩定性問題）是平面微分系統定性理論中尚未完全解決的經典問題之一［1］。

在中心問題中，首先要確定系統的奇點是否為單值的，即在該點的某鄰域中是否可以定義Poincar第一返回映射［2］；然后進一步確定它是中心還是焦點。對平面解析系統而言，如果有軌線進入奇點，那么只能螺旋形進入或沿固定方向進入［3］，當系統沒有軌線沿固定方向進入奇點，則該奇點只能是單值奇點。因此人們可以根據系統有無軌線沿固定方向進入奇點研究單值性問題。

當奇點的線性化矩陣不恒為零時，單值性問題已經完全解決；當線性化矩陣的特征值是一對共軛復數（本文稱這樣的奇點為簡單奇點）時，單值性問題由Poincar［4］解決；當線性化矩陣是冪零矩陣（本文稱這樣的奇點為冪零奇點）時，單值性問題由Andreev［5］解決；當線性化矩陣恒等于零（本文稱這樣的奇點為線性零奇點）時，單值性問題的研究要困難很多，目前學界仍然沒有完全解決。目前判別中心和焦點的一種常用方法是Blow-up技術［6］，它通過對這樣的系統在線性零奇點附近做一系列變量變換，把奇點變為一個不可定向曲面上的一條封閉曲線，進而只需研究其上的簡單奇點或冪零奇點，再通過反變換得到原系統線性零奇點的單值性。然而，為確定參數比較多的平面線性零奇點單值性，一方面Blow-up技術過程就會變得十分繁雜；另一方面，每一次變量變換前后兩個系統的單值性有可能發生了改變（見例1）。正因為如此，使用Blow-up技術研究線性零奇點單值性僅僅取得了部分結果［7-9］。較好的結果是Algaba等［10］給出的一種新算法，這種算法雖然繁雜，但還是能有效地確定形式比較簡單的線性零奇點的單值性。

坐標變換是研究系統奇點單值性的另外一個有力工具，其基本思想是通過坐標變換，將平面解析系統化簡為更簡單的形式，特別是可以減少系統中一些不起作用的參數的項，使得變換后的系統在形式上更為簡單，從而能更好地解決問題。例如正規形理論［11］就是一種典型的工具，它通過尋找合適的近恒等變量變換，在形式上盡可能多地消去一些不影響系統定性結構的參數，簡化系統以方便研究［12-15］。針對平面解析系統奇點單值性的判定，人們自然希望經過坐標變換，不但要把系統變得簡單，而且還應保持變換前后兩個系統的對應奇點具有相同的單值性。然而，事實并非如此：連續且可逆的坐標變換（即拓撲變換）或可微但不可逆的坐標變換（比如Blow-up技術中的變換），都可以把一個非單值奇點變為單值奇點，或反之。

本文研究平面解析系統在不同坐標變換下單值軌道的不變性。首先，用兩個實例說明系統在非正則變換下，變換前后系統的軌道的單值性是不同的；其次，在正則變換下，將變換表達式的非線性部分表示為積分形式，結合微分定義得到軌線函數的極限存在，從而證明了坐標變換是正則時，能夠實現經過坐標變換，使得變換前與變換后的兩個系統的對應奇點具有相同的單值性，這為中心焦點的判別問題提供了一定的理論依據。

3 結 語

本文研究了平面解析系統的單值軌道的不變性問題。若系統是解析的但坐標變換是拓撲的或是（非可逆）可微的，則這樣的坐標變換不能保證變換前后的系統有相同的單值性。本文證明：如果坐標變換是正則的，則能保證變換前后系統有相同的單值性。正規型理論中所做的近恒等變換顯然是正則變換，因此任何解析系統與它的正規型具有相同的單值性。這個結果在平面解析系統經典的中心問題的研究中具有重要的理論意義與應用價值。因為一方面，在研究中心問題前，需要先解決奇點的單值性問題；另一方面，研究奇點的單值性問題，可以利用正規型理論把系統中那些不重要的項通過近恒等坐標變換消去，從而得到形式更簡單的系統以易于研究。尤其對含線性零奇點的系統，有例子表明，通過Blow-up技術是難以實現的，盡管任何解析系統可以通過做有限次的可微但不可逆的Blow-up變換，把線性零奇點化為一般是不可定向曲面上的一條封閉曲線，并且可進一步通過時間尺度變換化為有限個簡單奇點去研究。

由于可逆的可微坐標變換一般未必是正則變換，對于這種變換能否保證變換前后系統有相同的單值性仍有待繼續研究。另外，如果系統不是解析的，何種坐標變換能保證變換前后系統有相同的單值性也是一個有待研究的問題。

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（責任編輯：康 鋒）

收稿日期： 2022-09-15網絡出版日期：2022-12-05

基金項目： 國家自然科學基金項目（11671359，11672270）

作者簡介： 郭 春（1998— ），女，河南南陽人，碩士研究生，主要從事微分方程定性理論方面的研究。

通信作者： 黃土森，E-mail：huangtusen@sina.com