多網絡約束下NNS 分布式融合估計器設計

趙國榮，顧昊倫，韓旭，高超

(1.海軍航空大學岸防兵學院，煙臺 264001；2.中國人民解放軍第91001部隊，北京 100854)

組網導航技術是一種網絡技術與導航技術的結合。組網導航系統(networked navigationsystem,NNS)基于無線傳感器網絡技術，使得區域內多個運動節點在統一裝訂的網絡協議下完成導航信息的協作和共享，進而使得網絡內自主導航能力較弱的節點獲得不低于鄰域內平均導航精度的導航水平，實現網絡內導航性能的整體提升[1]。但通信網絡的引入使得NNS 目標節點的狀態融合估計問題變得十分復雜[2]，其中時滯和丟包為2 種常見問題，前者導致目標節點在同一采樣周期內接收到來自某一鄰節點的不同時序的量測值，后者導致目標節點直接損失來自某一鄰節點傳輸的量測信息[3]，使得融合估計器性能下降甚至失穩。因此，研究具有時滯和丟包的網絡化多傳感器融合估計問題有著重要的理論意義和應用價值[4]。

針對丟包問題，目前的解決方案有2 類：一類是在目標節點端(接收端)進行處理，另一類是在鄰節點端(發送端)進行處理。對于前者，文獻[5]在目標節點端設置了線性預報器，給出最優加權系數和預報器最優階數的獲取方法，但該預報器需在線計算最優加權系數和最優階數，占用了過多的資源。文獻[6]為避免文獻[5]中最優階數的實時計算，設計了一種指數衰減加權系數法，但該估計方法精度依賴于加權系數的試湊。文獻[7]采取神經網絡算法對丟包進行預測，算法設計上具有先進性，但神經網絡算法的復雜性導致其占用過多的計算資源。上述文獻均利用目標節點端接收到的信息來預測，精度取決于系數選取，具有偶然性。第2 類方案從鄰節點端嚴格補償丟包，有效消除偶然性。文獻[8]證明了從鄰節點端發送到目標節點的Kalman 局部最優估計具有量測信息的繼承性，能夠補償之前時刻丟失的量測值。文獻[9]指出傳輸局部最優估計盡管能夠補償丟包，但局部狀態估計值的維數一般高于鄰節點量測值維數，并不適用于帶寬受限的NNS。文獻[10]考慮了文獻[9]提出的問題，在發送端設計了線性編碼器，對過去時刻的量測值線性編碼后再傳輸給接收端，保證了維數不會增大，但其對象僅局限于標量系統。文獻[11]在文獻[10]的基礎上，將對象拓展到單傳感器系統中，并對穩定性給出結論，但其只研究了簡單線性系統，對NNS 這種復雜多傳感器網絡不具有適用性，且其編碼參數的隨機性導致估計誤差協方差需根據每一時刻丟包率進行計算，難以滿足復雜系統的實時性要求。

針對隨機通信時滯問題，文獻[12]引入時間戳，在目標節點端只保留來自同一鄰節點的多個數據包中時間戳最新的數據包，但該策略會造成有效信息的損失，導致融合估計精度下降。文獻[13]采取與文獻[12]不同的策略，設計了一種包含當前和過去接收到的時滯數據包的新息模型，推導了集中式無偏估計器，并驗證了其精度高于傳統的集中式估計，但其沒有考慮丟包，當丟包發生時，非零新息項反而會導致額外的誤差。文獻[14]在文獻[13]的基礎上同時考慮時滯與丟包變量，將這2 種變量轉化為增廣量測矩陣中的隨機變量，但該算法推廣到多傳感器網絡時，計算復雜度隨網絡節點數量的增大而顯著提高。文獻[15]為避免增廣方法產生的高維矩陣求逆問題，在目標節點端設置了有限長度的存儲空間，并推導了遞推模型，但其集中式結構決定了所有傳感器均需執行相同步數的重復計算，計算負擔沒有從本質上得到降低。

此外，在NNS 實際工作場景中，存在各類網絡約束影響著節點間傳輸數據時的時滯與丟包程度。文獻[16]研究了具有傳感器增益衰減、隨機時滯和丟包的分布式融合估計問題，將模型不確定性和傳感器增益衰減均描述為統計特性已知的隨機變量，并驗證了其估計精度高于傳統Kalman 分布式融合估計算法，但其描述模型不確定時是在系統矩陣中加上高斯白噪聲，對有色噪聲的情形并未進行研究，且未考慮節點能量受限這一關鍵約束。文獻[17]針對能量受限提出一種間歇式傳輸的策略，但未考慮降低傳輸率會導致信息損失，融合估計精度反而降低。目前，大部分文獻中均假定丟包率是固定不變的，這與NNS 的工作情況完全不同，由于有限的網絡資源，節點的競爭必然導致丟包率與節點數目存在很大的關聯。文獻[18]考慮了非固定丟包率的情形，建立了丟包率和傳輸節點數目之間的函數關系，推導了2 種次優分布式融合估計器形式，但其僅考慮了丟包，并未同時考慮時滯的影響，且未給出次優傳輸率的計算方法。

綜上所述，針對當前研究現狀中的不足，本文提出了一種面向NNS 的多網絡約束下具有隨機通信時滯和非固定丟包率的分布式融合估計器。該估計器相對于其他分布式融合估計器的改進在于：①同時考慮能量受限與時延、丟包，引入傳輸率和節省率2 個概念并建立聯系，推導得到相應優化問題的等價目標函數及約束條件，以此得到一組次優傳輸率；②不再基于時延定義的基礎上定義丟包，引入2 個隨機變量重新定義丟包，以此引入傳輸率、丟失率及丟包率等概念；③設計了2 套線性編碼器來處理時延與丟包，前端線性編碼器用于處理丟包，保證目標節點在一個采樣周期內至少能夠接收到來自某一鄰節點的一組協同觀測值，后端線性編碼器用于處理時延，以解決在一個采樣周期內接收到來自同一鄰節點的多組協同觀測值。

1 問題描述

假設NNS 中鄰節點個數為M，每個鄰節點均可建模成一個離散不確定線性隨機系統：

式中：x(t)∈Rn為 系統狀態；A(t) 為 系統矩陣，為已知矩陣，用以表示系統不確定性；w(t)∈Rn為系統噪聲； ε(t)為描述系統不確定性的乘性有色噪聲。x(0) 為 均 值和方差 分別是xˉ(0)和S(0)的白噪聲，w(t) 為 協方差矩陣是 ?(t) 的零均值白噪聲，ε(t)的統計特性為E(ε(t))=，E(ε2(t))= ε?(t)。

第i個鄰節點的量測方程為

式中：y i(t)為 系統量測值；H i(t)為系統量測矩陣；κi(t)為描述節點增益衰減程度的隨機變量，其分布在U[αi,βi](0 ≤αi≤βi≤1) 上 ，統 計 特 性 為E(κi(t))=，E(κi2(t))=κ?i(t)； υi(t)為量測噪聲，其為協方差是V i(t)的 零均值白噪聲。上述各噪聲滿足對任意i,j∈{1,2,···,M}和t，x(0)、w(t)、 ε(t)、 υi(t)、 κi(t)、 κj(t)兩兩互不相關。

NNS 中降低節點能耗最有效的方式為降低節點傳輸率，丟包率則與某一時刻同時傳輸的傳感器數量有關[18]。記t時刻同時進行傳輸的鄰節點數目為M(t)，M(t)∈{1,2,···,M} 。 設 函 數 ?(M(t)) 表 示t時刻無線信道丟包率，則

式 中： λi(t) 和 μi(t) 為 隨 機 變量。 λi(t) 表 示t時 刻鄰 節點i是否傳輸數據包， λi(t)=1表 示傳輸， λi(t)=0表示不傳輸，記傳輸率為。 μi(t) 表 示t時 刻節點i傳輸的數據包是否丟失， μi(t)=1表 示未丟失， μi(t)=0表示丟失，記丟失率為。

引入隨機變量 ρi(t)表 示t時 刻節點i傳輸的信息是否成功到達目標節點， ρi(t)=1表 示成功，ρi(t)=0表示失敗，記成功率為，則

式中：N為除鄰節點i外網絡內同時傳輸信息的鄰節點個數；為 這N個鄰節點同時傳輸信息的概率，其表達式為

同理，可得鄰節點i和j均成功的概率為

若引入 γ(t)∈[0,1]表 示t時刻網絡能量總節省率，則鄰節點傳輸率滿足如下約束：

下面設計鄰節點端線性編碼器。在鄰節點i端設置長度為Li的 存儲空間，將t時 刻與t時 刻之前Li個量測值線性相加。設編碼器參數為=[]T，則鄰節點i的實際量測值為

式中：“ ?”表示Kronecker 積；I mi代 表維數為mi的單位矩陣，mi為 量測方程輸出維數；colLi(y i(t))=[y iT(t),y iT(t?1),···,y iT(t?Li+1)]T。

定義x?i(t)=colLi?1(y i(t?1))∈R(Li?1)mi，引入新狀態量X i(t)=[xT(t),x?iT(t)]T∈R(Li?1)mi+n，則可得原系統增廣形式如下：

式中：

假設目標節點未接收到鄰節點數據包時將其對應存儲位置0，則目標節點接收的量測值為

至此，已通過在鄰節點端設置線性編碼器處理非固定丟包率問題，并補償降低傳輸率導致的信息損失。下面從目標節點端處理時滯問題。

若鄰節點發送量測值時已標記時間戳，且設最大通信時滯為Tm， 目標節點對時滯大于Tm的信息直接丟棄。引入互不相關隨機變量，k=0,···,Tm，代表目標節點是否在t時刻接收到來自鄰節點i傳輸的t?k時 刻 的 量 測 信 息。=1代 表 接 收 到，=0 代 表未接收到，=1}=。則目標節點在t時刻接收到來自臨界點i的量測值為

則經2 次線性編碼后的增廣系統模型如下：

式中：

2 分布式融合估計器設計

2.1 局部最優估計器

由于式(15)所示的增廣系統中包含乘性有色噪聲 ε (t)及 描述節點增益衰減程度的隨機變量 κi(t)，傳統的Kalman 濾波并不適用。通過定理1 給出局部無偏估計器形式。

定理 1假設=，則式(17)所示局部估計器是無偏的。

式中：fi(t)為局部估計系數。

定理 2對于式(15)所示增廣系統，其最小方差意義下的局部最優估計系數fi(t)為

Γi,j(t)遞推表達式為

?i,j(t)遞推表達式如下：

證明 根據式(15)、式(17)可得

將式(23)中fiT和fi有關項合并整理如下：

欲使式(24)取得最小，則fi取值為

因此式(18)得證，將其代入式(24)即可得式(19)。同理可得式(20)、式(21)。上述證明過程中未標明時間變量的均省略了t。 證畢

2.2 分布式最優矩陣加權融合及收斂性條件

式(17)～式(21)所示局部最優估計器是針對式(15)所示增廣系統設計的。由、X i(t)、x(t)的關系可得原系統局部最優估計值、局部最優估計誤差協方差ri,i(t)及局部最優估計誤差交叉協方差ri,j(t)為

對于導航系統而言，衡量其性能的最重要因素為導航精度。對比2 種典型分布式融合估計方法，協方差交叉(CI)融合法雖然避免了高維協方差矩陣的逆運算，但相比于最優矩陣加權融合法損失了融合精度[19]。事實上，NNS 節點本身處理信息的能力很強，影響NNS 狀態融合估計精度的主要方面實際是各種網絡現象誘導的誤差[20]，且主要集中在節點收、發數據包的過程及信息的傳輸過程中。因此，本文采取最優矩陣加權融合法對局部最優估計值加權融合，原系統分布式融合估計值表達式為

式中：bi′和bi′′分別為由z i(0)和 Θi誘導的bi。 證畢

以假設1 為前提，引入如下Riccati 方程：

則根據式(38)可得

因此用數學歸納法可證對任意的t：

又

結合式(46)、式(47)，根據引理4 中第1 條結論，由夾逼準則可得

綜合式(44)、式(48)，對式(49)兩端同時取極限，根據夾逼準則可得

2.3 次優傳輸率的求解

由式(32)及相關表達式可知，Rfus(t)依賴于各鄰節點傳輸率。因此，結合式(8)建立如式(51)所示優化問題模型求解傳輸率：

由式(32)可知，最優矩陣加權融合算法需要計算高維協方差矩陣的逆，若按照式(51)對傳輸率進行求解，將進一步加大整體估計器的計算負擔。下面通過定理4 對式(51)優化問題進行轉化。

定理4 式(51)所示優化問題可以轉化為式(52)，其中松弛條件為式(53)。

因此，在上式松弛條件下，可以將求解式(51)的最優解轉化為求解式(54)的一組次優解。

3 算例仿真

鄰節點端對應線性編碼器存儲長度Li=3，編碼器系數=[1,0.5,0.2]T。 無線信道丟包率為：?(1)=···=?(10)=0.1,?(11)=···=?(15)=0.2，?(16)=···=?(22)=0.3,?(23)=···=?(30)=0.4， ?(31)=···=?(40)=0.5,?(41) = ··· = ?(50) = 0.6，?(51) = ···=?(55)=0.7,?(56)=···=?(60)=0.8。

目標節點端對應線性編碼器的最大通信時滯Tm=2 s， 編碼器系數=[1,0.6,0.4]T。

節點隨機分布在x∈[?200,800]cm，y∈[0,600]cm，z∈[0,660]cm的區域內。采取文獻[22]中的分簇算法形成簇群結構，目標節點的期望軌跡及網絡初始拓撲結構如圖1 所示。

圖1 目標節點期望軌跡及網絡初始拓撲Fig.1 Expected trajectory of target node and initial topology of network

仿真采取文獻[23]中的TOA 算法測量節點間的相對位置，其算法前提假設為：TOA 測量誤差標準偏差 1/6×10?6s。

將文獻[18]中的算法作為比較，分別研究不同乘性噪聲(取ε (t)～U[?0.05, 0.05]、ε (t)～U[?0.1,0.1]、ε(t)～U[?0.5,0.5]， κi(t)～U[0.1,，0.2] γ=0)，不同增益衰減系數(取 κi(t)～U[0.1,0.2]、 κi(t)～U[0.3,0.5]、κi(t)～U[0.6,0.8]，ε(t)～U[?0.05,0.05]， γ=0)，不同節省率(取 γ =0.1,0.2,···,0.7，ε (t)～U[?0.05,0.05]，κi(t)～U[0.1,0.2])下兩者的性能。圖2 和圖3 分別為不同乘性噪聲下本文和文獻[18]設計的估計器性能。

由圖2 和圖3 可以看出，隨機變量 ε(t)的方差越大，模型不確定性越強，融合估計精度越差。比較圖2 和圖3 可以看出，本文設計的估計器在處理乘性有色噪聲誘導誤差方面優于文獻[18]設計的估計器，這是因為文獻[18]中乘性噪聲考慮的是高斯白噪聲，并未考慮有色噪聲的情形。

圖2 不同乘性噪聲下本文設計估計器融合估計效果Fig.2 Fusion estimation effect of estimator designed in this paper under different multiplicative noises

圖3 不同乘性噪聲下文獻[18]設計估計器融合估計效果Fig.3 Fusione stimation effect of estimator designed in Ref.[18] under different multiplicative noises

圖4 和圖5 分別為不同增益衰減下本文和文獻[18]設計的估計器性能。

由圖4 和圖5 可以看出，隨機變量 κi(t)的均值越大，節點增益退化程度越小，融合估計精度越高。比較圖4 和圖5 可以看出，本文估計器在處理節點增益退化誘導誤差方面優于文獻[18]估計器。

圖4 不同增益衰減下本文設計估計器融合估計效果Fig.4 Fusion estimation effect of estimator designed in this paper under different gain reduction

圖5 不同增益衰減下文獻[18]設計估計器融合估計效果Fig.5 Fusion estimation effect of estimato rdesigned in Ref.[18] under different gain reduction

圖6 和圖7 分別為不同節省率下本文和文獻[18]設計的估計器性能。

由圖6 和圖7 可以看出，節省率對融合估計精度的影響存在一個臨界值。圖6 中，本文設計的估計器在γ=0.1 ～0.3時融合估計精度幾乎沒有改變，一旦γ＆gt;0.3，節省率越高，融合估計精度越差。注意到，圖7中文獻[18]設計的估計器在 γ=0.1 ～0.2時融合估計精度幾乎不變，即本文設計的估計器在相同精度的要求下能以更高的能量節省率維持系統運行。這主要是因為文獻[18]僅在鄰節點端設置了線性編碼器，并未考慮網絡通信時滯誘導的誤差，而本文同時在鄰節點端和目標節點端設置了線性編碼器，因此性能優于文獻[18]估計器。

圖6 不同節省率下本文設計估計器融合估計效果Fig.6 Fusione stimation effect of estimator designed in this paper under different saving rates

圖7 不同節省率下文獻[18]設計估計器融合估計效果Fig.7 Fusione stimation effect of estimator designed in Ref.[18] under different saving rates

圖8 給出了上述各情形下2 種估計器各自的融合估計誤差協方差矩陣的跡。

圖8 兩種估計器的融合估計誤差協方差矩陣跡Fig.8 Trace of fusion estimation error covariance matrix of two estimators

4 結 論

本文主要針對網絡化分布式融合估計中常見的隨機通信時滯和非固定丟包率問題，在3 種網絡約束下設計分布式融合狀態估計器。研究結果表明：

1)融合估計精度隨模型不確定性增大而下降，隨節點增益退化程度增大而下降。

2)低節省率時，融合估計精度與節省率的變化幾乎無關，而當節省率高于臨界值時，融合估計精度隨節省率的增大而下降。

3)鄰節點端和目標節點端的2 種線性編碼器有效降低了時滯與丟包對網絡的影響。

4)次優傳輸率的求解在保證了融合估計精度的前提下，盡可能提高了估計器的實時性。