基于改進聯合稀疏EIT 算法的CFRP 材料檢測

馬敏，于潔，范文茹

(中國民航大學電子信息與自動化學院，天津 300300)

碳纖維增強復合材料（carbon fiber reinforced polymer，CFRP）已于近年來廣泛應用于航空航天飛行器領域中[1]。CFRP 由于其具有輕質高強、抗疲勞及耐腐蝕等優點，日益成為航空航天、工業及民用領域上的研究熱點[2]。但是，CFRP 在制造和使用的過程中都有可能產生損壞，損傷出現的影響很有可能是致命的[3]。因此，對CFRP 層壓板損傷的有效檢測就顯得尤為重要。

目前，已出現的很多復合材料的檢測方法，如超聲檢測法[4]、射線檢測法[5]及紅外熱波檢測法[6]等，都在應用方面具有一定的局限性。電阻抗層析成 像 技 術（electrical impedance tomography，EIT）具有無創性、無輻射等優勢，可以根據碳纖維自傳感特點及所成損傷的電學敏感特性對CFRP 層壓板進行有效檢測。由此，EIT 已逐漸成為一種新興的CFRP 檢測手段，受到國內外研究學者的關注[7-9]。EIT 逆問題求解的原理是通過測量邊界電壓來重建被測區域的電導率分布。但是，在EIT 逆問題的求解過程中，邊界的測量電壓值個數遠小于重建電導率分布向量中元素的個數，邊界測量電壓數據很小的變化就會對解向量產生很大的影響[10]，從而導致EIT 逆問題具有欠定性和病態性。傳統求解算法難以取得令人滿意的成像效果。為了提高成像質量，不斷優化求解算法是十分必要的。

近年來，許多學者將稀疏正則化方法應用于求解EIT 逆問題，以增強解的稀疏性及穩定性。2012年，Wang 等[11]將L1正則化應用于EIT 圖像重建，結果表明，比起L2范 數，L1正則化的重建結果更能接近真實分布，提高了圖像的分辨率；2018 年，Souvik和A lfio[12]將基于對數電導率的稀疏重建方法應用于EIT 圖像重建，有效促進了解的稀疏性，增強了圖像輪廓邊緣信息；2019 年，成民民等[13]將分裂Bregman方法應用于求解L1正則化問題，使得所成圖像偽影減少，成像質量有效提高；2020 年，范文茹等[14]使用稀疏正則化方法有效減少了圖像重建過程中的電極偽影，以提高EIT 圖像重建質量。

基于L1范數的正則化稀疏優化算法可以緩解L2范數正則化的過度平滑性，促進解的稀疏性，但與真實稀疏解差距甚大。于是，本文在結合CFRP 層壓板電學特性的基礎上采用（L1?εL2）范數模型[15]作為正則化項，L2,1范 數[16]作為解的保真項，將L2范數的光滑性和L1范數的稀疏性有效聯合起來，準確提取圖像重建過程中的特征，并使算法具有良好的魯棒性。此外，引入新的約束項以更好地迭代尋優，使解向量更貼近真實的稀疏解。通過對稱交替方向乘子法（symmetric alternatingdirection multiplier method,S-ADMM）[17]進行求解，以確保子問題的平等性，更好地縮短算法的成像時間。仿真和實驗表明，對比傳統算法，改進聯合稀疏EIT 算法所成損傷在大小、位置和形狀上都更貼合損傷的真實分布，在單分層損傷中相關系數可達0.920 5，面積誤差得以降低至3.46%，在噪聲干擾下，所成損傷圖像質量仍能保持穩定。可見，改進聯合稀疏EIT 算法具備應用于CFRP 損傷檢測的適用性。

1 CFRP 電學特性

CFRP 是由導電的碳纖維和絕緣的樹脂聚合物組成的材料，其電導率較高的方向為纖維方向，電導率較低的方向為與纖維垂直的面內橫向和厚度方向[18]，由此可見，CFRP 具有各向異性的導電特性。通常在數值模型中，將CFRP 的單層等效成連續均勻材料。

本文采用8 層各向異性的CFRP 模型，如圖1所 示。CFRP 層 壓 板 模 型 采 用[0°/90°]4的 鋪 設 方式，其單層模型大小為10cm×10cm×0.04cm，0°纖維電導率設為90°纖維電導率設

圖1 CFRP模型Fig.1 Model of CFRP

2 EIT 逆問題及其求解方法

2.1 EIT 系統組成

EIT 系統由電導率傳感器系統、數據采集系統和計算機成像系統組成，如圖2 所示。其中，計算機成像系統主要負責EIT 逆問題的求解，其原理是通過圖像重建算法根據所測得的電壓信號反演出被測區域內的電導率分布[19-20]。

圖2 EIT系統組成Fig.2 EIT system composition

EIT 圖像重建的線性化模型如下：

式中： δU∈Rm×1為材料損傷前后電壓測量差值，m為獨立電壓測量值個數； δσ ∈Rn×1為電導率分布矩陣，n為重建圖像中的像素數；J∈Rm×n為靈敏度矩陣。

2.2 改進聯合稀疏EIT 算法

2.2.1 構建聯合稀疏正則化泛函模型

由于EIT 的“軟場”特性，EIT 逆問題是一個欠定性、病態性問題，傳統算法如LBP 算法、Tikhonov正則化算法和共軛梯度算法（CG）重建圖像精度較低。稀疏正則化方法由于可以在有限的測量數據下取得較好的成像結果而得到廣泛應用，其泛函模型如下：

通常，采用L2范數作為保真項并沒有產生更多稀疏解，使得圖像過度平滑、重建圖像細節信息丟失，而L1范數作為正則化項，可以增強成像目標的稀疏性，但其會使圖像不夠平滑。由此，本文引入L2,1范 數作為保真項，（L1?εL2）范數模型作為正則化項，在增強成像解的稀疏性的同時，也可以使成像結果光滑，但不致過度光滑。

式 中： λ1為 正 則 化 參 數； ε為L1、L2范 數 之 間 的 權 重值；t為殘差向量約束。對于A?Rm×n的 矩陣，//A//2,1=

在EIT 圖像重建過程中，解向量不為零，式(3)的無約束優化形式為

利用S-ADMM 求解式(4)，將其分解成4 個子問題進行迭代尋優，更新其中一個變量時，其他變量保持不變，可得其迭代模型如下：

S-ADMM 迭代結果的好壞主要取決于式(5)和式(7)的求 解， δσk+1子問題 采 用Douglas-Rachford分裂方法[21]，將其再分解成3 個子問題，如下：

式中： β為調節參數。

式(9)通過軟閾值迭代算法求解，式(10)通過梯度下降法求解，可得

式(7)可根據文獻[22]來進行變量更新。

式中：

2.2.2 構建約束項

為使解向量更貼近真實分布情況，緩解迭代過程中迭代方式過于嚴格的問題，在每次迭代過程中對 δσk+1子 問題再加以約束。構建一個關于 δσ的殘差向量 ξk如下：

在每一次迭代中，對 δ σk+1中對應的元素加（減）一個關于 //ξk//∞的彌補值。為了防止彌補值過大使解向量不準確，將式(11)前后2 次迭代值 δσk+1、δσk作差求絕對值，如下：

考慮到雜散灰度值的影響，迭代過程中 φk與ι//ξk//∞比較大小，ι 為 可調節的比例系數。若φk≥ι//ξk//∞，新的解向量則為 δσk、 δσk+1之和的均值；否則，新的解向量為彌補值后的解向量為

最終的改進聯合稀疏EIT 算法迭代流程如圖3所示。

圖3 改進聯合稀疏EIT算法迭代流程Fig.3 Improved iterative process of joint sparse EIT algorithm

3 仿真與實驗結果分析

3.1 仿真驗證

仿真使用COMSOL5.4 軟件對8 層各向異性的CFRP 層壓板進行建模，并采用16 電極EIT 結構。構建3 種CFRP 層壓板常見的損傷類型，分別為沖擊損傷、分層損傷和裂紋損傷。沖擊損傷是指將板材穿透的損傷；分層損傷是指非穿透板材，損傷在某一層或者某幾層的損傷；裂紋損傷是指板材的一個裂痕，可穿透也可非穿透的損傷，如表1 所示。

表1 中，模型1 為單沖擊損傷模型，在CFRP 層壓板中心區域設置1 個高0.32cm、半徑0.5 cm 的圓柱體模型；模型2 為雙沖擊損傷模型，在CFRP層壓板中心垂直連線上設置2 個高0.32 cm、半徑0.8 cm 的圓柱體模型；模型3 為單分層損傷模型，在CFRP 層壓板中心區域設置1 個高0.12 cm、半徑0.5 cm 的圓柱體模型；模型4 為雙分層損傷模型，在CFRP 層壓板對角線上設置2 個高0.12 cm、半徑0.8 cm 的圓柱體模型；模型5 為裂紋損傷模型，在CFRP 層壓板對角線上設置1 個0.01cm×3.5cm×0.32 cm 的長方體模型。

表1 CFRP 損傷模型Table 1 CFRP dam age m odel

本文選取Tikhonov 正則化算法、CG 算法和利用S-ADMM 求解的L1正則化方法（記為S-ADMM）進行對比，圖像重建結果如圖4 所示。圖像重建評價指標為圖像的相關系數CC[23]。CC 值越接近于1，重建圖像與真實圖像相關程度越大，所成圖像質量越好。相關系數對比如圖5 所示。

圖5 相關系數對比Fig.5 Comparison of correlation coefficient

由圖4 可知，Tikhonov 正則化算法和CG 算法成像效果相仿，對于單沖擊損傷和單分層損傷成像效果較好，但對于雙沖擊損傷和雙分層損傷已經基本不能還原損傷的具體位置和大小，重建圖像邊緣受電極的影響越發嚴重，所成損傷的偽影產生嚴重的黏連現象。S-ADMM 算法所成圖像能較準確地顯示損傷的位置，電極偽影現象得到了明顯改善，但所成損傷均偏小，對于雙沖擊損傷模型也出現了偽影黏連現象。改進聯合稀疏EIT 算法使得雙沖擊損傷模型中的偽影黏連現象得到有效改善，電極偽影得到進一步削弱，能準確反映損傷的大小和位置，對于沖擊損傷和分層損傷所成圖像邊緣清晰，對于裂紋損傷雖然仍存在一些電極偽影，但已經能呈現出裂紋的位置和大小情況，裂紋損傷辨識度增高。

圖4 圖像重建結果對比Fig.4 Comparison of image reconstruction results

由圖5 可知，改進聯合稀疏EIT 算法與Tikhonov正則化算法、CG 算法、S-ADMM 算法相比，相關系數得到明顯提高，所成圖像精度更高，相關性更大。在單沖擊損傷模型中，改進算法相關系數達到0.9176，較S-ADMM 算法提高了15.53%，驗證了改進聯合稀疏EIT 算法具備可行性。

為比較重建損傷和真實損傷大小的相似程度，對模型1～4 進行面積誤差對比，對比結果如圖6所示。面積誤差為將采用Canny 算子和最小二乘橢圓擬合出重建圖像的損傷面積大小與真實模型損傷面積大小相比較得出，公式如下：

圖6 面積誤差對比Fig.6 Comparison of area error

式中：S′為圖像重建損傷面積大小；S為真實損傷面積大小。

從圖6 中可以看出，與S-ADMM 算法相比，改進聯合稀疏EIT 算法所成損傷大小與真實損傷最為相近，單分層損傷模型中面積誤差僅有3.46%，而S-ADMM 算法雖然在單沖擊和單分層損傷中取得了較高的相關系數，但其所成損傷的面積誤差仍較大，并不能真實反映損傷大小。

綜合以上比較分析可以得出，改進聯合稀疏EIT算法能夠進一步增強解的稀疏性，更好地保留圖像邊緣信息，具有更高的圖像辨識度和定位能力，具備良好的CFRP層壓板損傷檢測應用前景。

3.2 噪聲實驗

在實際工業現場環境中，邊界測量電壓往往含有噪聲。圖像重建的質量會直接受到噪聲的影響。為了進一步驗證改進聯合稀疏EIT 算法的抗干擾性，在成像仿真實驗中對邊界電壓數據加入高斯白噪聲。分別加入2%、5%的高斯白噪聲，改進聯合稀疏EIT 算法在有無噪聲情況下的成像效果對比如圖7所示，相關系數對比如圖8 所示。

圖7 有無噪聲情況下的成像效果對比Fig.7 Comparison of imaging effects with or without noise

圖8 有無噪聲情況下相關系數對比Fig.8 Comparison of correlation coefficient with or without noise

由圖7 可知，改進聯合稀疏EIT 算法在2%噪聲、5%噪聲的干擾下與無噪聲情況下所成圖像質量相差不大，仍能準確地反映損傷位置和大小情況，所成圖像邊緣清楚，電極偽影影響不嚴重。由圖8 可知，在噪聲干擾下，改進聯合稀疏EIT 算法的相關系數并未出現較大波動，仍能取得相對較高的相關系數，對于單沖擊模型在5%噪聲的干擾下仍能取得0.914 9 的相關系數，對比無噪聲情況下僅下降了0.002 7，進一步驗證了改進聯合稀疏EIT算法能夠有效弱化噪聲影響，具有良好的魯棒性。

3.3 實驗驗證

CFRP 層壓板EIT 損傷檢測實驗平臺如圖9 所示。CFRP 層壓板長10cm、寬1 0 cm、高0.3 cm，將16 個電極均勻放置在板材四周，通過電極連接電流注入和電壓測量的多路復用器實現對電極的循環激勵和循環測量。精密電流源(KEITHLEY6221)提供電流激勵，給相鄰電極施加的激勵電流大小為100m A，采集測量數據使用多功能開關測量單元(KEYSIGHT 34980A)和電樞矩陣開關(KEYSIGHT 34932)，由基于Lab VIEW使用系統軟件進行開關量的切換。采集到的電位數據通過接線端子模塊(KEYSIGHT34932T)導入圖像處理程序以得到圖像重建結果。

實驗模擬了1 種單沖擊損傷和2 種雙沖擊損傷。其中，單沖擊損傷模型和上下雙沖擊損傷模型損傷孔半徑均為3mm，斜對角雙沖擊模型損傷孔半徑為5mm。上下雙沖擊損傷模型位于板材中心豎線上，斜對角雙沖擊模型位于板材斜對角線上，成像結果對比如圖9 所示。

圖9 CFRP層壓板EIT損傷檢測實驗平臺Fig.9 EIT experimental platform for damage detection of CFRP composites

由圖10 可知，Tikhonov 正則化算法電極影響偽影嚴重，發生嚴重黏連現象，不能準確反映損傷的位置和大小，損傷輪廓不清晰；S-ADMM 算法削弱了電極影響，偽影情況得到明顯改善，能夠準確反映損傷的位置，但不能如實反映其大小，損傷產生了不同程度的畸變；而改進聯合稀疏EIT 算法既減少了電極偽影的影響，又能更準確地反映損傷的實際位置和大小，圖像邊緣信息完整。系統實驗結果表明，改進聯合稀疏EIT 算法具備實用性，并為應用于CFRP 層壓板檢測提供依據。

圖10 CFRP 損傷檢測成像效果對比Fig.10 Comparison of imaging results of CFRP damage detection

4 結 論

1）本文通過構建新的稀疏泛函模型和解的彌補值約束項，提出了一種改進聯合稀疏EIT 算法，并將其應用于CFRP 層壓板的損傷檢測。

2）改進聯合稀疏EIT 算法能夠有效聯合L1范數和L2范數的優勢，增強解的稀疏性的同時，改善EIT 逆問題的病態性，對于沖擊損傷、分層損傷和裂紋損傷均具有良好的反演能力，且成像效果穩定，具有良好魯棒性，具備CFRP 層壓板損傷檢測的良好應用前景。

3）通過仿真和實驗重建圖像，并采用評價指標進行評定，結果證明，改進聯合稀疏EIT 算法對CFRP 層壓板損傷檢測具備可行性。

現有實驗模型還不夠豐富，后續應多建立實驗模型來進一步驗證該算法的工業可行性。