基于自適應PID 的雙輪自平衡車數學建模

文/馬一凡

與傳統的自適應平衡系統相比較，雙輪自平衡車的平衡系統復雜度和要求相對更高：既要控制車身平衡，也要實現對提速和轉動方向的精準控制。基于此，本文以自適應PID 雙輪自平衡車為研究對象，在簡要概述PID 控制原理的基礎上，采用拉格朗日方程法對其進行數學建模，并針對該數學建模進行詳細的理論推導。

自適應PID 雙輪自平衡車主要通過PID 控制器來實現輪式自適應載人運動，本質上仍屬于機器人的范疇。同時，由于其搭載的是典型的非線性系統，兼備多變量、強耦合、欠驅動等特征，高效、穩定的控制器逐漸成為此領域的關注重點。考慮到數學建模是實現自適應PID 雙輪自平衡車的關鍵算法，本文以拉格朗日方程法為核心構建了數學模型，并對該模型進行模糊化處理和線性化處理。

一、PID 控制方式概述

PID 是以控制偏差作為輸入，對偏差進行比例、積分和微分控制的算法。[1]其中，P 代指比例系數，即輸入偏差乘以一個常數后得出的比例；I代指積分，即輸入偏差進行積分運算；D 代指微分，即對輸入偏差進行微分運算。

比例調節是指，按一定比例快速縮小控制系統的偏差信號e(t)的過程。[2]理論上，偏差可以通過比例調節來消除，但在實際應用中，比例系數的取值很難一直保持理想狀態。當取值偏小時，修正速度緩慢，雙輪自平衡車易出現控制失靈、失穩等異常情況；當取值偏大時，修正控制速度過快，即便雙輪自平衡車處于正確位置，也會出現低頻率抖動的情況。因此，為保證雙輪自平衡車的平穩狀態，技術人員應通過數學建模等方式，盡可能實現穩定控制。

微分調節是指，根據偏差信號的變化速度或趨勢進行“超前調節”的過程。[3]當誤差趨于增大時，技術人員可通過微分調節來提高系統反應速度，進而實現對誤差的提前控制，以及優化系統動態性能。

積分調節則是從時間角度出發，對誤差的積累進行調節的一種處理方式。[4]在此過程中，積分調節與誤差并存，并且只有在誤差全部消除后，積分調節才會停止。

在實際應用過程中，當系統狀態突然變化或者設定值超出合理范圍時，控制量很有可能突破系統正常運行的最大值。因此，本文針對性地制訂了自適應PID 積分分離設計方案，旨在有效避免雙輪自平衡車發生系統系數超標、車體抖動等情況。

在本研究中，PID 算法模型的控制方式是：設定雙輪自平衡車的速度及活動角偏差閾值常量，再將其與系統偏差e(t)的絕對值相減。如果計算結果為正數，則由積分控制開關執行關閉指令。

此時，系統控制器為PD 控制器，輸出控制量=比例項+微分項。如果計算結果為負數，那么系統控制器將轉為PID 系統控制器。此時，輸出控制量=比例項+微分項+積分項（見圖1）。

當輸入量為r(t)，輸出量為y(t)時，偏差量e(t) 的計算公式如下：

根據式（1），PID 的控制規律u(x)可表述為：

式（2）中，Kp為比例系數；T為積分的時間常量；DT d為微分的時間常量，t為時間節點，e(t) 為時間節點t時的偏差量。

二、模糊自適應PID 算法的應用

模糊自適應PID 算法在實際應用中更加靈活、穩定，尤其在被控對象的時變性和非線性較大時，其應用優勢更為突出。由于雙輪自平衡車的控制系統需要輸出具體電壓值以保障電機正常運行，本文采用重心法對模糊集合進行處理，以獲取精確值。該處理過程即為反模糊運算過程，具體表達式如下。

式（3）中，ΔK 表示反模糊運算的最終輸出值；μAi(e)、μBi(ec)分別表示e（偏差）和ec（偏差的變化率）的隸屬度；zi表示對應隸屬度函數的橫坐標。其中，隸屬度是指某變量在其模糊論域中，屬于某模糊空間子集的程度，其函數表達式如式（4）所示。

式（4）中，x表示模糊集合的隸屬度函數，U 表示模糊空間子集。并且，?μ(x)的值越接近1，則表明x隸屬于U的程度越高。

三、基于自適應PID 的雙輪自平衡車的數學模型

（一）數字建模的前提條件及拉格朗日方程一般式

本文在保證雙輪自平衡車系統的正常運行前提下，構建了雙輪自平衡車系統數學模型。其間，筆者首先對可能產生的、相對復雜但允許產生誤差的建模條件進行合理假設：在建模過程中，雙輪自平衡車的車身與車的載體等效為一根剛性杠桿；車身處于直立平衡狀態時，其質心應位于雙輪的正上方；車體與地面之間只存在滾動摩擦。

拉格朗日方程的一般式如下：

式（5）中，T代表質點系的總動能；iq˙表示質點系的坐標；iQ表示系統沿第i 個坐標上的力；n為系統的自由度。

在基于自適應PID 的雙輪自平衡車的數學模型中，當n 為3 時，即表示該系統有3 個自由度，分別為車身繞X 軸產生前傾后俯、車身繞Z 軸的轉動、沿Y 軸進行的前進后退。由于雙輪自平衡車的總動能分為車身動能及車輪動能兩種，且這兩種動能又進一步被分為平動動能及轉動動能，因此，本文基于此算法分別計算上述動能的值。

（二）雙輪自平衡車系統動能算法

雙輪自平衡車的總動能共包含四個部分，即車身與車輪的平動動能及轉動動能。在計算動能前，筆者首先了解并明確了控制對象的速度信息。基于此，筆者根據雙輪自平衡車前傾、轉角控制及前進等三種運動狀態，建立了對應的坐標體系，以便分解其速度（見圖2）。

如圖2（a）所示，v1=θtL為雙輪自平衡車在前傾狀態下的速度。同理可得，該雙輪自平衡車在三個坐標軸方向上的速度分量分別如式（6）、式（7）、式（8）所示。

式中，τθ表示雙輪自平衡車的車身傾角；L 表示車身質心到輪軸的距離；?表示平衡車車身轉角。

由圖2（b）可知，當雙輪自平衡車旋轉時，線段OA=Lsinθt。因此，為雙輪自平衡車在轉角狀態下速度的表達式。筆者分解坐標軸后，得到的兩個速度分量分別如式（9）、式（10）所示。

上式中，為轉角狀態下車身轉角大小。

隨后，筆者結合圖2（c）得到雙輪自平衡車在前進或后退狀態下的速度表達式：。同時，在該運動狀態下，雙輪自平衡車兩個速度分量的表達式分別如式（11）、式（12）所示。

上式中，Vt、Vr分別代表雙輪自平衡車左輪、右輪的速度，并且（R 為雙輪自平衡車車輪半徑；分別表示當前運動狀態下左輪及右輪的轉角）。基于此，雙輪自平衡車車身的平動速度可通過式（13）求得。

同時，雙輪自平衡車車身的平動動能（T1）和轉角動能（T2）可分別通過式（14）、式（15）求得；車輪的平動動能（T3）和轉角動能（T4）可分別通過式（16）、式（17）求得。

上式中，mb表示車身質量；mw表示車輪質量；Jw表示車輪繞輪軸的轉動慣量；J?表示車輪繞Z 軸的轉動慣量；（D 為車輪間距）。

（三）構建數學模型

鑒于雙輪自平衡車的總動能（T）為車身與車輪各項動能之和，故T=T1+T2+T3+T4，即：

隨后，筆者對雙輪自平衡車的相關受力進行分析，并進行如下計算。

上式中，考慮雙輪在行駛過程中容易受到黏滯力、阻尼力的影響，筆者定義其中，Qiθ、Qlθ、Qrθ分別為雙輪在三個坐標系上的廣義力。隨后，筆者將以上計算代入拉格朗日方程，進而得到雙輪自平衡車系統的精確數學模型。

該系統在θl方向上的表達式為：

在θt方向上的表達式為：

在θr方向上的表達式為：

上式中，Ml/Mr為左/右輪電機轉矩；kl、kr為黏滯阻尼系數；Jt為車身繞輪軸的轉動慣量；Jz為車身繞Z 軸的轉動慣量；Jw為車輪繞輪軸的轉動慣量。式（22）、式（23）、式（24）共同組成了雙輪自平衡車系統的精準數學模型。

四、結語

經驗證，本文建立的自適應PID 雙輪自平衡車數學模型，對該類平衡車的快速反應、精準調控具有一定的參考意義。同時，在對該數學模型運用拉格朗日方程法后，本文初步實現了對雙輪自平衡車多種運動狀態的靈活控制。