拋體運動常見考點賞析

■華中科技大學附屬中學 許 文

將物體以一定的初速度拋出,物體只在重力(或恒力)作用下的運動稱為拋體運動,拋體運動是一種典型的勻變速曲線運動。拋體運動可分為平拋(類平拋)運動與斜拋運動。求解拋體運動問題需要用到運動的合成與分解的思想方法,具備建構物理模型的能力,空間想象能力,應用數學知識處理物理問題的能力,以及定性分析與定量研究相結合的分析能力等。下面梳理拋體運動的常見考點,預測2023年高考對拋體運動的考查方向,供同學們參考。

一、拋體運動的分類與研究方法

二、拋體運動考點例析

1.平拋運動的規律。

設做平拋運動物體的水平初速度大小為v0,下落高度為h,重力加速度為g,其基本規律如表1所示。

表1

例1(2022年高考廣東卷)如圖1所示,在豎直平面內,截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處,一玩具槍的槍口與小積木上P點等高且相距為L。當玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時,小積木恰好由靜止釋放,子彈從射出至擊中積木所用時間為t。不計空氣阻力。下列關于子彈的說法中正確的是( )。

圖1

A.將擊中P點,

B.將擊中P點,

C.將擊中P點上方,

D.將擊中P點下方,

解析：玩具槍的槍口與P點等高,玩具子彈和小積木在豎直方向上均做自由落體運動,當子彈擊中積木時,子彈和積木的運動時間相同,均為t,根據平拋運動規律可得,子彈和積木的下落高度均為,因此子彈將擊中P點。根據平拋運動規律得L=vt,因此子彈從射出至擊中積木所用的時間t=。

答案：B

點評:平拋運動可以看成水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動的合運動,處理平拋運動問題的方法就是沿水平和豎直兩個方向進行運動的分解,把曲線運動轉化為兩個直線運動,再根據直線運動規律列式求解。本題中玩具子彈從槍口射出至擊中積木的過程中做平拋運動,子彈在水平方向上的位移等于L,根據勻速直線運動規律得L=vt,子彈在豎直方向上的位移;積木由靜止釋放后做自由落體運動,其位移等于子彈在豎直方向上的位移h。

2.平拋運動的約束。

幾種常見的有約束的平拋運動類型示例如表2所示。

表2

例2如圖2所示,科考隊員站在半徑R=10 m 的半圓形隕石坑(直徑水平)邊,沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質點),連接石子在坑中的落點P與圓心O,OP連線與水平方向間的夾角θ=37°。已知石子的拋出點在半圓形隕石坑左端的正上方,且到半圓形隕石坑左端的高度h=1.2 m。取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不計空氣阻力。石子拋出時的速度大小為( )。

圖2

A.9 m/s B.12 m/s

C.15 m/s D.18 m/s

解析：石子在豎直方向上做自由落體運動,根據幾何關系得石子的下落高度H=h+Rsinθ,根據平拋運動規律得,解得t=1.2 s。石子在水平方向上做勻速直線運動,根據幾何關系得石子的水平射程x=R+Rcosθ,根據平拋運動規律得x=v0t,解得v0=15 m/s。

答案：C

點評:求解有約束的平拋運動問題,需要靈活運用平拋運動的位移和速度分解方法,結合約束面(斜面、圓弧面等)的特點,找出相應的幾何關系。找出平拋運動滿足的幾何關系這一重要的隱含條件是問題得以順利求解的前提。

3.平拋運動的推論。

(1)做平拋(或類平拋)運動的物體任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點,如圖3所示,A、B兩點對應的水平位移滿足。

圖3

(2)設做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任意位置處的速度方向與水平方向間的夾角為α,位移方向與水平方向間的夾角為θ,則tanα=2tanθ。

例3如圖4所示,半徑為R的半球形碗固定在水平面上,碗口水平,AB為直徑,O點為球心。將一彈性小球(可視為質點)從AO連線上的某點C沿CO連線方向以某初速度拋出,經過時間(g為重力加速度)小球與碗內壁第一次碰撞后恰好返回C點。假設小球與碗內壁碰撞前后瞬間小球的切向速度不變,法向速度等大反向。不計空氣阻力,則C、O兩點間的距離為( )。

圖4

解析：小球從C點以某初速度水平向右拋出,要使小球能反彈回C點,小球必須垂直打在碗內壁上。如圖5所示,設碰撞點為D,連接OD,即為小球做平拋運動的軌跡過D點的切線。過D點作DE⊥AB于E點,則O點為小球水平位移的中點,根據平拋運動規律得,根據平拋運動的推論得xCO=xOE,在Rt△ODE中有R2,解得。

圖5

答案：C

例4跳臺滑雪是冬奧會中極具觀賞性的項目之一。如圖6所示,一滑雪坡道由上斜坡A1B、圓弧面BC、豎直臺階CD和傾角為θ的下斜坡DE連接而成,且圓弧面末端C處切線水平。某運動員第一次從上斜坡的A1點由靜止滑下通過C點后飛落到下斜坡DE上,第二次從上斜坡的A2點由靜止滑下通過C點后也飛落到下斜坡DE上。設該運動員兩次與下斜坡DE接觸時速度方向與水平方向間的夾角分別為β1和β2,不計空氣阻力和坡道的摩擦力,則( )。

圖6

A.β1＞β2

B.β1＜β2

C.β1=β2

D.無法確定β1和β2的大小關系

解析：連接C點與運動員第一次在下斜坡DE上的落點,如圖7所示。根據平拋運動的推論得tanβ1=2tanα1,同理得tanβ2=2tanα2,又有α1＜α2,故β1＜β2。

圖7

答案：B

點評:求解有斜面約束的平拋運動問題,需要充分運用斜面傾角,找出斜面傾角與位移偏向角、速度偏向角的關系;求解有曲面約束的平拋運動問題,靈活應用平拋運動的兩個推論可以達到快速解題的目的。

4.斜拋運動的分析方法。

斜上拋運動從拋出點到最高點的運動可逆向看成平拋運動,分析完整的斜上拋運動需要根據對稱性處理。

例5(2022年高考山東卷)如圖8所示,某同學將離地1.25 m 的網球以13 m/s的速度斜向上擊出,擊球點到豎直墻壁的距離為4.8 m。當網球的豎直分速度為零時,擊中墻壁上離地高度為8.45 m 的P點。網球與墻壁碰撞后,垂直于墻面的速度分量大小變為碰前的0.75倍,平行于墻面的速度分量大小不變。取重力加速度g=10 m/s2,網球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為( )。

圖8

A.v=5 m/s B.

C.d=3.6 m D.d=3.9 m

解析：網球從被擊出到擊中P點的運動過程可逆向看成平拋運動,根據平拋運動規律可得,網球被擊出時沿豎直方向的初速度大小,沿水平方向的初速度大小,其中H=8.45 m,h=1.25 m,v0=13 m/s,解得v0y=12 m/s,v0x=5 m/s。網球被擊出時與P點間的水平距離x0=v0xt1,其中,解得x0=6 m。如圖9所示,設網球的水平位移x0與墻面間的夾角為θ,根據數學知識得,其中x=4.8 m,則sinθ=0.8,即θ=53°。網球擊中P點時平行于墻面的速度分量v1=v0xcosθ=3 m/s,垂直于墻面的速度分量v2=v0xsinθ=4m/s。網球碰墻后垂直于墻面的速度分量v2'=0.75v2=3 m/s,平行于墻面的速度分量v1'=v1=3 m/s,故網球碰墻后的速度大小,選項A 錯誤,B正確。網球著地點到墻壁的距離d=,選項C錯誤,D 正確。

圖9

答案：BD

點評:將斜上拋運動的初速度沿水平方向與豎直方向分解,斜上拋運動可視為水平方向上的勻速直線運動與豎直上拋運動的合運動。斜上拋運動在最高點時的速度沿水平方向,通過逆向思維可將斜上拋運動從拋出點到最高點的運動處理為平拋運動研究,從而降低解題的難度。注意:本題中網球的運動是三維空間內的有約束斜拋運動,找出空間幾何關系是正確求解的關鍵。

總之,高考對拋體運動的考查以平拋運動為主,兼顧斜拋運動,求解這類問題時需要從拋體運動的性質特征、能量轉化、分解方法、約束類型、臨界極值等角度出發全面考慮。同學們在復習備考的過程中要重點掌握拋體運動的研究方法與基本規律,構建問題情景,靈活運用相關數學知識分析物理問題。

1.打乒乓球是一種大家喜聞樂見的體育運動,它對場地要求低且容易上手。某同學疫情期間在家鍛煉時,對著墻壁練習打乒乓球,球拍每次擊球后,球都從同一位置斜向上飛出,其中有兩次球在不同高度分別垂直撞在豎直墻壁上。不計空氣阻力,則這兩次球從飛出到撞擊墻壁前( )。

A.飛出時的速度大小可能相等

B.飛出時的速度豎直分量可能相等

C.在空中運動的時間可能相等

D.撞擊墻壁時的速度可能相等

2.如圖10所示,A、B兩球在地面O點上方的同一豎直線上的不同位置,A、B兩球間的距離h=5 m,分別給兩球水平向右的初速度,使兩球做平拋運動,結果兩球的運動軌跡相交于C點,OC連線與豎直方向間的夾角θ=53°,A、B兩球的初速度大小分別為v1=3 m/s,v2=5 m/s,已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,取重力加速度g=10 m/s2,不計空氣阻力。設A、B兩球從拋出點運動到C點所用的時間分別為t1和t2,A、B兩球拋出時離地面的高度分別為h1和h2,則( )。

圖10

A.t2=1.25 s

B.t2=0.75 s,

C.t2=1.25 s,

D.t2=0.75 s,

3.如圖11所示,在足球比賽的一次罰點球中,主罰運動員在球門前罰球點將球打入球門右上角,球沿水平方向入網。設球門寬為L,高為h,罰球點與球場底線中點相距為a。不計空氣阻力,則球的初速度方向與水平面間的夾角θ滿足( )。

圖11

4.(2022年6月浙江高考卷)如圖12所示,帶等量異種電荷的兩正對平行金屬板M、N間存在勻強電場,板長為L(不考慮邊界效應)。t=0 時刻,M板中點處的粒子源發射兩個速度大小為v0的相同粒子,垂直于M板向右的粒子,到達N板時的速度大小為;平行于M板向下的粒子,剛好從N板下端射出。不計重力和粒子間的相互作用,則( )。

圖12

A.M板電勢高于N板電勢

B.兩個粒子的電勢能都增加

D.從N板下端射出的粒子在電場中運動的時間

5.某游戲裝置如圖13所示,安裝在豎直軌道AB上的彈射器可上下移動,能水平向右射出速度大小可調節的小彈丸。圓心為O的圓弧槽BCD上開有小孔P,彈丸落到小孔時,其速度只有沿OP連線方向才能通過小孔,游戲過關,則下列判斷中正確的是( )。

圖13

A.彈射器位于B點時,只要彈丸射出時的速度合適就能過關

B.彈射器在軌道上的位置只要高于B點,彈丸射出時的速度合適都能過關

C.彈射器在軌道上的位置只有一個,且彈丸以某一速度射出才能過關

D.彈射器在軌道上的位置有兩個,只要彈丸射出時的速度合適都能過關

參考答案：1.A 2.D 3.A 4.C 5.C