關于2022年一道高考物理題的分析與拓展

侯奕龍 曾啟軒 王梓寧 李 惠

(湖南省株洲市第二中學，湖南 株洲 412000)

真題(2022年湖南卷第5題).2022年北京冬奧會跳臺滑雪空中技巧比賽場地邊有一根系有飄帶的風力指示桿，教練員根據飄帶的形態提示運動員現場風力的情況.若飄帶可視為粗細一致的勻質長繩，其所處范圍內風速水平向右，大小恒定且不隨高度改變.當飄帶穩定時，飄帶的實際情況最接近的是(如圖1所示)

圖1

這是2022年高考物理湖南卷第5題，正確答案是(A).最常見的錯誤思路如下：穩定后飄帶所受的空氣阻力(后面簡稱為風力)一定，取包括自由端在內的一段飄帶分析，其上端點越靠近固定端，該段重力越大，重力、風力的合力方向越靠近豎直軸.而上端所受拉力沿切線方向且與其他兩力合力平衡，越靠近固定端處的切線越陡，所以錯選(B).

但事實真是如此嗎？下面做一個小實驗來驗證.

1 實驗驗證與理論分析

準備一臺風扇(風速在出風口一定范圍內較為均勻,符合題設情境)和一根粗細均勻的柔軟細繩.固定細繩一端，讓其余部分全部位于出風口處，結果如圖2所示.從中可以看出細繩幾乎是一條直線，這是為什么呢？

圖2 勻質繩子在均勻空氣阻力下的形狀

均質長繩中任取一繩段，其重力、均勻風力對于每一段均質繩段來說，都是相同的，我們不妨把這兩個恒力作為等效重力，即每一段繩段都處于恒定的等效重力場中，這條均質繩自然只能在等效重力場中沿等效重力方向懸掛成一條直線.

大量考生選錯的另一個原因是生活中有些帶狀物隨風舞動時為圖1中選項(B)或者(C)的形狀，這又是為什么呢？我們進一步做實驗來模擬.

2 實驗拓展與進一步理論分析

2.1 拓展實驗現象

如圖3所示，若在均質繩末端掛一小重物(可視為質點)，則繩的形狀不再是直線，此時繩子的形狀最接近選項(C).若在繩子末端系一個重力幾乎為零，風力受力面積更大的物體(稱為阻力物)，待其穩定后繩子最接近于選項(B)(如圖4所示).

圖3 繩子末端夾磁鐵的形狀

圖4 繩子末端加高阻力物的形狀

風扇的風速受距離影響，并不均勻,為得到均勻風速，可在封閉環境用無人機吊著繩子勻速飛行.圖5、圖6為無人機下用均質纜繩懸吊重物的情況，重物如圖7所示的小鐵球.

圖5

圖6

圖7

2.2 拓展實驗的半定量理論分析

把均質繩粗略地分成質量相等的3段，每段質量記為m，重物質量記為M，則對第1段均質繩，重物，受力分析如圖8所示，從圖中可以看出，第2段繩對第1段的拉力方向更貼近豎直方向.

圖8 半定量分析

2.3 拓展實驗的定量理論分析

現在用微分方程分析3種情況下繩子的形狀.

繩子末端掛有一物體，該物體受到的空氣阻力為F，其質量為M，設空氣流速為v=1 m/s，空氣密度ρ=1.29 kg/m3，重力加速度g=9.80665 m/s2，該繩子的空氣阻力系數為C=0.5，繩子的寬度為d=0.001 m，質量線密度為λ=0.001 kg/m.

圖9

(1)

其重力為

(2)

在x處繩子的張力為T(x)，則x方向上

Tx(x+dx)=Tx(x)+df,dTx=df.

(3)

當x=0時，Tx=F.

在y方向上

Ty(x+dx)=Ty(x)+dG，dTy=dG.

(4)

又有

Ty=y′·Tx，dTy=y″·Tx·dx+y′·dTx.

(5)

聯立(1)～(5)式，解得

(6)

初值條件為

(7)

由于該微分方程十分復雜，無法解出嚴格解，以下為通過數值描點用Mathematica作出來的圖像.

圖10 Mathematica描點作圖

圖11 Mathematica描點作圖

圖12 Mathematica描點作圖

綜上所述，圖1中選項(A)是均質繩在均勻水平風力中的形狀；選項(B)和(C)是非均質繩在均勻水平風力中的形狀，或者說是均質繩在非均勻水平風力中的形狀.