在“雞兔同籠”問題中凸顯“結構”的力量

北京教育學院豐臺分院 李義杰

許多教師對“雞兔同籠”內容的教學有以下困惑：畫圖、列表、列式是解決“雞兔同籠”問題的不同策略，怎樣才能讓學生一一體會、分別掌握呢？學生的困惑是學習“雞兔同籠”到底有什么用，為什么要掌握多種方法。

師生的困惑引起了筆者的深入思考，也不由想到了結構化教學。結構化教學包括教學內容的結構化、教學形式的結構化、學生思維的結構化。結構化教學有利于深度學習的發生，有利于整體建構知識體系。回顧過去，“雞兔同籠”問題的原有知識基礎是什么？立足現在，畫圖、列表、列式雖然是不同方法，但是其背后的思維有無相通之處？展望明天，“雞兔同籠”的學習又能促進學生哪些方面的成長？筆者認為，教師想清楚這些問題，就能夠以整體性的、結構化的視角進行教學設計。

下面筆者以對“雞兔同籠”問題的研究為例，嘗試通過結構化教學，以“結構”的力量，讓學生經歷結構化學習，實現知識結構化、思維結構化和策略結構化，促使核心素養的培養落地。希望我們的設計和實施過程，能帶給一線教師些許啟示，能引發大家對結構化教學的思考。

一、從“單一”到“復雜”，孕伏知識結構化

心理學家奧蘇貝爾在其意義學習理論中指出，意義學習過程的本質是將學習任務與學習者的原有知識建立起一種非任意的、實質性的聯系。追本溯源，“雞兔同籠”從哪兒來？我們認為能夠表達份總關系的乘法模型可以作為其最為本源的已有知識。于是，教師創設活動，促使學生利用“每份數×份數=總數”這組數量關系，以此拉開學習“雞兔同籠”問題的序幕。

活動一：從“雞或兔”到“雞和兔”

先口答“1 只、2 只、3 只雞（或兔）分別有幾條腿”的簡單問題，再讓學生思考“雞和兔一共有6 只，有多少條腿”的復雜問題。學生經過交流不同想法才意識到后者是一個開放性問題，教師鼓勵學生記錄各種情況，通過觀察數據，引導學生發現雞、兔只數的變化會引起總腿數變化的規律，初步感悟：如果雞的只數多，總腿數就離12更近；如果兔的只數多，總腿數就離24 更近（如圖1）。

圖1

在這一活動中，學生對幾只雞（或兔）有幾條腿的問題對答如流，原因是這些份總關系故事里的主角只有一個，所以用份總關系2a（a表示雞的只數）、4b（b表示兔的只數）可以輕松解決。面對“雞和兔一共有6 只，有多少條腿”的問題，學生開始有些遲疑，隨后出現不同想法，最后達成一致，認同根據現有條件總腿數是不確定的。分析學生不能順暢解決問題的原因，不難發現，這個故事里的主角變成雞與兔兩個主角，于是份總關系演變成了2a+4b，且a+b=6，情況愈加復雜起來。從“單一”到“復雜”，學生將當下的學習任務與原有的知識經驗建立起了實質性的聯系。這一巧妙的設計不僅在上課伊始就孕伏了知識的結構化，也促使學生回歸思維原點，一一列舉成為解決問題的必經之路。學生在觀察、思考、交流中發現了只數與腿數的變化規律，為后續的理解和建構提供了思維支撐。

二、從“理解”到“建構”，實現思維結構化

《追求理解的教學設計》一書中強調，理解是多維的、復雜的，可以從多個不同卻又相關的視角認識它，解釋、闡明、應用、洞察、神入、自知，是理解六側面。結合理解的不同側面，進行結構化教學，可以讓學生在不斷深入地“理解”中建構認知結構。

再看“雞兔同籠”問題，雖然不同策略蘊含著不同的思考方法，但是各種解法之間又有內在關聯。因此，筆者重點聚焦列表法，以“枚舉試探”為抓手，引領學生逐漸進入深度思考，促進學生主動關聯，“理解”不同方法背后的思維相通之處，促使學生實現思維結構化。

活動二：解古代趣題——“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，雉兔各幾何？”

片段一：組織學生對不同作品（如圖2、圖3、圖4）進行辨析。

圖2 作品1

圖3 作品2

圖4 作品3

聚焦問題：為什么一開始列舉時雞要比兔的只數多？為什么要從雞有18 只、兔有17 只開始列舉？在列舉的過程中怎么想到要“跳一跳”的呢？

通過辨析，學生的思維逐漸被激活，能夠主動關聯活動一的經驗，結合35 只雞有70 條腿，35 只兔有140 條腿，94 離70 更近，初步判斷雞的只數更多。從這些作品中不難看出學生思維的變化和成長，學生在探究中逐漸感受到一一列舉費時費力，于是向前勇敢地邁出了一大步，即萌發了跳躍意識。有的學生還能較為靈活地進行調整，或從“起點”嘗試小步跳躍，或借助平均分從“中點”直接起跳。通過聚焦對比列舉數據之間的關系，學生充分表達自己的思維過程，當學生用有意義的數學語言進行推理時，我們仿佛看到了他們長長的思維鏈條。

片段二：呈現學生作品（如圖5、圖6）。

圖5 作品4

圖6 作品5

師：誰能讀懂這兩幅作品的意思？它們的意思一樣嗎？

生1：這兩幅作品表達的意思其實是一樣的。假設全是雞，總腿數是70 條，比94 少24 條。一雞變一兔，腿數要增加2 條，24 里有12 個2，有12 只雞要變成兔，所以雞是23 只。假設全是兔，總腿數是140 條，比94 多46 條，一兔變一雞，腿數要減少2 條，46 里有23 個2，有23 只兔要變成雞，所以兔是12 只。

師：這種“假設法”與剛才列表的方法有聯系嗎？

生2：我覺得假設法就是從0 只雞或者0 只兔的情況開始的，直接一步跳躍就能得到結果，它跟剛才列表的那些作品的道理其實是一樣的，都是先假設，再尋找答案。

雖然教材不要求用“算術法”解決“雞兔同籠”問題，但是在學生自主探究嘗試列舉的過程中，想跳得快些、跳得準些的樸素想法，促使學生自覺遷移已有認知，使“算術法”的出現成為學生思維的迫切需要，使想用簡潔與準確的數學語言進行表達成為必然，也讓學生對課堂上出現的按照套路列出的算式，得以“知其所以然”。算術方法中的“跳”，不是從半截開始起跳，算術方法從全假設成雞或全假設成兔開始，其實就是直接從“無”一次性精準地跳躍到“幾”。

至此，大家普遍認為原本看起來笨笨的、麻煩的一一列舉的方法，實際上“大巧若拙”，同時它也“暗藏乾坤”，既可以在試探中進行跳躍枚舉或取中枚舉，體現數學思維的靈活性，也可以在推理、計算中調整得“一步到位”，體現數學思維的嚴謹性。總之，它是思考“雞兔同籠”問題的思維原點，是真正的通性通法。

以前，我們總是習慣性稱“算術法”為“假設法”，現在學生也能感受到列表時無論是從幾只雞、幾只兔開始都是在假設；畫圖時無論先畫幾只雞、幾只兔，還是不畫雞（兔）只畫兔（雞）同樣是假設。由此一來，不同方法的思維路徑都源于“假設”，思維過程都經歷“比較”和“調整”，都是在假設前提下的嘗試與調整。將不同方法借助思維結構化的力量“合而為一”，讓數學思維看得見、抓得住，幫助學生從“理解”轉向“建構”，實現思維結構化。

三、從“遷移”到“完善”，實現策略結構化

“雞兔同籠”問題要“到哪里去”？如何凸顯學習“雞兔同籠”問題的價值呢？答案就在活動三的內容設計中。

活動三：學生自主選擇解決實際問題（如圖7）

圖7

在課堂上，教師為學生創設的這些合適的、具有啟發性的真實情境，有助于促進學生的理解。在這一過程中，學生也能夠自發地借助摘錄條件（如圖8），抽象出數量關系，進一步明確類似問題的結構特征，逐漸深入地體會“雞兔同籠”問題的現實意義，發現“雞兔同籠”問題具有廣泛的應用性。

圖8

這些實際問題，無論是問題主角還是問題表述，越來越不像“雞兔同籠”問題，尤其是最后一個，乍看和“雞兔同籠”毫不相干，而學生依然能夠順利解決。這種積極的遷移，反映出學生對“雞兔同籠”問題的認知已經從“特殊”走向“一般”，說明學生能夠從現實生活情境中抽象出具有兩個主角的復雜份總關系，具備了數學的眼光，同時在遷移的過程中完善了結構，實現了策略的結構化，培養了學生的模型意識，促進了學生用數學的語言表達真實生活的素養提升。

綜上所述，學生在分析、解決不同情境中的實際問題的過程中，從會解決“一個問題”過渡到會解決“一類問題”，利用已有的認知完成了知識的建構。教師通過結構化教學，讓學生經歷結構化學習歷程，實現了知識結構化、思維結構化和策略結構化，充分彰顯了“結構”的力量。