雙機協同無源定位算法

康 旭，王德江，張 濤

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所航空光學成像與測量重點實驗室，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049）

隨著網絡技術的發展，分布式被動探測系統、無線傳感器網絡等探測體系已在軍事領域得到廣泛應用。與其相關的多站信息融合和聯合定位目標問題也得到了深入研究。分布式無源定位系統利用載機觀測到目標的到達角（Angle of Arrival，AOA）來估計目標位置[1-8]。雙機協同能在較廣泛的區域內利用傳感器獲得目標方位數據，實現對目標的定位。角度測量值是目標位置的非線性和非凸函數，不能直接求解；且測量值受噪聲干擾，對目標的定位精度會產生很大影響。可以利用統計學知識對定位誤差進行分析，研究出更有效、魯棒性更強、定位精度更高的定位算法。

無源定位過程中，獲得目標AOA 測量值的常用方法是在載機上使用紅外探測系統或天線陣列。目前，利用AOA 測量值進行目標定位已經得到廣泛研究。基于AOA 測量，Stansfield 首先推導了1 種基于AOA 的單站定位方法[9]；Nardone 等建立了基于極大似然原理的估計方法（Maximum Likelihood，ML），提出了理想估計器的概念，并給出了克拉美羅下界（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB）的估算方法[10]；Torrieri等提出了協同定位的經典極大似然估計方法[11]；Motti等對比分析了最大似然估計器與Stansfield 估計器的性能[12]；Allen 等提出1 種偽線性估計算法（Pseudolinear Estimation，PLE），并給出最小二乘解，但存在偏差的問題[13]；Kutluyil發展了偏差減小的偽線性估計（Bias Reduced Pseudolinear Estimation，BRPLE）并建立了1 種漸進無偏的加權工具變量估計器[14]；Alba 等提出了純方位目標定位的最小二乘算法（Least Squares，LS），并給出其封閉形式的解[15]；Sohn等利用三角測量對目標進行定位[16]；Sharma等假設目標高度為0，對地面運動目標進行定位，并通過擴展卡爾曼濾波提高定位精度[17]；Cheng 等通過兩點相交定位對地面目標進行定位，并使用最小二乘迭代提高定位精度[18]。

以上方法針對的是地面目標的定位，并不能用于遠距離空中目標。Bai 等提出1 種改進的交叉定位算法，提高對遠距離空中目標的定位精度[19]；Sun等給出了1種基于改進極坐標系的純方位定位算法的特征向量解[20]。

上述基于AOA 測量的算法研究，讓我們更加看好雙機協同定位的發展前景，但針對不同場景如何選擇定位算法仍困擾著我們。本文從基于最小二乘法的定位算法和基于最大似然估計理論的定位算法兩方面來分析目標定位理論，并使用MATLAB對不同誤差條件下的目標位置估計的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）進行對比，從多個角度對比不同場景下算法的性能。

1 基于純角度信息的雙機定位模型

如圖1 所示，2 架無人機si=[xi,yi,zi]T(i=1,2 )，協同定位輻射源u=[x0,y0,z0]T。每架載機觀測到的AOA與輻射源位置間的關系如下：

圖1 AOA定位模型Fig.1 AOA localization model

式（1）中，θ0i和?0i分別表示輻射源相對載機的方位角和俯仰角真值。

實際中，AOA測量值不可避免地受到噪聲干擾：

式（2）中，測量噪聲nθi和ni?是服從均值為0，方差分別為σ2θ和σ2?的獨立高斯白噪聲。

2 基于AOA測量值的定位方法

載機一般通過攜帶的GPS確定自身實時位置，結合輻射源的AOA 測量值通過三角測量法估計輻射源位置。受噪聲干擾的測量值會導致估計誤差，利用統計學理論可以有效減小誤差。下面介紹基于最小二乘法和極大似然估計法的定位方法。

2.1 最小二乘類定位方法

對式中的反正切函數變形得到輻射源與測量值的關系可表示為：

將所有載機的測量按式（3）的形式堆疊成矩陣：

2.1.1 普通最小二乘法

普通最小二乘法考慮了受噪聲影響的測量值對向量b的影響，通過忽略高階噪聲項的泰勒展開，近似得到向量真值為b0=b-eb，其中，eb表示殘差。

通過最小化殘差平方和

可得輻射源位置坐標為：

2.1.2 加權最小二乘法

普通最小二乘法認為測量值對結果的影響具有一致性，但實際中，方位角和俯仰角的測量噪聲方差不同。因此，不同噪聲的測量值對結果的影響權重不同。若已知噪聲nθi和ni?的統計分布，可得測量角噪聲協方差矩陣為

與普通最小二乘法相似，利用最小化殘差平方和

可得輻射源位置坐標為：

2.1.3 總體最小二乘法

如前所述，普通最小二乘法一般認為向量b受測量噪聲影響。但式中A和b都由測量值得到，應等價看待它們。令A0和b0分別為觀測矩陣和觀測向量真值，通過泰勒展開將觀測矩陣和觀測向量真值分別表示為A0=A-E和b0=b-e，其中E和e為誤差項。對此，同時引入校正向量Δb和校正矩陣ΔA，對b和A內存在的誤差進行補償，以抑制噪聲對輻射源定位精度的影響，從而實現有誤差的矩陣方程求解向精確矩陣方程的求解的轉換：

此時，總體最小二乘問題可用約束最優化問題來表示：

方程解為增廣矩陣[A,b]的最小奇異值對應的右奇異向量，也就是[A,b]T[A,b] 的最小特征值對應的特征向量。

2.2 最大似然類定位方法

盡管最大似然估計受初始值的影響存在局部最優的問題并具有較大的計算復雜度，但由于其漸進無偏性，故常作為性能比較的基準。在高斯噪聲假設條件下，方位角和俯仰角測量的似然函數是1 個多元高斯概率密度函數：

式（14）中，J是最大似然代價函數：

2.2.1 高斯-牛頓迭代法（GNIM）

一般使用高斯-牛頓迭代法求解ML 估計問題。對于沒有封閉解的非線性最小二乘估計問題式，迭代步驟如下：

式（16）中：u(k)是第k次迭代值，利用簡單的算法或先驗知識可以得到；e(u)=Ψ-ψ(u)，J(k)是u估計值為u(k)時的Ψ(u)的雅可比矩陣

一般按式（16）迭代2～4次即可得最優解。

2.2.2 加權工具變量偽線性估計法（WIVPLE）

在小噪聲假設下，采用偽線性估計使最大似然代價函數線性化，線性化過程利用2 個二次代價函數分離方位角和俯仰角：

式（18）中，uxy=u(1 ∶2 )，uz=u( 3)。

由式（18）我們可以發現：代價函數J1(uxy)只取決于方位角測量；而代價函數J2(uxy,uz)同時取決于方位角和俯仰角。我們將J的最小化求解過程分解2 步：首先，通過最小化J1(uxy)，解得uxy；然后，將其代入J2(uxy,uz)，再通過最小化J2(uxy,uz)，解得uz。

在小噪聲假設下，(θi-θi(u) )和(?i-?i(u)) 近似為0，可表示為：

式（19）中，sxy,i=si(1 ∶2 )。

式（15）近似為：

由于式（20）求和項中第1項的分母項未知，將其去除后問題簡化為：

同理解得式（20）求和項中第2項：

由于上述對數似然函數線性化過程中引入了誤差，影響輻射源位置的估計精度。線性矩陣等式為，誤差項分別為其估計偏差主要是由F和η間的相關性引起，因此，可通過修改式來消除：

目標位置估計值為：

式（24）中，工具變量H基于目標的初始狀態參數估計構造，即是利用目標位置估計值得到的方位角。

2.2.3 克拉美羅界（CRLB）

確定任何無偏估計量的方差下限在實際中非常重要，它揭示了所討論的模型中，估計結果的均方根誤差下限或估計精度上限。根據似然函數式（15）有：

此外，可通過Fisher信息矩陣（FIM）計算得到：

式（26）中：J0是目標在真實位置處的雅可比矩陣；K是噪聲協方差矩陣。

3 仿真實驗

為直觀比較算法優劣，本節我們利用蒙特卡洛數值模擬進行仿真實驗。目標定位精度的仿真結果用RMSE表示，其計算方式為:

式（27）中：u是源位置的真值；u?i是第i次仿真得出的u估計值；L=1 000 是蒙特卡洛實驗次數。

此外，我們使用CRLB 根作為性能評估的基準。ML 是漸近無偏的，但需要迭代和接近真實源位置的初始值。在實際中，目標的真實位置是未知的，在此我們以普通最小二乘法的解作為ML迭代初始值。

場景1：按圖1建立笛卡爾坐標系，設置2種幾何構型。固定載機到目標間距都是10 km，其中：較好幾何構型設置目標相對兩載機的張角為90°；較差幾何構型設置目標相對兩載機的張角為45°°。較好幾何構型中載機位置分別為s1=(1 0,0,0.8 )km 和s2=( - 10,0,0.8) km，輻射源位置坐標( 0,10,1) km；較差幾何構型中載機位置分別為s1=(1 0,0,0.8) km 和s2=( 0,10-10 2,0.8 )km，輻射源位置坐標( 0,10,1) km。為了便于分析，本文忽略了載機的位置誤差，并且令方位角和俯仰角的測量誤差服從均值為0，標準差分別為2ρ和ρ的高斯分布。如圖2所示，當載機與目標間的幾何構型不同時，目標的定位精度也不同。

圖2 瞬時定位仿真結果Fig.2 Simulation results of instantaneous localization

圖2 a）和b）分別描述了較好幾何構型與較差幾何構型在ρ的標準差從0.5°°～5°°的范圍內，目標位置的定位精度變化趨勢。

顯然，較好幾何構型可大大提升定位性能。在小誤差范圍內，這些算法性能都能接近CRLB，且定位精度相差不多，隨著角度測量誤差增加，目標的定位精度降低。當幾何構型較差時，算法間的優劣更加明顯。圖2 b）得出：ML類的算法中，以普通最小二乘法估計結果作為初值的高斯-牛頓迭代法定位精度最高，但是需要迭代，其計算復雜度較高；加權工具變量偽線性估計不需要迭代計算，但定位精度較低；LS 類算法中，加權最小二乘法考慮了不同測量值的權重，定位性能最高，且LS類算法計算復雜度相對ML類算法具有天然的優勢。因此，我們應該根據定位性能和計算復雜度的需求選擇合適的算法。

下面對載機對目標持續觀測的場景下進行仿真。

場景2：在場景1 的前提下，設置載機s1速度為( 0.24,0.24,0 )km/s；載機s2速度為( 0.24,0.24,0 )km/s。角度傳感器采樣頻率為50 Hz，令載機對目標連續觀測1.5 s，其余參數設置同場景1。

如圖3所示，當載機與目標間的幾何構型不同時，目標的定位精度不同。

圖3 持續觀測定位仿真結果Fig.3 Simulation results of continuous observation and localization

與圖2相比，由于可利用測量值增多，目標定位精度增加。圖3 a）和b）分別描述了較好幾何構型與較差幾何構型在ρ的標準差從0.5°°～5°°的范圍內，目標位置的定位精度變化趨勢。

顯然，較好幾何構型可大大提升定位性能。與瞬時定位不同，較好幾何構型的持續觀測場景中，ML類算法的定位性能降低，且其計算復雜度隨著測量值數量增加而增大；但較差幾何構型中，加權工具變量偽線性估計在測量噪聲較大時具有最佳的定位性能。LS類算法始終具備較好的定位性能。此時，我們應該根據需求選擇合適的定位算法，但LS 類算法具有較大優勢。持續觀測的目標定位精度變化趨勢與瞬時目標定位精度相同，都隨著誤差增加而降低；但其定位精度明顯高于瞬時定位，因為載機觀測時間增加，對目標的觀測信息增加，目標位置的定位精度顯然增加。由圖3可知，隨著角度誤差增大，ML類算法估計目標位置的精度逐漸優于LS類算法估計目標位置的精度；大多數情況下，偽線性估計目標位置的精度最低，但當載機與目標間的幾何構型較差且測角誤差較大時，其對目標位置的定位精度最高。因此，應根據實際需求選擇合適的算法。

4 結論

本文介紹了幾種基于AOA 的無源目標定位算法，并使用蒙特卡洛法進行仿真實驗對比。仿真結果顯示：在不同幾何構型和觀測條件下，隨著測量噪聲增大，不同算法對目標定位精度和計算復雜度不同，且不同算法間精度存在較大差異；應該根據不同的需求，選擇合適的算法。