基于Kriging與多點取樣算法的壓氣機特性建模

徐竟耕，曾 力

（重慶交通大學機電與車輛工程學院，重慶 400074）

作為航空燃氣輪機的基本部件，壓氣機對空氣的流通運送起著至關重要的作用，其功能為：先對空氣進行減速增壓，再向燃燒室里不斷輸入高壓空氣，以提高氣流的膨脹功，使整個發動機系統的熱效率得到增強[1-2]。流量系數不僅是衡量壓氣機空氣流通能力的重要指標，也是直接影響燃氣輪機數字化建模精度的重要參數。當計算流量系數時，需要根據已知的燃氣輪機實驗數據來建立插值模型，但實驗數據的獲取成本卻較高。因此，如何利用有限的實驗數據，借助合適的建模方法構造出高精度的插值模型便成為最值得研究的問題之一[3-4]。

目前的壓氣機特性建模方法都存在對流量系數的預測精度不高的問題[5-6]。為了優化插值模型，提高預測精度：陳輝等在Kriging 插值法的基礎上，建立了符合壓氣機流量特性的插值模型，探索了相關模型和參數初值的選取對最終結果的影響[7]；尹大偉、李本威等根據壓氣機的流量特性和效率特性，在原有模型基礎上進行了重新構造[8]；Ghorbanian K and Gholamrezaei M等通過實驗發現，雖然BP神經網絡對壓氣機特性的預測效果較好，但卻難以確定合適的網絡結構，最終導致出現“欠擬合”或“過擬合”的現象[9]；涂環、趙勇和李本威等選擇了QPSO 算法，在Kriging 相關模型的基礎上，在全局尋找最優參數[10]，通過該方法，優化了基于梯度的模式搜索法，使其不再須要考慮參數初始值。

上述方法雖都可提高計算壓氣機流量系數的模型精度，但卻未考慮到Kriging 插值模型的不足，即樣本庫里的換算轉速與待預測數據的換算轉速的數值相差較大時，是無法得到高精度計算結果的。另外，這些方法也未考慮在到利用設計空間中樣本點的分布與模型精度的關系來提高預測精度的同時節省樣本點。

因此，本文采用了1 種基于垂距的多點取樣算法。將垂距、預測標準差等參數作為篩選標準，再結合高斯函數，篩選出更具有代表性的樣本點，以此建立Kriging插值模型，該算法可以在全局和局部范圍內提高模型精度。實際結果表明，使用該方法構建模型時，需要的樣本點數減少近30%。待預測數據與樣本庫的換算轉速不同時，對比傳統Kriging 插值模型，精度提升近10%。

1 Kriging插值法

Kriging插值法是通過對樣本賦予權重，通過加權線性組合的辦法對目標估值，同時滿足無偏估計要求，且滿足估計方差最小[11]。結合壓氣機特性，建立Kriging插值模型，首先定義輸入與輸出向量。

輸入的樣本向量如下：換算轉速為

增壓比為

輸出的樣本向量如下：

流量系數為

換算轉速和增壓比作為模型輸入，記為

對應的模型輸出為流量系數，記為

模型的輸出與輸入變量可表示為[12]

式（6）中：fT(x)β是回歸模型，被稱為定性漂移；fT(x)是p階線性多項式的回歸模型集合，f(x)=[f1(x)f2(x)…fp(x)]T；β是 回 歸 模 型 系 數，β= [β1β2…βq]|p×q。回歸模型的理論概念為在設計空間上的全局近似。多項式的階次大多數情況下選擇為0階（常數）模型[13]。

z(x)為一隨機函數，且滿足：

式（8）中：R代表相關系數矩陣；矩陣中的元素r是衡量2 個不同的樣本點之間距離的函數，它用來表征輸入變量之間的空間相關性，即：

式（9）中：N為輸入變量中元素的個數；xki、xkj分別是輸入向量xi、xj的第k個分量[14]，k＝1,2,…,N；Rk(θk,dk)為相關函數，常用的相關模型有球狀模型、指數模型、線性模型和高斯模型。本文選擇高斯函數來確定輸入變量之間的相關性，其形式如下[15]：

將式（6）代入式（5），所以模型輸出向量根據計算可以表示為：

式（11）記為：

設待估計點為xnew，則待估計的輸出點為：

c為樣本點的權重向量，由于無偏估計要求，所以E[y?(xnew)-y(xnew)]=0，通過構造拉格朗日算子，代入式（14），可得估計值及回歸系數β*的表達式，即：

式（15）中，γ*=R-1(Y-Fβ*)。

估計值的方差為：

2 基于垂距的取樣算法

在選點的過程中，首先需要全局尋找不確定性較大的數據點[16]，還須要結合曲線特征，精確地反映曲線的曲率大小。基于垂距的多點取樣算法便考慮到了以上2點[17]。選擇樣本曲線上的某1個單點，計算該點與相鄰2 點連線的垂距，通過判斷垂距大小的方式來完成初步選點，再結合預測不確定性的思想，進行第2次篩選。在換算轉速相同的情況下，每1 個增壓比都會存在1 個與之對應的流量系數，即它們之間存在一一對應的關系，所以，在保持換算轉速不變的情況下，可以只根據增壓比和流量系數來計算垂距，進而將原本的三維樣本空間簡化為二維樣本空間。在計算之前，要根據現有的樣本數據建立初始樣本點集{ }O和基礎點集{M}，建立Kriging 插值模型來判斷點集{O}是否滿足目標精度，然后再使用取樣算法對{M}進行選點，篩選出的樣本點組成1個新的樣本點集{ }A，將點集{ }A加入到初始樣本點集{ }O中。重復以上步驟，一直往初始樣本點集{ }O中加點，直到Kriging 插值模型能達到預期的精度要求。基本流程圖，如圖1所示。

Synthesis, properties and industrial applications of amino acid surfactants 12 5

圖1 基于垂距的多點采樣算法流程Fig.1 Flow chart of multipoint sampling algorithm based on vertical distance

步驟1：在某一相同的換算轉速nm下，壓氣機增壓比和流量系數之間的關系是一一對應的，即有

其中，t表示在這一換算轉速下，流量系數與增壓比的樣本數量。m為換算轉速的樣本數量。建立初始樣本點集{ }O，則剩余的樣本點組成點集i=0,1,2,…}。使用當前的點集來建立Kriging 插值模型，提取出誤差最小的點Mk。集合M的式子為：

步驟2：依次檢測當前換算轉速下的樣本點的數量是否大于等于3。如果是，則當前換算轉速下的所有樣本點進行步驟3；如果否，則對下一個換算轉速下的樣本點數量進行檢測。

步驟3：連接Mi-1，Mi+1，計算點Mi到Mi-1Mi+1連線的距離D。式（19）為D的計算公式：

D值的高低能夠準確地體現曲線在這一點的彎曲程度，找到合適的垂距閾值d，檢測D與d的大小關系。如果D＆gt;d，進行步驟4；如果D＆lt;d，進行步驟5。

步驟4：將Mi以及該換算轉速下的首尾2 點提取到另一新建空點集{N}，進行第5步。

步驟5：將Mi在點列中后移1個點，進行步驟3。

圖2中：a）為基礎點集{M}組成的圖形；b）代表以垂距作為判斷標準的選點；最后被選取的點組成的點集{N}，如c）所示。將c）與a）進行比較，可以看出留下的樣本點大部分都是能夠反映原始曲線特征的樣本點。

圖2 基于垂距的曲線采樣方法示意圖Fig.2 Schematic diagram of curve sampling method based on vertical distance

閾值d的選擇沒有明確的計算公式，也與樣本點集無關[18]。所以,本文在考慮閾值的取值時，采用迭代法來尋找最佳閾值。

首先，根據樣本點的垂距判斷閾值的取值范圍。

然后，再取多個合適的初始閾值，并設置一定的間隔，間隔的取值范圍取決于不同樣本點的垂距之差。判斷每一次迭代的選點數以及最后計算結果的精度：如果在選點數為“0”的情況下依然沒有達到目標精度，則須更換初始閾值或者閾值間隔，以進行下一次迭代；如果達到目標精度，則記錄計算結果并進行下一次迭代。

最后，將得到的計算結果進行比較，以篩選出最佳閾值。

根據上述流程，篩選出了能夠體現原始曲線圖形特征的樣本點。為了預測不確定性，須使用Kriging插值模型計算點集{N}中各點處預測值的標準差，將標準差按式（20）進行再次篩選，篩選后得出的點便構成了候選點集{P}。

把先前所計算出的誤差最小點Mk加入到{ }P里，接下來尋找{M}中與{P}相關的點并將它們去除，此步驟需要使用高斯相關函數。選取合適的判斷標準值，根據計算出的相關函數R與標準值進行比較，以此判斷是否相關。刪去{M}中與{P}相關的點以后，將剩余的點提取到1個新的樣本集{A}中，加上初始樣本{O}，最終樣本點集為{A+O}。

3 仿真驗證

將換算轉速相同的樣本點記為1 組樣本，現有某型燃氣輪機壓氣機流量系數樣本共15組[19]，每組有10個樣本點，一共150個樣本點。

隨機選取1組樣本為待驗證樣本，剩下的14組作為訓練樣本，進行隨機抽取3 次。分別將原始樣本點和基于垂距的多點取樣算法篩選后的樣本點作為Kriging插值模型的輸入。待驗證的3組樣本點，如表1所示。

表1 待驗證樣本點Tab.1 Sample points to be validated

首先，從14組訓練樣本中的每組隨機抽取1個樣本點（除首尾2 點），建立初始樣本點集{O}。剩余的126 個樣本點則組成基礎樣本點集{M}，在此初始基礎樣本點集{M}中搜索誤差最小解，得到點Mk。

只有在同一換算轉速下且樣本點滿足數量大于等于3 的條件時，才計算垂距。這樣便降低了原本樣本空間的維度，可以簡化計算公式，提升計算效率。依次檢測給定換算轉速下的樣本點的數量，并設置好垂距閾值d、相關函數R等初始參數。

開始對待驗證樣本點進行預測，表2 是對3 組待驗證樣本點的預測過程與結果。

預測第1 組待驗證樣本點，選取換算轉速等于0.331 5 的樣本點組，根據垂距的大小，選取的垂距閾值d依次為0.001 和0.001 5，b取值為0.1 和0.2，相關函數R判斷標準分別為0.000 1 和0.000 1，加點次數為2次，加點個數分別為76和11。

預測第2 組待驗證樣本點，選取換算轉速等于0.529 2 的樣本點組，根據垂距的大小，選取的垂距閾值d依次為0.001和0.002，b取值為0.35和0.45，相關函數R判斷標準分別為0.1和0.2，加點次數為2次，加點個數分別為75和35。

預測第3 組待驗證樣本點，選取換算轉速等于0.847 8 的樣本點組，根據垂距的大小，選取的垂距閾值d依次為0.001、0.001 5、0.002 和0.002 5，b取值分別為0.1、0.2、0.3 和0.4，相關函數R判斷標準分別為0.000 1、0.000 12、0.000 14 和0.000 16，加點次數為4次，加點個數分別為74、10、4和3。

最后，驗證選點后的模型精度，并與選點前的Kriging 插值模型進行比較。用均方根誤差（Root mean square error，RMSE）和最大絕對誤差（Max absolute error，MAE）這2 項指標來驗證，判斷全局精度和局部精度，均方根誤差公式為[20]：

式（21）中：m為1 組驗證樣本（1 條等換算轉速曲線）中樣本點的個數；y?為預測值；yi為實際值。

圖3 為流量系數插值示意圖，黑色曲線為流量系數的實際值。可以看出，相比選點前的Kriging模型的插值精度，選點后的Kriging模型預測值的紅色點更靠近代表實際值的黑色曲線。表3是2種方法結果的精度檢驗。可以看出，對3組樣本進行預測后，使用本方法的RMSE和MAE，都有明顯降低。

圖3 流量系數插值示意圖Fig.3 Schematic diagram of flow coefficient interpolation

表3 誤差比較Tab.3 Comparison of errors

當換算轉速為0.847 8時，選點后的模型相較于選點前的模型精度有較大提高。造成這種結果的原因是該換算轉速下的樣本點過于冗雜，在對曲率較小的曲線部分進行預測時容易受到其他多余樣本點干擾。而選點后的模型使用的樣本點都具有代表性，這便淡化了多余樣本點帶來的負面影響，有效解決了此類問題。

4 結論

為了提高航空燃氣輪機流量系數的插值建模精度，同時也為了減少使用樣本的數量，在傳統Kriging代理模型的基礎上，采用了基于垂距的多點取樣算法。首先，根據垂距來刪除多余冗雜的樣本點；然后，使用預測標準差與高斯相關函數來判斷樣本點的相關性；最后，只篩選出具有代表性的樣本點，以此來提高Kriging插值模型精度。仿真表明，該選點方式有效可行，且具有以下特點：

1）采用該取樣算法選點后，Kriging 模型針對單目標點的插值精度得到了明顯的提高；

2）該算法能夠選出最優點，并刪除與之相關的點，節省了構建模型時所需要使用的訓練樣本數量；

3）選出的點能夠與原始曲線形狀相適應，提高了全局精度和局部精度，進而提高了計算效率。