指向學生“數學觀念”形成和發展的教學實踐

【摘要】基于波利亞的“怎樣解題表”，按照厘清題設條件，明確問題本質；探尋思維方向，找準思維路徑；運用代數轉化，表征幾何特征；回顧解題過程，建構數學觀念四個步驟設計剖析一道解析幾何試題的教學流程，探索促進學生數學觀念形成和發展的教學實踐策略.

【關鍵詞】觀念建構;解析幾何;試題剖析

1問題提出

米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一書中提到：學生經歷過學校數學教育后，數學的精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等將被深深銘刻在學生的頭腦中，隨時隨地發生作用，使他們受益終生.這些植根于學生頭腦中的思想、方法、觀點就是數學觀念［１］.數學觀念的形成既不可能是空中樓閣，也不可能通過大量數學知識的堆積自發形成，而是在學生對數學知識的深刻理解和實際應用過程中不斷反思概括生成的．因此，數學教師應當通過具體的教學活動實踐夯實學生的知識基礎，滲透數學思想，提升學生數學思維能力，促進學生數學觀念的形成和發展.本文將按照波利亞的“怎樣解題表”中研究問題的步驟設計剖析一道解析幾何試題的教學流程，探索促進學生數學觀念形成和發展的教學實踐策略.

2指向學生“數學觀念”形成和發展的實踐活動

按照波利亞的“怎樣解題表”將研究問題的過程分為以下幾個步驟：第一步，準確理解題意，明確問題的本質；第二步，找準解決問題的思維方向，尋找思維路徑；第三步，進行數學運算轉化，建立題設條件與結論之間的關聯；第四步，回顧反思.其中確定解決問題的思維方向決定著解題效率的高低，是能否成功解決問題的關鍵步驟.學生頭腦中有什么樣的數學觀念就會產生相應的思維方向.

2.1厘清題設條件，明確問題本質

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過動點P的兩條直線l1，l2均與C相切，且l1，l2的斜率之積為－1，點A（－3，0），問：是否存在定點B，使得PA·PB=0？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由.

本題考查的是解析幾何中的定點定值問題，條件簡潔，結論明確.本題中涵蓋的條件有：兩直線的交點，直線與橢圓相切，兩直線垂直.結論是探究存在定點使得數量積恒為零.解析幾何中的定點定值問題直觀反映了曲線“動中有靜”的特性，其本質是數學中的恒成立問題.探究解析幾何中恒成立問題的兩種常用方法是先猜后證和多項式恒等.先猜后證方法中蘊含了數學探究、直觀想象、邏輯推理等核心素養；多項式恒等方法蘊含函數與方程、等價轉化等數學思想方法.兩種方法都需要學生擁有完備的基礎知識、基本技能、基本方法和基本數學活動經驗，掌握宏觀的、概括的上位知識，建立起研究問題的高階觀念.因此，本問題能夠較好地考察學生的數學基礎知識、數學思維水平和數學關鍵能力.

2.2探尋思維方向，找準思維路徑

解析幾何的基本思想是用代數的方法研究幾何問題，邏輯推理和運算求解是處理解析幾何的關鍵能力.解析幾何的試題一般入口較寬，很容易“上手”，但是不同解法間運算量的差異很大，有的是“可望而不可及”.為此，在解析幾何的教學中要特別注重對不同方法的運算思路和運算量進行分析、比較，找出差異，以便明晰算理，引入恰當的參數，探尋運算的最佳路徑，提升處理解析幾何問題的關鍵能力.

怎樣才能迅速、準確地確定解決問題的思維方向，找準思維路徑？最為重要的是學生要能從不同視角審視問題，看清問題的本質.為此，教師可以通過指導學生畫出研究問題的思維導圖，厘清研究問題的思維過程，明晰解決問題的算理，選擇簡潔合理的運算路徑.

這是一道探究定點是否存在的問題，問題中的點A是定點，點P是動點，并且滿足PA·PB=0，根據平面幾何可知，如果定點B存在，則動點P的軌跡是圓，圓的直徑是線段AB，因此可以探究動點P的軌跡方程，確定動點P軌跡，進而確定定點B的位置.

研究本問題的思維導圖如下：

畫出思維導圖，找到解決問題的思維方向后，需要學生洞悉問題的數學本質，明晰解決問題的算理，引入恰當的參數參與代數運算，表征轉化幾何特征.

2.3運用代數轉化，表征幾何特征

在進行代數運算轉化時，要根據學情，從學生最容易想到的通性通法入手，在此基礎上，調整思維方向，變更研究問題視角，提升思維層次，優化解題方法.基于此，確定此問題的思維進階層次為：

按照思維進階的層次確定本題的評講順序為：設出兩條直線方程解出交點P，利用兩直線垂直關系和直線與橢圓相切知識，求出點P的軌跡方程；利用方程同構思想，構造出以兩切線斜率為根的一元二次方程，根據韋達定理化簡得出點P的軌跡方程；利用曲線與方程思想，得到切點弦方程，根據直線與橢圓相交的位置關系，聯立方程組，轉化得出點P的軌跡方程.

2.4回顧解題過程，建構數學觀念

平面解析幾何中探究動點軌跡方程方法的本質是建立動點橫縱坐標之間的等量關系［２］.基于對問題中動點P的生成過程、地位、作用等不同的認知角度，得到了三種不同的解題方法，三種解法對應著三種不同的思維方向和思考路徑.解法一是從生成動點P的過程思考問題的，將動點P看成是兩條動直線l1，l2的交點，支撐這一想法的觀念是“交軌觀念”；解法二是從動點P的地位思考問題的，將動點P看成是生成兩條動直線l1，l2的一個幾何元素，設出兩直線l1，l2方程的統一形式，支撐這一想法的觀念是“同構觀念”；解法三是從動點P的作用思考問題的，將動點P的坐標看成是兩條動直線l1，l2方程中的參數，得到切點弦方程，支撐這一想法的觀念是“曲線與方程觀念”.

3教學思考

3.1試題剖析指向知識建構

數學知識是數學思想、數學思維、數學核心素養的根基，學生在建構結構完善的知識體系的過程中，可以生成更好的數學觀念.試題剖析時首先要厘清試題中包含的數學知識，幫助學生回顧、重構相關的知識體系.本案例中涉及的知識有兩條直線的交點、直線與橢圓相切、直線與圓相切、韋達定理等.在回顧、重構相關知識的同時，教師還應幫助學生進一步完善知識體系，將兩直線交點拓展到直線與曲線、曲線與曲線的交點，將直線與橢圓相切的關系拓展到直線與圓錐曲線的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等.經此拓展，學生的知識大樹便會養分充足，枝繁葉茂，根基牢固，為更多數學觀念的形成奠定堅實的基礎.

3.2試題剖析指向思想建構

數學思想方法是數學的精髓和本質.在試題剖析時以某一思想方法為主線，對問題進行探究，揭示問題的本質，讓學生感受同類問題的通性通法.本案例教學中，三種講評方法中分別蘊含方程（組）思想、轉化與化歸思想、同構思想、曲線與方程等數學思想，在不同數學思想的指引下，分別產生不同的知識應用和方法應用，體現一題多解，多解歸一，拓寬學了生的解題思路.三種講評方法的指向又是統一的，都是建立動點P的軌跡方程，確定動點P的軌跡，體現了解析幾何中用方程研究曲線的基本思想，促進學生更加深刻體會解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何問題.

3.3試題剖析指向思維提升

普通高中課程標準指出，數學教育要引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界，促進學生思維能力的發展［３］.數學思維能力是能夠用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力，數學思維品質的優化能夠幫助學生更有條理地分析問題的題設和結論，有利于拓寬學生的解題視野，尋找更優的解題路徑，深刻認識數學問題的本質，促進數學觀念的建構.提升數學思維能力既是促進學生觀念建構的重要途徑，也是觀念建構的價值取向.

通過試題剖析活動要能真正與學生的現有思維水平、觀念認知相契合.教學中教師要基于學生已有的思維水平和觀念認知水平，確定剖析問題的先后邏輯順序，這就要求教師講清楚解決問題的思維路徑，找出學生思維進階的障礙點，突破障礙點，貼近學生的思維水平進行試題剖析活動，促進思維水平的提升.本案例中貼近學生最近發展區的思路是設出兩條直線的方程解交點，再利用兩直線垂直的斜率關系、直線與橢圓相切的相關知識轉化得出動點P的軌跡方程.在此基礎上，利用幾何上同構的屬性進行代數上的同構，進而轉化出動點P的軌跡方程.按此思維路徑分析轉化問題，讓學生經歷從開始分析問題時的“霧里看花”到突破問題時的“撥云見日”，讓學生體會思維上的輾轉進階，幫助學生建立起研究問題的高階觀念.

參考文獻

［1］米山國藏.數學的精神思想和方法-[M-].毛正中，吳素華，譯.上海：華東師范大學出版社，2019.

［2］單墫，李善良.普通高中教科書.選擇性必修第一冊-[M-].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）-[M-].北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介徐紅兵（1982—），男，教育碩士，中學高級教師，全國優秀教師；江蘇省高中數學教師基本功大賽一等獎；研究方向為高中數學教學.