如何比較二次函數(shù)值的大小

毛長俊

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)， 也是未來高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.比較 二次函數(shù)值的大小問題一直是中考的熱點(diǎn)問 題.它一方面考查了同學(xué)們對二次函數(shù)的圖 象和性質(zhì)的掌握情況，另一方面也考查了同 學(xué)們對數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要思想方法 的靈活運(yùn)用能力.同學(xué)們要熟悉這類問題的 各種類型，熟練運(yùn)用多種方法解題.

一、運(yùn)用二次函數(shù)的增減性比較大小

利用函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的大小， 首先要觀察函數(shù)對應(yīng)的自變量的值是否在對 稱軸的同一側(cè)，如果不在同一側(cè)，則需要利用 對稱性將所有的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一側(cè)去，然后利 用增減性比較大小.具體地，可以先判斷二次 函數(shù) y = ax - +bx + c的開口方向，再判斷二次 函數(shù)值的大小.如果 a > 0 ，那么拋物線開口向 上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，在對稱軸左側(cè)，y 隨 x 的 增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y 隨 x 的增大而 增大；如果 a < 0 ，拋物線開口向下，頂點(diǎn)為最 高點(diǎn)，在對稱軸左側(cè)，y 隨 x 的增大而增大， 在對稱軸右側(cè)，y 隨 x 的增大而減小.

例1

分析：求出拋物線的對稱軸和開口方向， 然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性，即可 求出答案.

解：

例2

分析：

解：

評注：利用函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的 大小，首先要明確拋物線的開口方向，找出對 稱軸，然后確保所有要比較的自變量的值都在對稱軸的同側(cè)，最后利用函數(shù)的增減性比 較大小.這種比較大小的方法，不必計(jì)算出對 應(yīng)的函數(shù)值，是從二次函數(shù)的性質(zhì)的角度解 答問題.

二、運(yùn)用距離的大小比較大小

如果二次函數(shù)的對稱軸是給定的，或通 過計(jì)算可以求出對稱軸，那么我們可以利用 比較各點(diǎn)到對稱軸的距離的方法來比較函數(shù) 值的大小. 首先，將二次函數(shù) y = ax 2 + bx +c 化 成 y = a（x - h） 2 +k 的形式，根據(jù)開口方向和對 稱軸畫出函數(shù)圖象的示意圖，找到題目中所 求點(diǎn)在 x 軸上的位置，然后按照：①對于開口 向上的拋物線，離對稱軸越近，點(diǎn)越低，y 值 越小；離對稱軸越遠(yuǎn)，點(diǎn)越高，y 值越大；②對 于開口向下的拋物線，離對稱軸越近，點(diǎn)越 高，y 值越大；離對稱軸越遠(yuǎn)，點(diǎn)越低，y 值越 小去進(jìn)行比較.

例3

分析：

解：

例4

分析：由拋物線的解析式可知，拋物線開 口向下，對稱軸為 x = 1，m 是二次函數(shù)值的最 大值，根據(jù) x1 < 1 < x2 ，x1 + x2 > 2 ，即可判斷點(diǎn) B（x2，y2） 離對稱軸較近，由此即可得出結(jié)果.

解：

評注：雖然初中數(shù)學(xué)教材中沒有提及運(yùn) 用距離的大小比較的方法來判斷二次函數(shù)值 的大小，但是根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可 以延伸出這一方法.利用這種方法比較大小， 不必計(jì)算出對應(yīng)的函數(shù)值，也不需要考慮點(diǎn) 的位置（同側(cè)或異側(cè)），而是從“形”的角度解 答問題.