基于二項分布近似運算的課程思政探究

寧明明

（蘇州大學應用技術學院 通識教育學院）

一、引言

堅持中國特色社會主義教育發展道路，培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人是教育的根本任務[1]。2020年印發的《高等學校課程思政建設指導綱要》強調各高校要深化教育體制改革，把立德樹人放在教育的中心環節，把思想政治教育貫穿整個人才培養過程中。指導綱要有關教育的重要論述指明了高校工作的重心，在課程建設中挖掘思政元素，結合專業背景，培養出高質量、有愛國情懷、有政治認同、有理想、有道德、有文化、有紀律的社會主義建設者和接班人。

要在高校落實立德樹人任務，就要發揮好每一門課程的育人作用，概率統計作為高校的一門基礎數學課程就要發揮好它培養人的作用。概率統計有其公理化體系，從假定條件出發通過定理、定義有著嚴密的推理計算過程，同時它又是面向數據的學科，它受制于數據的總量、統計手段和方法等諸多因素。傳統的教學方法形式重理論輕實際，理論灌輸式教學，讓學生對這門抽象的課程理解更加模糊。數學課程中的理論思想很多都是來自于生活的，所以教師要結合專業背景挖掘思政元素，將思政教育融入課程，將思政元素滲入案例分析中。本文中主要以二項分布及其兩個近似運算為例，理論運用到實際中去，讓學生認識事物發展規律，引導學生勿以善小而不為，勸誡學生勿以惡小而為之，激發學生的家國情懷和使命擔當。

二、教學現狀及思政融入

（一）改變重理論輕實際現狀

二項分布作為伯努利試驗結果發生次數的分布，學生在實際生活中會遇到許

多類似的案例，但過去單一的教學手段、重視理論的講解、只進行定理的證明推導這都使學生感觸不到生活中的數學，也就違背了立德樹人的教學理念。因此在這一部分內容進行教學設計時需要結合實際案例，融入思政元素到課程中去，例如講到伯努利模型時可以解釋其中體現出的量變與質變的規律，量變是引發質變的前提條件，質變是量變的最終結果。常言道“常走山林必遇虎、常走河邊鞋必濕”；“不積跬步無以至千里，不積小流無以致江?！边@些名言警句都是不無道理的。在日常生活中學生既要重視日積月累不要好高騖遠，也要警醒自己勿以惡小而為之，不要存在僥幸心理小問題最終也會釀成大錯。二項分布的教學過程中應融入這些思政元素，幫學生樹立正確的三觀。

（二）追根溯源解決問題

學生在學完概率統計這門課后總是無法深刻理解二項分布所帶來的啟發，追其根本原因是引發質變的前提——“量變”是需要大量的試驗次數和數據來支撐，但二項分布公式計算對于試驗次數較高的情況下要得到結果是很復雜的，所以學生也就無法理解這其中“量變與質變”的規律。因此，教師應該把二項分布的兩種近似運算“泊松逼近”“正態逼近”在教學設計中結合在一起作為教學重點，這樣在各類情況下都可以得到一個比較精確的近似值，也能讓學生更容易結合實際案例理解課程思想。

三、教學過程實踐探究

（一）思政案例引入

案例一：持之以恒、日積月累，積跬步行千里、積小流成江海，有一個正確的人生觀、價值觀待人以誠，哪怕再微小的戀愛概率都有很大的機會收獲愛情，轉角遇到愛的場景也會在現實發生。

案例二：常走山林必遇虎、常走河邊鞋必濕，勿以惡小而為之。在宿舍使用大功率電器，無論做的保護措施多么好，都有很大可能引發火災。

上述兩個案例是與學生的生活有著緊密聯系的容易使學生共鳴，所以需要在二項分布的教學設計中融入思政元素，引導學生重視積累，養好習慣，勿以善小而不為，懂得聚沙成塔海納百川的道理；勸導學生注重細節，防微杜漸，勿以惡小而為之，明白千里之堤潰于蟻穴的道理。在課程設計中把二項分布及二項分布的兩個近似計算放在一起去進行比較講解，讓學生能更容易理解量變引發質變的規律。

（二）內容講解

1.二項分布介紹二項分布又稱伯努利分布是由瑞士數學家、天文學家雅各布·伯努利提出的概念，這一離散型隨機變量的分布在經濟學、管理學、醫學等都有著廣泛的用途。雅各布·伯努利的一生的經歷可以說是非常豐富，17歲獲得“自由藝術”碩士學位，22歲獲得神學碩士學位但他卻醉心于數學與天文學。24歲之后的3年游歷多個國家學習，豐富的閱歷也為他之后的成就打下了牢固的基礎。

雅各布·伯努利在數學上的成就有很多，例如“伯努利微分方程”“懸鏈線問題”“曲率半徑公式”“伯努利雙紐線”這些都與他有聯系，當然伯努利在概率方面的成就對后人在概率領域有著及其重要的作用，伯努利一生最具代表的著作《猜度術》，這是概率論及組合數學的一本經典著作，其中就提出了大數定律的早期形式“伯努利定律”，表明在重復試驗過程中隨著次數的增加頻率會逐漸趨向穩定——“概率”，這一結果也成為了概率統計的基石。

我們的學生同樣也需要有這樣拼搏努力的精神，窮極一生致力于一件事的研究終將有所成就。下面介紹伯努利提出的離散型分布定義。

二項分布定義[2]：將只有兩種結果A和發生的隨機事件E， 獨立重復n次，并且P(A)=p, 0＜p＜1， 則 有=1-p，設X為n次試驗中A發生的次數，X可能取值為0，1，…,n，則X是一個離散型隨機變量，對任意k=0,1,…,n，有

上述分布稱為二項分布，記為b(n,p)。若隨機變量X滿足上述條件，則

稱隨機變量X服從參數為n,p的二項分布，并記作X～b(n,p)。當參數n很大時，二項分布公式計算十分復雜，所以我們選取它的兩個近似運算，在合適的條件下不僅能簡化計算，也可以得到較精確的結果。

2.二項分布的逼近-泊松分布

泊松分布是經典離散概率分布之一，1838年由法國數學家西莫恩·德尼·泊松提出的。泊松作為一個科學工作者，他的成就很少有人能與之相比較，在數學、物理學、固體力學、引力學方面都有很高的成就。泊松能在數學與物理方面有所成就與他自己的堅持和善于發現有著很大關系，正因為他的堅持才讓他走到了數學的高峰。作為新時大學生也應該學習泊松堅持不懈的精神，愿意為自己的熱愛奉獻一生。

定理1[3]（泊松定理） 在n重伯努利試驗中，用Pn（與試驗總數n有關）

作為每次試驗事件A發生的概率，且有為正數，則對任意k≥0有

定理1證明參考文獻[3]37-38頁。

在二項分布中當n很大時，計算十分復雜，依據泊松定理可做到近似計算，

若試驗次數n很大，p較小，np較合適(p≤ 0.1,np≤5)，可用λ=np泊松分布近似計算。

3.二項分布的逼近-正態分布

正態分布的提出者亞伯拉罕·棣莫弗曾著概率史上三部里程碑著作之一的《機會的學說》，他對概率統計最大的貢獻莫過于中心極限定理的提出了，中心極限定理本質上說明許多不屬于正態分布的隨機變量，在他們共同作用下形成的新的隨機變量的極限分布是正態分布。

棣莫弗對科研的熱愛，對真理的渴望值得所有學生學習，借此培養學生精益求精的工匠精神，激發學生科技報國的家國情懷和使命擔當[1].

定理2[4]（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）設隨機變量Xn～b(n,p)，0＜p＜1，則 對 任意x，有證 明： 設ξ1～b(1,p)， 令則Xn～b(n,p)，因 此 有E(Xn)=np，D(Xn)=np(1-p)，根據參 考文獻[4]131頁林德伯格-萊維中心極限定理可知定理成立。

上述定理可以用來近似計算二項分布，當np≥5和n(1-p)≥5都成立時，

對于二項分布可由式（2）近似計算概率：

對于固定的p和k，n→∞時，(1-p)n-k→0，因此對于概率,P(a＜Xn≤b)，P(a≤Xn≤b)，P(a≤Xn＜b)，P(a＜Xn＜b)均可以利用上述方法近似計算。

綜上當p≤ 0.1,np≤5時用泊松分布近似計算二項分布較精確，當np≥5和n(1-p)≥5時，用正態分布近似計算二項分布較精確，下面利用兩個實際案例給學生進行分析。

（）案例分析

案例一：持之以恒，量變會引發質變

例1 據科學數據顯示，人一生會遇到2920萬人，在青春歲月遇到近30萬青年異性，按照大學生四年大約1/3的青春時光，在校園中遇到并有交流接觸的占比8%，因此大學生每年在校園里大約會和2000名青年異性有交流。善良、真誠、積極陽光的人總會容易獲得別人的好感，假設這類人與年齡相仿的單身異性相處時有0.001的概率會獲得對方的表白，與每一個人相遇的過程都是相互獨立的，問一年內一位善良、真誠、積極陽光的大學生至少會獲得2次表白的概率是多少？

解析：對于這個案例，與每個人相遇都是相互獨立的，獲表白率為0.001，

即不被表白率為0.999，問至少有2次發生的概率。

思路一：學生首先會想到這是一個與二項分布有關的問題，設Y表示“獲

得表白的次數”，則Y～b(2000,0.001)，利用二項分布式計算概率即可。

按照思路一做如下計算：

思路一雖然也可以求出最終近似結果，但是計算過程比較復雜，若所求為至

少10次、100次發生的概率，那過程會更加繁瑣，繼續做如下思考。

思路二：根據二項分布的泊松逼近，λ=np=2000 × 0.001= 2 ＜5，滿足

定理1的要求，由式（1）計算概率得：

兩次計算結果近似一致，但是思路二采用二項分布泊松計算過程可查泊松分布表，過程簡便很多。

上述案例中一位善良而又積極向上的大學生被表白的概率是0.001，這已經是一個相當小的概率，但只要持之以恒最終每年獲得兩次以上被表白的概率達到60%，由此可見不要忽視任何一個小概率事件，量變終會引發質變。每天把自己打扮得精神、得體出門是有必要的，教育學生注重儀表、精神面貌，有個好的修養，那么轉角遇見愛偶像劇場景現實生活也是會發生的。

案例二：常走河邊鞋必濕，常走山林必遇虎

例2 大學生宿舍安全隱患一直都是學校重點關注的問題，對于學生私自使用大功率電器導致火災的情況近些年也是時常出現，某高校宿舍有100名學生偷偷使用大功率電器，每名學生每次使用大功率電器都相互獨立的，假設每次使用大功率發生短路、過負荷、設備問題等故障的概率是0.001，據消防救局統計電器短路，亂拉電線導致過負荷是引發火災的最大兇手，學生宿舍發生電路故障后約有60%的可能會引發火災，用Y表示一學期內（120天）大功率電器發生故障的次數。

（1）求一學期內使用大功率故障數超過5次的概率；

（2）求一學期內發生火災的概率是多少？

解析：（1）在這個案例中對于電器故障次數Y可看作一個隨機變量，

Y～b(12000,0.001)，由n= 1 2000,p=0.001直接利用二項分布做計算會比較復雜，又因為np=12＞5滿足二項分布正態逼近條件，所以可以使用二項分布正態逼近式（3）做近似計算：

（2）用X記作“一學期內電器引發火災”的次數，則X～b(12000,0.0006)，

由式（3）電器發生火災的概率為：

案例二中一學期內發生大功率電器故障數超過5次的概率達到97%，發生火災的概率達到99.6%，這幾乎已經接近必然事件了，可見無論學生在宿舍使用大功率電器有多么小心，但是如果不去重視這件事情，最終都會釀成很嚴重的后果。因此，不要忽視小事情、小錯誤，河邊常走，鞋哪能不濕，養成良好習慣及時改正，惡小不為，善小為之。

四、結束語

思政教育是國家培養人才必不可少的方式，重要性日益凸顯，因此一位合格的高校老師不僅僅是一個單純灌輸知識的教書匠，還要是學生思想教育的引導著，在知識傳授及能力提升培養中塑造正確的世界觀、人生觀、價值觀。作為一名新時代數學老師更需要在枯燥的理論教學中挖掘可以融入的思政元素，圍繞立德樹人這一根本教育中心，培養出一批有豐富學識、有文化信念、有家國情懷、有使命擔當的拼搏努力的社會主義接班人。

【相關鏈接】

蘇州大學應用技術學院（Applied Technology College of Soochow University，其前身為蘇州大學職業技術學院）成立于1997年，是蘇州大學的二級學院。2002年1月由原公辦二級學院改為公有民辦二級學院。 2003年11月學院正式更名為蘇州大學應用技術學院。

2005年5月按照教育部2003（8）號文件精神，由蘇州大學申辦，經國家教育部批準為新機制、新模式舉辦的本科二級學院——獨立學院。