結(jié)構(gòu)應(yīng)力逆向推演模型及其不確定度定量分析

朱全華，張濤，汪雪良，蔣鎮(zhèn)濤，岳亞霖

（1.南方海洋科學(xué)與工程廣東省實驗室（廣州），廣東 廣州 5 114581；2.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)安全在線監(jiān)測與評估方法[1-10]通常基于結(jié)構(gòu)設(shè)計圖紙開展強度分析，設(shè)定安全閾值，當(dāng)傳感器超過閾值后，發(fā)出相應(yīng)級別的預(yù)警。這種做法存在諸多問題：

1）現(xiàn)有做法與結(jié)構(gòu)真實力學(xué)性能存在“差異性”。實際上結(jié)構(gòu)受腐蝕、疲勞、老化等因素影響，承載力隨服役時間的增長而退化，而現(xiàn)有做法基于設(shè)計狀態(tài)設(shè)定閾值。

2）現(xiàn)有做法帶有“固定性”。在檢修階段結(jié)構(gòu)不可避免地存在修補和替換，而計算新閾值缺少描述當(dāng)前狀態(tài)的結(jié)構(gòu)模型。

3）現(xiàn)有做法存在“離散性”。只有布置傳感器的位置才能得到監(jiān)測，無法對全局進(jìn)行監(jiān)測和評估，實際上諸多結(jié)構(gòu)損傷點在設(shè)計階段均未得到關(guān)注。

解決上述問題的關(guān)鍵在于，建立當(dāng)前狀態(tài)的結(jié)構(gòu)數(shù)字模型，構(gòu)建虛擬-實體融合式結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測技術(shù)。該技術(shù)從動態(tài)角度分析結(jié)構(gòu)性能，它通過在虛擬空間建立與實體當(dāng)前狀態(tài)高度等價的虛擬數(shù)字模型，基于數(shù)字模型支撐結(jié)構(gòu)的安全評估。數(shù)字模型是利用計算機(jī)表述實體的技術(shù)載體，包括3 個維度：數(shù)據(jù)、連接（算法）和仿真。數(shù)據(jù)即記錄實體全周期、全要素數(shù)據(jù)，通常以數(shù)據(jù)庫形式存在，它是重構(gòu)實體任意時間段真實狀態(tài)的基礎(chǔ)；連接算法是指從全周期歷史數(shù)據(jù)中提取描述實體相關(guān)規(guī)律的表達(dá)方式，通常為人工智能模型算法；仿真則是實體狀態(tài)最直觀的表達(dá)形式，通常用于仿真計算與三維可視化。數(shù)據(jù)、連接和仿真三者是數(shù)字模型的必要非充分條件，以連接算法為內(nèi)核的代理模型與仿真模型均能作為表征實體狀態(tài)的數(shù)字模型。

本文運用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，利用應(yīng)力仿真數(shù)據(jù)建立表征結(jié)構(gòu)的數(shù)字模型，該模型目的是基于有限測點應(yīng)力推演整體結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布，從而將“對點監(jiān)測”提升為“對應(yīng)力場監(jiān)測”。以“永樂科考”號科學(xué)試驗平臺的連接器結(jié)構(gòu)為對象，基于該數(shù)字模型開展連接器結(jié)構(gòu)全場應(yīng)力逆向推演計算。針對該數(shù)字模型推演結(jié)果的不確定度開展定量分析，并基于算法模型的創(chuàng)建過程分析不確定度來源。

1 應(yīng)力逆向推演數(shù)字模型

應(yīng)力逆向推演模型構(gòu)建的技術(shù)思路是以數(shù)據(jù)驅(qū)動的模式，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)搭建算法模型，從數(shù)據(jù)層面入手，抽象實體的機(jī)理、規(guī)律。總體技術(shù)思路如圖1 所示，以結(jié)構(gòu)的有限元仿真數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，首先從相關(guān)性分析的角度，借助數(shù)據(jù)變化、數(shù)據(jù)存儲、數(shù)據(jù)變換等數(shù)據(jù)處理手段建立選點算法，抽取能夠代表結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征的少量離散單元作為特征點；然后，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠映射數(shù)據(jù)的非線性關(guān)系的優(yōu)勢，構(gòu)建基于特征點應(yīng)力逆向推演全場應(yīng)力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；最后，加入模型收斂條件，確保算法模型推演結(jié)果的精度達(dá)到要求。

圖1 算法模型構(gòu)建思路 Fig.1 Βuilding idea of algorithm model

1.1 選點方法原理

選點方法的目的是通過相關(guān)性分析[11-15]選出能夠代表結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)特征的單元作為測點，基本思路是選取結(jié)構(gòu)上具備線性無關(guān)、應(yīng)力值較大的單元。本文采用 Pearson 相關(guān)系數(shù)（Pearson Correlation Coefficient）來度量變量的線性相關(guān)程度，Pearson 相關(guān)系數(shù)的計算公式為：

式中：n表示樣本數(shù)量（即載荷工況數(shù)量）；X、Y分別表示任意2 個測點的應(yīng)變值；分別表示這2 個測點在所有載荷工況下的平均值。

Pearson 相關(guān)系數(shù)是用協(xié)方差除以2 個變量的標(biāo)準(zhǔn)差得到的，雖然協(xié)方差能反映2 個隨機(jī)變量的相關(guān)程度，但其數(shù)值上受量綱的影響很大，不能簡單地從協(xié)方差的數(shù)值大小給出變量相關(guān)程度的判斷。為了消除這種量綱的影響，于是就有了相關(guān)系數(shù)的概念。

從的相關(guān)度分析圖（圖2）可以看出，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為1 時，成為完全正相關(guān)；當(dāng)相關(guān)系數(shù)為-1 時，成為完全負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，相關(guān)性越強；相關(guān)系數(shù)越接近于0，相關(guān)度越弱。選取0.95 作 為兩者線性相關(guān)的閾值。

圖2 相關(guān)度分析 Fig.2 Correlation analysis diagram

若結(jié)構(gòu)有限元模型共m個單元，通過計算m個單元應(yīng)力的相關(guān)系數(shù)，得到一個系數(shù)矩陣(m×m)。然后開始選點步驟。

Step1：從m個單元中選取應(yīng)力值最大的單元作為選取的第一個點，通過查相關(guān)系數(shù)矩陣，刪除與該單元強相關(guān)的所有單元。

Step2：從剩下的單元中選取應(yīng)力值最大的單元，查相關(guān)系數(shù)矩陣，找到并刪除與該單元強相關(guān)的單元。

Step3：循環(huán)重復(fù)第2 步，直到相關(guān)單元都被刪除后，最后剩下的單元即是應(yīng)力值最大且線性不相關(guān)的單元。

1.2 應(yīng)力推演神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

應(yīng)力推演神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)是能夠根據(jù)前述選點方法選出少量單元的應(yīng)力值，輸出其他全部單元的應(yīng)力數(shù)據(jù)。基于反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ΒPNN）方法[16-20]來構(gòu)建推演模型，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元（Neuron）作為基本的計算單元。

神經(jīng)元能夠接受來自其他神經(jīng)元的輸入或者是外部的數(shù)據(jù)，然后計算一個輸出。每個輸入值都有一個權(quán)重（Weight），權(quán)重的大小取決于這個輸入相比于其他輸入值的重要性。然后在神經(jīng)元上執(zhí)行一個特定的函數(shù)f，這個函數(shù)會將該神經(jīng)元的所有輸入值以及其權(quán)重進(jìn)行一個操作后得出輸出值，其原理如圖3所示。

圖3 神經(jīng)元原理 Fig.3 Principle of neuron

本文的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型采用全連接ΒP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包含輸入層、隱藏層和輸出層3 層結(jié)構(gòu)，如圖4 所示。輸入層包含n個神經(jīng)元，是選點方法獲得的n個已知單元應(yīng)力。輸出層是j個神經(jīng)元，即其他所有未知的j個單元應(yīng)力。隱藏層的設(shè)計包含3 層結(jié)構(gòu)，每層1 024個節(jié)點。

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) Fig.4 Structural diagram of neural network

采用包含3 個隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，每一層中包含多個節(jié)點，這里用上標(biāo)表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層序，用下標(biāo)表示某個樣本的節(jié)點序。共i個測點即i個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，這i個測點在某個載荷工況下的應(yīng)力響應(yīng)組成一個樣本的特征向量x={x1,x2,…,xi}。同時，數(shù)據(jù)集包含多個樣本，n個載荷工況即n個樣本集。z表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點在執(zhí)行線性運算后的結(jié)果，a表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點在執(zhí)行激活函數(shù)（使用雙曲正切函數(shù)tanh）后的輸出。對于某個樣本的特征向量x，以第1 層網(wǎng)絡(luò)為例，給出第1 個節(jié)點的計算過程，如式（2）所示。

提取n個載荷工況下的測點處有限元計算的應(yīng)力響應(yīng)結(jié)果形成訓(xùn)練樣本集，其特征矩陣為X={x（1）,x（2）,…,x（n）}。式（2）是以單個樣本x為單位進(jìn)行運算的，如果要完成對整個樣本集的推演則使用向量化計算，那么3 層網(wǎng)絡(luò)的計算過程如式（3）所示。

此外，為了防止過擬合，在網(wǎng)絡(luò)中加入了dropout層，用于在網(wǎng)格中隨機(jī)凍結(jié)某些節(jié)點權(quán)重。通過梯度下降算法多次迭代更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每一層節(jié)點的權(quán)重參數(shù)，減小神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的誤差，達(dá)到最小誤差時的參數(shù)即是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重參數(shù)W和b，循環(huán)計算按以下步驟實現(xiàn)。

1）向前傳播計算。從第一層到輸出層，逐層計算網(wǎng)絡(luò)輸出。

2）計算損失函數(shù)J。

5）反復(fù)迭代，獲取達(dá)到最小輸出誤差時的權(quán)重參數(shù)W和b。

在向前傳播計算中，對于3 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，用g[i](Z[i])表示第i層的激活函數(shù)，前一層輸出作為后一層的輸入，直至輸出第3 層A[3]，計算式為：

在誤差向反向傳播中，通過鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則從后向前逐層計算損失函數(shù)J對權(quán)重參數(shù)W、b的偏導(dǎo)數(shù)。

2 連接器結(jié)構(gòu)應(yīng)力推演算例

2.1 算例說明

本文選取的結(jié)構(gòu)為單耳連接器，來源于“永樂科考”號科學(xué)試驗平臺，該平臺是一座由2 個模塊拼接而成的半潛式平臺[21]，如圖5 所示。單耳連接器為2個模塊連接區(qū)域的結(jié)構(gòu)，多個單耳連接器之間通過銷軸連接。單耳連接器是受力最復(fù)雜、結(jié)構(gòu)最薄弱的區(qū)域，該區(qū)域結(jié)構(gòu)外形不規(guī)則，應(yīng)力傳遞具有較強的隨機(jī)性，且銷軸不具備布放傳感器的條件，因此非常適合采用應(yīng)力推演模型進(jìn)行應(yīng)力監(jiān)測與評估。單耳連接器的有限元仿真模型如圖6 所示，模型共計30 897個殼單元。

圖5 單耳連接器結(jié)構(gòu) Fig.5 Structure of single-lug connector

圖6 仿真模型 Fig.6 Simulation model

單耳連接器主要承受與銷軸之間的剪力，方向為垂直于銷軸孔軸向360°變化，如圖7 所示。本文仿真載荷選取100 個載荷步長（5、10、15、…、495、500 t，每5 t 為一個載荷）、36 個載荷方向（0°、10°、20°、…、340°、350°，每10°為一個方向），100 個載荷步長和36 個載荷方向兩兩組合形成3 600 個工況。仿真應(yīng)變用殼單元x方向正應(yīng)變S1、y方向正應(yīng)變S2表示。其中，任意抽取2 400 組工況的應(yīng)變數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練集，再從剩余工況中任意抽取600 組工況的應(yīng)變數(shù)據(jù)作為模型過擬合控制的收斂集，最后剩余 600 組工況的應(yīng)變數(shù)據(jù)作為模型推演精度的驗證集。

圖7 剪力方向 Fig.7 Direction of shear load

本算例對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的過擬合控制（即收斂條件）規(guī)定為：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每訓(xùn)練一定數(shù)量輪次后，用收斂集來校驗推演精度，當(dāng)某一次校驗精度較前一次下降超過5%時則停止訓(xùn)練，將上一次的訓(xùn)練結(jié)果作為最終模型。

2.2 選點數(shù)量分析

推演模型的特征點數(shù)量對算法效率、算法精度、實際應(yīng)用經(jīng)濟(jì)性等均產(chǎn)生影響。數(shù)量過少可能造成重要特征信息的丟失，導(dǎo)致算法精度較低；數(shù)量過多可能造成算法效率低，并且實際應(yīng)用時將部署更多的傳感器而增加成本。因此，首要問題是選取合理數(shù)量的特征點。

采用前述基于Pearson 相關(guān)系數(shù)的選點方法，從篩選的非相關(guān)點中分別選取前5、10、15、20、25、30、40 個點作為特征點，基于2 400 組訓(xùn)練集和600組收斂集開展模型訓(xùn)練，600 組驗證集開展推演精度分析。

從600 組驗證集推演結(jié)果的精度上評價選點數(shù)量的合理性，包括2 個評價指標(biāo)：所有單元推演值與仿真值的相對誤差平均值；推演值與仿真值相對誤差小于10%的單元占比。不同選點數(shù)量下的相對誤差平均值對比如圖8 所示，實線折線表示正應(yīng)變S1的相對誤差平均值，虛線折線表示正應(yīng)變S2的相對誤差平均值，縱坐標(biāo)表示相對誤差值，橫坐標(biāo)表示選點數(shù)量。不同選點數(shù)量下相對值誤差小于10%的點占比如圖9 所示，實線折線表示正應(yīng)變S1的點占比，虛線折線表示正應(yīng)變S2的點占比，縱坐標(biāo)表示占比百分值，橫坐標(biāo)表示選點數(shù)量。

圖8 相對誤差平均值對比 Fig.8 Comparison of mean relative error

圖9 相對誤差小于10%的點占比 Fig.9 Percentage of points with the relative error less than 10%

從圖8 和圖9 中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選點數(shù)量達(dá)到15個及以上時，2 個方向正應(yīng)變的相對誤差平均值均低于10%，并且15 個點之后相對誤差平均值變化幅度不大；當(dāng)選點數(shù)量達(dá)到20 個及以上時，2 個方向正應(yīng)變相對誤差小于10%的點占比都高于90%。綜合考慮應(yīng)用經(jīng)濟(jì)性及效果因素，本算例選擇20 個特征點最佳。

2.3 推演結(jié)果分析

采用20 個特征單元應(yīng)力推演剩余30 877 個單元應(yīng)力，對600 組驗證集的應(yīng)力推演結(jié)果進(jìn)行分析。3組典型載荷工況下30 877 個單元的推演應(yīng)變值與仿真應(yīng)變值的相對誤差如圖10 所示。這3 組工況分別為15 t (300°)、100 t (200°)和420 t (60°)，即對應(yīng)小載荷、中等載荷和大載荷的情況。

從圖10 中可以看出，全部單元中95%的單元應(yīng)變推演誤差在9%以下，推演誤差較大的單元大部分是應(yīng)變值較小的單元，并且不同載荷工況下均是相同的特征。對于結(jié)構(gòu)整體應(yīng)力響應(yīng)，應(yīng)變值較大的單元代表了結(jié)構(gòu)安全評估最重要的響應(yīng)特征，而應(yīng)變值較小的單元通常不構(gòu)成結(jié)構(gòu)安全評估的重要響應(yīng)特征。從本算例的推演結(jié)果來看，高應(yīng)變值單元誤差較小，部分低應(yīng)變值單元誤差較大。從該角度而言，推演結(jié)果可正確反映結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)，因此認(rèn)為推演結(jié)果可信度較高。

圖10 應(yīng)變推演值與仿真值相對誤差 Fig.10 Relative error between deduction and simulation results

3 連接器結(jié)構(gòu)應(yīng)力推演不確定度分析

3.1 推演結(jié)果不確定度定量分析

不確定度[22-26]U是對誤差δ的一個估計，使得誤差δ包含在區(qū)間±U中的概率為95%。因此，根據(jù)2.3節(jié)相對誤差分析得出的95%置信區(qū)間的半寬，即為相 對不確定度大小u95rel。例如在圖10 中15 t (300°)工況下，單元正應(yīng)變S1推演的相對不確定度u95rel(S1)為8.09%，單元正應(yīng)變S2推演的相對不確定度u95rel(S2)為8.21%。

該算例600 組驗證集2 個方向正應(yīng)變推演結(jié)果的相對不確定度如圖11 所示，驗證集中所有工況下的 相對不確定度均低于8.6%。因此，該算例推演結(jié)果的相對不確定度u95rel為8.6%。

圖11 600 組驗證集推演結(jié)果的相對不確定度 Fig.11 Relative uncertainty of deduction results of 600 validation sets

3.2 推演模型不確定度來源

細(xì)化該算例的應(yīng)力逆向推演建模過程，如圖12所示。發(fā)現(xiàn)其不確定度的來源主要是3 個方面：相關(guān)性分析方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模以及過擬合控制。

圖12 建模過程細(xì)化分析 Fig.12 Detailed modeling process

選點方法方面，選擇的相關(guān)性分析方法、相關(guān)性閾值、選點策略等均是不確定度大小的重要影響因素。本文采用的相關(guān)性分析方法是Pearson 相關(guān)系數(shù)法，其他主要方法還包括Spearman 相關(guān)系數(shù)法、Kendall 相關(guān)系數(shù)法、閾值相關(guān)法、最大信息系數(shù)法等。相關(guān)性閾值是特征點抽取的重要判據(jù)，其大小直接影響選點質(zhì)量。本文采取的選點策略僅從應(yīng)力大小這一維度出發(fā)，并未考慮更多維度信息。以上不同方法、閾值、策略等均是改進(jìn)模型不確定度的研究方向。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方面，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的類型、結(jié)構(gòu)設(shè)計等將影響模型不確定度。本文采用的是反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ΒPNN），其他主要類型還包括前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FFNN）、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）、遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）等。同時，每一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都存在不同形式的結(jié)構(gòu)設(shè)計，如本文的ΒPNN 在隱藏層數(shù)量、神經(jīng)元連接方式上都可有不同的設(shè)計。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的架構(gòu)有非常大的可設(shè)計性，因而其不確定度的來源亦非常廣泛。

過擬合控制方面，模型的訓(xùn)練過程需要收斂條件來生成最終模型，采取的方法通常是對模型訓(xùn)練精度提出限定要求（如本文的要求是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每訓(xùn)練一定數(shù)量輪次后，用收斂集來校驗推演精度，當(dāng)某一次校驗精度較前一次下降超過5%時則停止訓(xùn)練，將上一次的訓(xùn)練結(jié)果作為最終模型），而模型訓(xùn)練精度要求將對推演結(jié)果的誤差產(chǎn)生直接影響，是不確定度的直接來源。

綜上所述，應(yīng)力逆向推演模型存在非常多的可設(shè)計性，不同設(shè)計要素共同構(gòu)成模型不確定度的來源，從不確定度來源角度對數(shù)字模型的不確定度進(jìn)行建模是重要的研究方向。

4 結(jié)語

本文利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，構(gòu)建了基于少量離散測點應(yīng)力逆向推演全場應(yīng)力分布的數(shù)字模型，以“永樂科考”號科學(xué)試驗平臺的單耳連接器結(jié)構(gòu)為算例開展了應(yīng)用分析，并且開展了該應(yīng)用算例的推演結(jié)果不確定度定量分析和推演模型不確定度來源分析，主要結(jié)論如下：

1）結(jié)構(gòu)應(yīng)力逆向推演模型采用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過基于Pearson 相關(guān)性分析的選點方法抽取代表結(jié)構(gòu)場應(yīng)力響應(yīng)特征的若干離散單元作為輸入，從而在任意工況下可輸出結(jié)構(gòu)全部單元應(yīng)力。

2）單耳連接器結(jié)構(gòu)共計30 897 個有限單元，采用20 個單元應(yīng)力作為推演模型的輸入時最佳，推演結(jié)果中全部單元中95%的單元應(yīng)變推演誤差在9%以下，并且推演誤差較大的單元大部分是低應(yīng)變值單元。該算例的推演結(jié)果正確反映了結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)特征。

3）單耳連接器結(jié)構(gòu)應(yīng)力逆向推演結(jié)果的相對不確定度u95rel為8.6%，從建模過程角度分析，其不確定度來源主要包括3 個方面：相關(guān)性分析方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模以及模型收斂條件。