數學課堂教學中大概念、大問題的運用研究

潘小明

(泰州學院 數理學院， 江蘇 泰州 225300)

為深入了解大問題、大概念在數學課堂教學中運用的現狀，筆者于2019—2021年帶領江蘇省“青藍工程”優秀數學教育教學團隊對J省19所中小學進行了實地調研，從中發現了大問題、大概念在數學課堂教學運用中所存在的一些問題。以教學問題解決為目標，研究團隊與中小學合作開展了行動研究，聯系案例審視了大概念、大問題的教學價值及其在數學課堂教學中的協同運用，提出了大概念、大問題在數學課堂教學中協同運用的有關建議。

一、實地調研發現的一些問題

(一)教師的教缺少應有的深度與有效性

盡管有一些學校已經組織了與大概念有關的數學教研活動，并邀請了校外專家面向校內教師開展了有關的專題講座，但是由于許多教師對自己所教學科的內容缺少系統、整體的深入理解，在實際的課堂教學過程中并未能有效使用那些具有核心或包容性的大概念引導學生的數學思維，不當的教學方式常常將學生的數學活動引向表層的數學思考或機械式的問題解決。課堂觀摩表明，從數學知識學習到數學認知建構，不少教師沒有能實現其作為教學“指導者”“引導者”的價值，特別是不能給學生予以精準、有效的數學深度學習指導。有不少教師迷信于教學的“大容量”“快節奏”，課前不注意對所教內容進行深度挖掘，課堂上教師講得多，學生收獲少。由于對所教的內容缺少“長時間有深度的思考”，不少教師在許多稱之為“探究類”“問題解決類”的數學活動中并沒有能將相應的數學教學活動形成聯結較為密切的結構。

有許多教師為了趕教學進度，設計并使用了外觀較為精美的多媒體數學教學課件，由于這些課件主要用于定義、命題、數學題目與問題解答的呈現，所以很容易形成一些不正常的教學常態——表面上的課堂教學進度、效率得到了提升，但是學生對知識的理解不夠深入，實質的收獲、效益不斷降低。

(二)學生的學缺少大概念整合、大問題探究的意識

在對某校初二年級學生的調研中，有近1/5的學生不能深入地理解所學數學內容的本質特征，不能建立所學內容和數學素養之間的有意義連接，不能從整體上掌握所學數學知識的結構或脈絡，不能從思想、方法、聯結和應用等不同層次對所學內容進行更深入的分析和思考。在對某校初三年級學生的調研中，有近2/9的學生未能形成體現深刻性、廣闊性、批判性、靈活性、敏捷性、創新性和反思性的高階思維，未能形成數學學習內在的興趣和積極性。就整體而言，所調研學校的學生還沒有能較好地達成數學課程標準中預設核心素養培養目標。

訪談表明，學生普遍存在著不能結合日常學習構建單元數學知識中核心概念的現象。盡管有不少學生呈現了一定的問題意識，但普遍缺少大問題的意識。在某一單元學習結束之后，有1/3的學生不能及時進行所學數學知識的梳理整合。由于缺少啟發性數學問題的引領，加之數學課堂教學情境本身的單一，有許多學生雖然表面上學過了相關的數學知識，但是測試表明他們的學習無論過程還是結果都具有很大的惰性，許多屬于必備的知識與技能不達標，所學數學知識在新的數學情境中遷移應用不暢。

(三)高觀點指導沒有實現預期的教學改革效果

為了解決現實中存在的問題，有一些被調研的學校曾積極倡導并踐行了“高觀點的數學教育教學指導”，取得了一定的教學效果，不過，教學改革成效離預期的理想狀態還有很大的差距。但這并不意味著當初開展“高觀點指導”教學實踐思路的不正確。許多學校在開展“高觀點指導”教學實踐研究時，曾組織過論證，也確認過“高觀點指導”教學的合理性，并明確提出了相關的理論基礎。比如，有學校教研組曾組織教師學習討論了F·克萊因《高觀點下的初等數學》的部分內容，訪談中許多教師也能談論并認可書中諸如“觀點越高事物就越顯得簡單”“認識數學思想對于自然科學及現代文化的重大意義”等觀點[1]。那么，為什么有許多學校在落實“高觀點指導數學教育教學”時并未能取得預期理想的效果呢？一個可能的原因是，教師對于高觀點指導教學理論的“信奉”與高觀點指導教學理論的“實踐”有著很大的差距。例如，有一些學校的教師坦言，高觀點并非是一種顯性的存在，學校要求自己“高屋建瓴地審視數學教材”“找到相關內容背后深刻的數學觀念”“揭示所教內容與特定領域現代數學內容之間的一致性、和諧性”實在做不到。有一些學校的數學教師認為“說說可以，能不能做是另一回事”。有一些學校的教師認為應當注意F·克萊因《高觀點下的初等數學》一書中諸如“學校里的講授應當顧及學生的心理，不應只講究系統”等觀點[2]，不能片面理解“高觀點指導教學”。有一些學校的教師認為，即使學校開設過“高觀點指導中小學數學教學”的講座，大多數教師仍難以掌握專家口中所說的高觀點、大觀念、大問題、大單元。

有一些學校雖然重視了“高觀點指導數學教學”，但是在具體的數學教學實踐中卻把“原本非常有意義的高觀點指導”異化為“知識超前性的學習”“知識超綱性的學習”“課程教學內容修補式的調整”，并因此導致了數學課堂教學中非常現實的“不恰當”“負遷移”等行為。也有一些學校請校內外的專家對數學教師用高觀點指導的課堂教學進行了把關，但是由于相關專家的“力道不夠”“理實分離”、相關干預沒有“對癥施策”，特別是沒能找到導致高觀點指導教學“效果不佳”“方法不恰當”“負遷移”的真正原因，所以專家的教學介入也沒有能真正有效地激發學生或教師在高觀點指導數學教學活動中應有的主體性。從總體上看，許多學校由專家介入形成的一些教學指導、課堂干預顯得非常被動或者無力。比如，有的專家只是在課程教學實施之前給一些準備參加教學比賽或上示范課、觀摩課的教師提供一些感性的建議，打一些聽起來“似乎很合理且面面俱到”的“預防針”，提醒教師哪些內容“不應講”“需要略講”，有的專家只是當參加教改實驗的教師產生了顯著不良的教學效果后才進行正式的教學指導或干預，介入的目的主要是對有問題的老師進行必要的“糾偏”“補救”。

二、大概念、大問題教學運用的理性審視

用高觀點指導中小學雖然有很好的教學價值，但是由于沒有將教師高深的數學知識與教學用的數學知識進行教學法的對接，知識的學術形態未能有效地向知識的教學形態轉換，所以在實踐中很容易形成進退兩難的困境。如何改變呢？一個可行做法是借鑒“高觀點指導”的教學思想，在數學概念、數學問題的引入、分析上下功夫。事實上，在數學教學活動中如果“抓不住關鍵思想以及不能將大概念與相關內容知識‘聯系起來’，留給我們的就只是一些零碎的、無用的知識，不能起到任何作用”[3]，只有抓住數學活動中的大概念、大問題，“高觀點指導”才能接到數學課堂的“地氣”，數學課堂的教與學才可能改變結構上的“碎片化”、難度上的“隨意化”、手段上的“無效化”，并因此取得真正的高品質數學教育和學生的持續進步。

(一)應重視大概念的教學運用

之所以強調大概念的教學運用，是因為大概念是將許多數學知識聯系為一個整體的核心。例如，由于函數是“從一些其他的量經過一系列代數運算而得到的，或者經過任何其他想象到的運算而得到的”[4]，能具體、生動地反映了現實或理念世界中量的變化動態，表示變化著量與量之間的相依關系，所以函數會具有不同于一般數學概念的特征，即它作為一種數學關系或者數學模型，具有很強的包容性、概括性，能將許多數學知識聯結為一個整體。就初中的數學教學而言，函數可很好地聯結著代數式、方程、不等式等數學知識，在教學中要避免從形式上掌握函數的概念或者形式化地講解一次函數、二次函數、反比例函數等具體的函數(包括它們的圖像和性質)，而是從“函數”這一大概念、大主題的視角分析分散于不同年級、不同單元、不同課時的教學內容，引導學生用聯系和發展的眼光考察特定的數學對象，探究并理解包含于相關的變化規律以及蘊含于其中的對應關系，弄清函數概念背后的“思想”“方法”“模型”，用“函數思想”“函數模型”等觀念統攝與“數與代數”領域中相關的數學知識，幫助學生將所學的數學知識系統化、結構化。

在數學教學中，大概念處于上位、中心、深層的位置，是“少而重要”“強而有力”“可普遍遷移”的數學知識或數學觀念。合理利用大概念可以促進學生數學思維的發展。以初一上學期的數學教學為例，代數式不僅構成了“函數”“方程”等大概念的基礎，而且本身構成了初一數學學習中一個關鍵性的數學概念。這是因為，代數式內容的學習不僅關涉學生符號意識的建立以及數學思維上由算式到代數的過渡，而且關涉學生數學表達、數學思考和后續數學學習基礎的夯實。為了揭示“代數式”這一大概念的內涵以及與其相關的概念及性質，數學教學中要借助現實情境引導學生了解代數式，引導學生借助觀察、類比、歸納、抽象等方法尋探代數式的意義，結合具體問題中簡單數量關系的分析，學會用代數式進行表示，通過列代數式、對代數式進行變形、轉化、求值等活動幫助學生構建基于“代數式”大概念的數學思維，建立整式、分式、根式、合并同類項、因式分解等概念與代數式的關系，并因此更深入地理解數與量之間、量與量之間、式與式之間的關系。

對學生而言，經由數學課堂教學會獲得一定的知識或信息，將它們組織成概念性的框架有利于在更大范圍內實現特定主題知識學習的遷移，基于大概念進行數學教學的組織可以讓學生更好地聚焦所學習的數學知識，發揮大概念在數學認知中的核心統帥作用。仍以初中代數式為例，由于代數式不僅是一種把未知當成已知的符號化數學活動，而且是利用這種符號化活動進行未知數求解的數學方法，所以在小學階段學過的結合律、交換律和分配律等與數的運算律有關的規則都可以遷移到代數式的學習中，并因此建構基于“代數式”這一新對象、新情境的數學運算律，對后續學習產生“知識拓展”“結論運用”“代數推理”等多方面的積極影響。

對數學教師而言，大概念不僅有利于教師把握并因此突出數學課程與教學在內容維度的“重點”，而且有利于教師關注數學教學內容內部的“連貫性”和培養學習對象思維上的“嚴謹性”。比如，盡管廣大初中數學教師能認識到函數的內容貫穿于整個中小學的數學教學，在初中引導學生學好函數這一大概念，可以更連貫性、更嚴謹地理解中小學的數學內容，但是，函數教學價值的存在性并不能自動轉化函數教學實踐的有效性。由于函數這一大概念的學習離不開變量這一基本概念的理解，并且變量這一概念又是一個具有辯證性的概念，所以為了有效實現函數教學預設的目標，就應當自覺地關注學生數學思維的辯證性水平。

重視大概念在數學教學中的運用是國內外數學課程與教學改革的一個重要趨勢。美國《學校數學原則和標準》(NCTM，2000)曾強調“教師要能夠理解數學學科大概念，并能將數學表示為一個連貫而相互聯系的整體”[5]。我國2022年頒布的《義務教育數學課程標準》(以下簡稱課標)指出：“為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯。”“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。”“強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構。”“探索大單元教學，積極開展跨學科的主題式學習和項目式學習等綜合性教學活動。”[6]根據課標，大概念是將核心素養目標具化為課堂教學目標的重要抓手，數學教師不僅要學會提取出特定內容中的核心概念，而且要學會建立不同核心概念之間的聯系，形成大觀念，基于大觀念提出引導性的數學問題，設計具有思維挑戰性的數學認知任務，引導學生在任務探究中學會更有效地建構數學知識、更深入地理解數學知識、更具創造性運用數學知識。

(二)應重視大問題的教學運用

就問題對于數學學科的認識論意義、方法論意義和價值論意義而言，大數學家希爾伯特曾經指出“一門學科如果能不斷提出問題，那它就充滿活力”[7]，對于數學學科而言，問題是促使數學作為學科深入發展的原動力，是數學的心臟，是呈現數學思想、數學方法等數學大概念的最好載體。

就問題對于教學的價值而言，由于數學課堂教學本質上也是一個發現、提出、分析和解決問題的數學活動過程，所以問題對于數學教學具有內在的教育教學價值，它不僅培養并強化了學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識和能力，而且通過相關意識和能力的培養，強化了學生的數學抽象、數學運算、數學推理，發展了學生的幾何直觀、空間觀念、數據意識、模型意識、應用意識和創新意識，這事實上也就達到了學生核心素養培養的目標。由于學生對于數學問題進行求解的過程也是建立相關數學概念、數學命題或者運用、檢驗所學知識的過程，所以通過數學問題可以辨別、發現更為一般性的數學知識，揭示相關數學對象外部的特征或數學活動內部的規律，這在本質上就有利于數學大概念的提煉、發展與運用。

之所以強調大問題對數學課堂教學的引領作用，另一個非常重要的原因是大問題本身的特殊性并因此產生認識論、方法論和價值論的意義。盡管問題對數學學科與數學教學都具有十分重要的認識論意義、方法論意義和價值論意義，但是封閉、細小或碎片化的一般問題對整體的數學認知來說又具有十分明顯的局限性。相對于數學活動中問題真偽的判別，探索者在數學活動中很容易迷失對于問題本質、要點或根本的分析，常會因拘泥于細節和單個的結點而導致數學活動中的“見樹木不見森林”，探究者缺少數學探究、數學發現應有的格局，學習效果不理想。事實上，許多學習主體經由數學問題解決的學習常常滿足于具體結論的獲得或者停留于表面的操作性程序，而非由“程序”向“觀念”提升以及由“表層性觀念”向“結構性觀念”躍變。類似的情況反映到數學教學活動中就形成了數學問題解決教學的局限性，即相關的問題對于學生數學深度學習的影響不夠，特別是不利于學生對于相關數學主題、序列或數學化過程中大概念的建立，有些教師對學生數學概念的建構雖然提出了許多問題，但是問題對于整體性和有深度的數學學習而言卻不是一種恰當，尤其是不能成為有較高教學思維價值的“引領性問題”。

較之于一般的問題，數學課程教學中的大問題有著自身的內涵。一方面，這種問題通常超越了單一性的課時學習或局部性的數學認知，是在更大范圍進行教學內容分析、知識序列梳理、大概念聚焦和數學思考拓展的結果，是有其自身特質的真問題。另一方面，這種問題更多的是有著或線性化、或網絡化、或層次性等關系的結構問題，不僅具有整體的挑戰性和系統的啟思性，與特定的知識單元具有自然的契合性，與特定的知識序列或數學大概念具有緊密的關聯性，統領著特定領域的數學教學內容，而且能構成學生數學思維展開的主線或數學活動探究的主題，更合理地揭示了特定數學知識的內在本質，更精準地指向了數學活動中核心素養的育人目標。

(三)在教學中要注意大概念、大問題的協同運用

數學教育教學的本質既不是教師給學生傳授了多少具體的數學知識，也不是讓學生做了多少道數學題目，而是通過有效的引領、引導，讓學生探究或習得核心的數學概念、數學原理。根據荷蘭數學家弗賴登塔爾的現實數學教育主張，師生在數學學習活動中應通過積極的“再創造”和深入的“反思”，揭示數學活動中的大概念和有價值的大問題，并因此彰顯數學教師有指導的數學教學法加工的價值。為了凸顯數學教育教學本質，數學教育教學不僅離不開問題，而且離不開大問題以及大問題與大概念的協同運用。在數學教學活動中，沒有大問題就沒有更加系統、深入的數學思考、整體思維，也就沒有數學知識整體性的建構與拓展。

為了構建數學的大概念，數學教育教學需要重視大問題的引領。大問題與大概念如影隨形、相伴相生，數學教學中的大問題促使了數學教學中大概念的形成與發展，數學教學中的大概念錨定了數學教學中大問題的分析與求解。大問題與大概念在數學知識建構、數學實踐拓展的活動中兩者互為機制，構成了數學教育教學中核心素養培養的重要價值取向和具體目標落實的關鍵機制。究其根本，大問題與大概念內在的整合性、貫通性、建構性、統攝力、組織力、遷移力與當下核心素養培養的目標與要求具有較好的適應性和匹配度。以大問題、大概念為引領的數學教學不僅突出了數學教學的知識序列、關鍵主題，而且驅動了學習者對于數學知識的結構化思考，驅動了數學教學活動的組織者、主導者更理性地確定數學教學的主線、脈絡，有利于學與教的主體能結合特定的數學教學主題更精準地確定以核心素養為導向的教學目標、教學內容。

三、教學中協同運用大問題、大概念的建議

(一)明晰大概念對應的大問題及問題求解的過程性要求

以“三角形全等判定”的教學為例，為幫助學生形成“三角形全等判定”大概念，教師需引導學生思考“全等判定”及其對應的大問題，然后再具體地思考“三角形全等判定”所對應的數學問題，結合學生關于“全等判定”的數學現實形成要探究的數學問題。把問題簡單化，可結合生活中的實際思考如何“制作兩面形狀相同與大小一致的三角形錦旗”“配制兩塊形狀相同與大小一致的三角形玻璃”？深入到數學化的條件，需進一步思考，根據一個對應邊或一個對應角的條件能不能判斷？根據兩個對應邊或兩個對應角的條件能不能判斷？是不是一定需要三個對應的條件才能判斷？在什么情況下有兩個條件就可以判斷？

從“三角形全等判定”的教學案例中可發現，為了在數學教學中實現大問題與大概念的協同運用，教師需在提煉數學大概念的基礎上，聚焦大概念對應的大問題，并將目標問題進行必要的細化分解。從教學設計的角度分析，只有真正弄清楚了大概念對應的大問題，才能思考如何創設更加合適、更加有效的問題情境，才能以問題求解為目標導向設計一系列有深度的數學思維活動，才能將大問題與大概念的協同運用有效落實到特定主題的教學活動設計與課堂教學展開之中。

(二)協同運用大問題、大概念需強化真問題的意識

與數學大概念相對應的數學大問題是教學形態的真問題而非教學形態的偽問題。所謂教學形態的真問題，是指能促使學生在數學活動中大概念得以建構、顯化或數學命題得以進入探究視野、被發現的問題，是對于數學教學活動具有啟動、引導和維持的原始問題。與此相對，教學形態的偽問題是指對學生而言沒有數學概念建構意義、數學思維發展價值、脫離常識或者歪曲地反映了數學實踐活動的問題。

有教師為了引入“變化率”這一數學概念，在教學中創設了與“氣球膨脹”相關的問題：某人向氣球中吹氣時發現氣球在慢慢地膨脹著，試探求氣球的半徑增加一定的量后，氣球的體積會相應地增加多少。從教學角度來審視，這一問題就屬于一個偽問題。一方面，氣球是一個非標準的球，其體積計算本身是一個比較復雜的數學問題；另一方面，在現實生活中很難有人在吹氣球時關心氣球體積精準性的量變。

數學教學中強化學生真問題的意識既不意味著問題僅僅由教師提出，也不意味著問題僅僅由學生提出，而是強調師生基于大概念的問題互動。為此，既需鼓勵學生基于深刻的數學理解和實踐反思進行有效的提問，又要重視教師對于學生所提問題的引導、啟發，重視“學生問題提出、問題探究”與“教師問題引領、概念聚焦”之間的互動與平衡，注意以大問題提煉、大概念聚焦為導向進行教法學法的選擇、思維過程的暴露、認知結構的優化和知識本質的透視。

(三)協同運用大問題、大概念需發揮不同類別問題的作用

對此，不僅要發揮本原性大問題的作用，而且也要發揮派生性大問題的作用。所謂本原性大問題是指促使包括數學大概念在內的不同層次數學知識得到創建、演變、復合、重組、轉化、衍生、拓展、群落化、體系化的根源性數學問題。所謂派生性大問題是指由已經知道或被明確提出的數學問題根據邏輯演繹、推理或自然導出產生的問題。

在初中“統計調查”這一主題的教學中，與學生有關的運動項目以及運動成績的數據就可設計為統計調查活動中的本原性真問題。通過研究與學生運動有關的數據，學生不僅可評價當前中小學學生的健康狀況，而且可為相關比賽中參賽選手的選拔提升決策依據。在此基礎上，師生可進一步派生出“如何進行既科學又高效的調查?”“如何設計有價值的調查問卷?”“開展相關調查最關鍵的因素是什么？”“調查多少個對象比較合適?”“如何保證抽樣中具有相等的可能性?”“如何結合所設計的調查方案，從數學角度界定調查中所涉及的對象？”“如何給自己確認的調查方法進行數學化的界定?”等問題。前后聯系起來看，這些本原性或派生性的問題不僅具有整體性，而且具有連續性，學生通過這些問題可有效探析抽樣調查、全面調查等數學方法以及不同方法之間的邏輯關系，教師通過這些真問題可驅動學生體會諸如“數據收集與分析”“總體與樣本”“抽樣與隨機性”等數學思想方法。

再以微積分的教學為例進行說明。在數學史上，緊接著函數概念的采用，產生了微積分，它是繼歐幾里德(Euclid)幾何之后，全部數學中的一個最大的創造[8]，微積分作為一個數學大概念不僅是以數學化的方式對連續變化進行深刻理解的重要工具，而且也是在理解與掌握了“無窮”這一數學知識之后創建的一套計算方法。如何才能讓學生經由數學課堂教學活動深刻地理解并掌握微積分這一大概念呢？教師在教學法加工過程中需要關注微積分作為一個“創造”的哪些內容呢？相應的創造有哪些必要的形成過程？歷史上那些偉大的數學家在相關數學活動中思考并希望得到解決的基本問題是什么？順著這一思路，就不難看到微積分與如下4個基本問題緊密相關，即：怎樣求曲線的切線？怎樣計算“直線x=a，x=b，y=0，以及曲線y=f(x)所圍曲面圖形”的面積？如何計算物體在某個位置上的速度、加速度？如何找出最優解——函數的最大值或最小值問題？正是這些問題構成了微積分這一數學大概念產生的本原性數學大問題。

派生性大問題對于學生“微積分”大概念的建立也有著重要的作用。歷史上，阿基米德(Archimedes)“逼近法”算出了球的表面積、球的體積以及拋物線、橢圓的面積。但是，人們在當時能夠真正精準計算出面積的曲邊圖形并不多。由此，在形成“微積分”“不定積分”“定積分”等本原性數學問題之后，“如何計算一個具體函數的定積分”就成為一個“曲邊圖形面積計算”緊密相關的派生性問題。這一問題將人們的算法思維由特殊曲邊圖形面積的求解擴展到了一般曲邊圖形面積的求解。那么，面積的求解是否已經完全解決了呢？顯然不是。這是因為，盡管從理論說是可以借助定積分這一概念進行所給曲邊圖形面積的求解，不過在實際進行的定積分計算通常較煩瑣，問題求解者會遇到許多難以克服的困難。由此，也導致了學習者對不定積分概念產生再審視的要求，把問題求解者的思維導向定積分與被積函數原函數或者不定積分之間聯系的討論。后者的一個重要貢獻就是導致了微積分基本定理即牛頓-萊布尼茲公式的出現。

(四)協同運用大問題、大概念重在協同的基礎上突出運用

大問題、大概念在數學課堂教學中的協同是指圍繞核心素養育人目標落實，用大概念驅動大問題，讓大問題成為構架大概念與關鍵概念相互聯系的橋梁，將抽象性、啟思性、統攝性的大問題轉化為具有內在邏輯關聯的數學活動問題鏈，通過大問題引發關鍵概念學習[9]，強調師生在數學活動中的相互協作以及大概念與大問題的相互配合，并由此實現大概念、大問題在數學課堂教學運用中的合目的性與合規律性。大問題、大概念在協同基礎上的運用是指通過合理、有效的運用，強化數學課堂教學活動中問題與概念的互動與協進，促進思維與知識之間的聯結與整合。大問題、大概念在協同基礎上的運用既是為了加深學生對于大問題與大概念本身的理解與運用，也是為了檢驗學生基于大問題與大概念所建構數學知識的掌握程度和所建構數學能力的遷移水平。

以初中函數知識學習中大問題與大概念的協同運用為例，在初一時，教師要引導學生直觀地認識、分析變量的概念，根據函數圖像分析出實際問題中變量的信息，基于變量的概念獲得變量依存關系的感性認識，發現變量之間的變化規律，在此基礎上歸納、概括出了函數定義。在初二時，教師要引導學生對函數的圖像和性質進行初步探究，結合函數圖像分析簡單實際問題中的函數關系，初步推測相關變量的變化趨勢，初步掌握函數研究的一些基本方法。在初三時，教師要引導學生根據圖像對一次函數、二次函數、反比例函數及其交點問題進行討論，強調研究交點的實際意義，同時將所學函數知識運用到幾何圖形變換、相似分析、最值求解等問題。在這一系列的數學活動過程中，學生不僅在概念、圖像、性質等方面對函數數學知識進行了建構，根據函數圖像對一次函數和二元一次方程之間關系、二次函數與一元二次方程之間關系進行了解釋，利用二次函數圖像對一元二次方程近似解進行了探求，而且借助于所建構的函數知識和函數觀念解決了一些簡單的實際問題，增強了函數思想與方法的應用意識。為進一步突出函數的應用，在后續的學習中可進一步引導學生通過函數圖像獲取并分析信息，用函數觀點研究與方程、不等式等有關的大概念、大問題，運用函數性質解決一些具有綜合性或跨學科的問題，從中進一步拓展函數大概念的應用，建構用函數思想解決不同類別數學問題的具體方法或策略。▲