無線電能傳輸系統(tǒng)實(shí)本征態(tài)與零相角點(diǎn)分析

龔 舒,陳紹南,肖 靜,侯 湘

(1. 廣西電網(wǎng)有限責(zé)任公司 a.電力調(diào)度控制中心;b.電力科學(xué)研究院,南寧 530023; 2.重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,重慶 400044)

當(dāng)前電能的傳輸方式主要為有線輸電,但其存在很多問題,如接觸電火花、線路老化。且在一些特殊場(chǎng)合,如煤礦井下、水下等局限性很高。MC-WPT技術(shù)實(shí)現(xiàn)了電能從電源側(cè)到用電設(shè)備端的無電氣連接傳輸。由于電源端和負(fù)載端的電氣隔離,該技術(shù)具有安全、可靠、靈活等優(yōu)勢(shì),在電動(dòng)汽車、醫(yī)療行業(yè)、家用電子產(chǎn)品等方面應(yīng)用廣泛。

MC-WPT系統(tǒng)輸出功率受頻率和傳輸距離影響很大,在SS補(bǔ)償拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下,當(dāng)系統(tǒng)耦合系數(shù)超過一個(gè)界限后會(huì)出現(xiàn)頻率分裂現(xiàn)象,在原諧振頻率點(diǎn)處的輸出功率會(huì)隨著傳輸距離減小急劇下降[1]。文獻(xiàn)[2]把其分為過耦合、臨界耦合、欠耦合3種情況。為了解決過耦合情況下頻率分裂所導(dǎo)致輸出功率降低問題,目前有使用頻率跟蹤[3-5]、減小耦合系數(shù)抑制過耦合發(fā)生[6-7]、增加阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)等方法[8-10]。改變耦合系數(shù)大小需要另外增加機(jī)械結(jié)構(gòu)來調(diào)節(jié)耦合空間位置,不適用于位置不可移動(dòng)情況;增加阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)需增加大量元件,帶來額外的損耗。此外,改變耦合強(qiáng)度和增加阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的實(shí)質(zhì)都是調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)使得系統(tǒng)不存在頻率分裂現(xiàn)象。但目前沒有相應(yīng)的參數(shù)準(zhǔn)則使得系統(tǒng)工作在臨界耦合狀態(tài)。在調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)使得系統(tǒng)退出過耦合時(shí),容易降低系統(tǒng)的最大能效。頻率跟蹤因?yàn)閷?shí)現(xiàn)便捷,調(diào)整速度快,具有僅需調(diào)整系統(tǒng)工作頻率而不改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)勢(shì),成為目前最常用的一種方式。但現(xiàn)有的頻率跟蹤直接以檢測(cè)發(fā)射和接收端的電流或功率對(duì)頻率進(jìn)行跟蹤,此時(shí)逆變器輸出的電壓、電流存在較大相位差角,不能以軟開關(guān)方式工作,開關(guān)損耗較大,難以兼顧輸出功率和效率。

針對(duì)過耦合狀態(tài)下磁耦合無線電能傳輸系統(tǒng)發(fā)生頻率分裂導(dǎo)致原諧振點(diǎn)的能效降低,且目前頻率跟蹤無法實(shí)現(xiàn)電壓電流同相位的問題,筆者提出一種可以在過耦合狀態(tài)下以零相角狀態(tài)工作并輸出最大功率的方法。先通過實(shí)本征態(tài)計(jì)算系統(tǒng)的本征工作條件,后經(jīng)過零相角計(jì)算出在耦合系數(shù)變化時(shí)諧振點(diǎn)的頻率變化。再與實(shí)本征態(tài)得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,證明了2種方法計(jì)算結(jié)果的一致性。并進(jìn)行仿真驗(yàn)證分裂諧振點(diǎn)的系統(tǒng)性能優(yōu)勢(shì),即在過耦合區(qū)通過分裂零相角點(diǎn)的跟蹤可以保證穩(wěn)定的效率和最大輸出功率。

1 系統(tǒng)建模與理論分析

1.1 實(shí)本征態(tài)

以串聯(lián)-串聯(lián)(SS)型為例系統(tǒng)的等效電路模型如圖1所示,兩線圈結(jié)構(gòu)的MC-WPT系統(tǒng)由2個(gè)RLC回路組成。其中下標(biāo)1和2分別表示發(fā)射回路和接收回路的相關(guān)參數(shù)。Rpj,Lj和Cj分別代表第j個(gè)線圈的等效串聯(lián)電阻,自感以及補(bǔ)償電容;ij和uj為第j個(gè)回路的電流和補(bǔ)償電容Cj兩端的電壓(j=1,2),v和RL為電源電壓和負(fù)載電阻,M為2個(gè)線圈之間的互感。

圖1 兩線圈結(jié)構(gòu)MCR-WPT等效電路圖Fig. 1 Equivalent circuit diagram of MCR-WPT with two-coil structure

根據(jù)基爾霍夫電壓定律(KVL),該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中:S為系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣;In×m和0n×m分別表示n×m階的單位矩陣和零矩陣。

系統(tǒng)矩陣S的特征值為該系統(tǒng)的本征頻率?？芍蠼饩仃囂卣髦档墓綖?/p>

|λI-S|=0。

(5)

將式(4)代入至式(5),可得

|LCλ2+RCλ+I|=0。

(6)

將式(2)代入至式(6),可得系統(tǒng)的特征方程為

(L1C1L2C2-M2C1C2)λ4+(L1C1R2C2+L2C2R1C1)λ3+

(L1C1+L2C2+R1C1R2C2)λ2+(R1C1+R2C2)λ+1=0。

(7)

把式(8)的實(shí)部和虛部分開,分別等于0可以得到

此時(shí)可分情況討論

1)如果r1+r2=0,由式(10)可知必須滿足ω1=ω2。此時(shí)物理結(jié)構(gòu)上滿足宇稱對(duì)稱。此時(shí)不妨令ω1=ω2=ω0。將r1+r2=0和ω1=ω2=ω0代入至式(9)可得

當(dāng)(12)成立時(shí),系統(tǒng)工作在實(shí)本征態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)滿足宇稱對(duì)稱,也就是所說的宇稱時(shí)間對(duì)稱態(tài)[11-14]。

2)如果r1+r2≠0,不失一般性也可假設(shè)ω1=ω2=ω0。將r1+r2≠0和ω1=ω2=ω0代入至式(9)和式(10)可得

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足式(13),盡管系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)并不滿足宇稱對(duì)稱,但系統(tǒng)仍然工作在實(shí)本征態(tài),該狀態(tài)稱之為實(shí)本征態(tài)破缺態(tài)。

1.2 零相角

由電路方程可以計(jì)算出副邊電路等效到原邊后輸入阻抗的實(shí)部為

輸入阻抗虛部為

為了保證系統(tǒng)諧振工作在零相角狀態(tài),需要使虛部為0。使虛部為0的條件有

1)

2)

此時(shí)實(shí)部為Rinre=R1+(Rp2+RL)可以看到此時(shí)實(shí)部為定值不隨k值變化而變化。而系統(tǒng)的工作頻率需要隨耦合系數(shù)的變化而變化。

通過式(17)計(jì)算得到零相角頻率為

式中:

或者通過2條件計(jì)算可以得到

2種方法得到的式子計(jì)算結(jié)果相同。

系統(tǒng)在耦合系數(shù)kk1時(shí)有3個(gè)或2個(gè),此時(shí)還需要注意,通過(ω0M)≥(Rp2+RL),即

計(jì)算得到的虛部出現(xiàn)多個(gè)零相角點(diǎn)是不準(zhǔn)確的,當(dāng)k=k2時(shí),新分裂出的2個(gè)零相角點(diǎn)中的1個(gè)與原零相角點(diǎn)ω0重合,當(dāng)k>k2時(shí)新出現(xiàn)的另外2個(gè)點(diǎn)將分布在原零相角點(diǎn)的兩邊。kk>k1時(shí)有3個(gè);k=k2時(shí)其中一個(gè)和原點(diǎn)重合變成2個(gè),k>k2時(shí)還是3個(gè)(如表1所示)。

表1 耦合系數(shù)和零相角點(diǎn)關(guān)系

圖2 耦合系數(shù)小于k

圖3 耦合系數(shù)k1k2虛部圖Fig. 3 Imaginary part diagram with k1k2

可以清楚看到零相角點(diǎn)位置的變化。在原邊Rp1一定的情況下,輸入阻抗實(shí)部越大,即副邊反射到原邊的阻抗實(shí)部越大,系統(tǒng)的效率就越高。對(duì)式(14)輸入阻抗實(shí)部求導(dǎo)計(jì)算得到實(shí)部最大值點(diǎn)為

通過式(23)發(fā)現(xiàn)電路參數(shù)固定后實(shí)部最大值點(diǎn)頻率為固定值,不隨k的變化而變化,且最大點(diǎn)頻率和邊界值k1點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的零相角頻率相同,即把k=k1代入式(18)。

1.3 零相角頻率和本征態(tài)頻率的對(duì)比分析

本征態(tài)計(jì)算得出的結(jié)果為虛部為0的ω,ω=ω0為一直的零相角點(diǎn),當(dāng)k>k1得到另外的零相角點(diǎn)即

該式同零相角頻率計(jì)算得到的結(jié)果式(18)相同。

并且得到的邊界耦合系數(shù)k1也是一樣的。

從而證明了實(shí)本征態(tài)和零相角點(diǎn)的相關(guān)性。

而另一個(gè)條件

得到的|r|為原零相角點(diǎn)ω0處隨k值變化的副邊到原邊的反射阻抗。由于出現(xiàn)的多個(gè)零相角點(diǎn)處副邊反射到原邊的阻抗恒為Rp2+RL,在特殊情況Rp1=Rp2+RL下,若由于耦合系數(shù)過大發(fā)生頻率分裂即k>k1則可以通過調(diào)整工作頻率保持式(11),系統(tǒng)工作在諧振點(diǎn)處并保證恒功率輸出。

2 不同頻率下的系統(tǒng)特性對(duì)比分析

基于圖1所示的電路圖,在MATLAB中的Simulink模塊中搭建了相應(yīng)的仿真模型,仿真參賽如表2所示?；谒o電路參數(shù),可知電路的原諧振頻率為85 kHz。

表2 仿真參數(shù)值

如圖4所示,藍(lán)色是原諧振頻率、綠色圈是本征頻率、紅色是零相角頻率?？梢钥闯?本征頻率和零相角頻率是一致的,且隨著耦合系數(shù)增加,諧振頻率個(gè)數(shù)變化和上面分析相同。

圖4 不同模式下諧振點(diǎn)頻率隨耦合系數(shù)的變化Fig. 4 Variation of resonant frequency with coupling coefficient under different modes

如果在耦合系數(shù)過邊界點(diǎn)后,工作頻率使用式(11)得到的頻率進(jìn)行跟蹤,可以保證輸出功率維持穩(wěn)定。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同模式下輸出功率隨耦合系數(shù)的變化Fig. 5 Variation of output power with coupling coefficient under different modes

不同互感下,原諧振頻率處系統(tǒng)輸出功率在出現(xiàn)多個(gè)零相角點(diǎn)前是逐漸增加的,但耦合系數(shù)k>k1后原諧振點(diǎn)處的功率反而會(huì)由于耦合系數(shù)增大而減小,但其實(shí)在其他零相角點(diǎn)處依然保持較大的輸出功率。

圖6 不同模式下效率隨耦合系數(shù)的變化Fig. 6 Variation of efficiency with coupling coefficient under different modes

隨著耦合系數(shù)增大如果系統(tǒng)工作在原諧振頻率點(diǎn)處,效率會(huì)單調(diào)增加。但在過耦合情況下,多諧振點(diǎn)處的系統(tǒng)效率卻維持一個(gè)定值,該定值的大小與原副邊的阻抗有關(guān)。

圖7 不同耦合系數(shù)下輸出功率隨工作頻率變化Fig. 7 Output power changes with operating frequency under different coupling coefficients

通過改變耦合系數(shù)k,觀察在不同頻率下系統(tǒng)的輸出功率?？梢钥吹皆谶^邊界點(diǎn)后最大輸出功率不在原諧振點(diǎn)附近,出現(xiàn)明顯的分裂。隨著耦合系數(shù)的逐步增大,最大功率點(diǎn)向兩邊遠(yuǎn)離如圖6、圖7。

3 結(jié) 論

基于實(shí)本征態(tài)理論和零相角點(diǎn)分析,得到SS結(jié)構(gòu)磁耦合無線電能傳輸系統(tǒng)在過耦合情況下會(huì)分裂出多個(gè)零相角點(diǎn)。并且證實(shí)這2種方法所得到的計(jì)算結(jié)果的一致性。在過耦合區(qū)域通過跟蹤非原諧振點(diǎn)的零相角頻率,副邊折射到原邊的等效阻抗為恒定值,此時(shí)系統(tǒng)的輸出功率也為恒定值,且在一定條件下可以解決頻率分裂導(dǎo)致的輸出功率急劇下降,保持輸出功率在零相角點(diǎn)處為最大。從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)保持恒功率和恒效率輸出。