在問題解決中習得解決問題策略
——以“用圓柱的體積知識求瓶子的容積”教學為例

河南漯河市郾城區教育局教研室（462300） 趙德釗

“用圓柱的體積知識求瓶子的容積”是人教版教材六年級下冊的內容，這是用轉化思想解決復雜實際問題的一個典型課例。“給出了瓶子正放時一部分水的高度和倒置時無水部分的高度，求瓶子的容積”這樣一個非常規性現實數學問題，對學生的思維具有很大的挑戰性。筆者采用動態化的方式呈現過程，讓學生在“明確問題—分析問題—制訂計劃—解決問題—反思回顧”的過程中習得解決復雜問題的基本策略。

教學中緊緊抓住問題情景中的三個“核心詞”——瓶子的容積、轉化、變中有不變，圍繞六個基本問題設計“問題鏈”：（1）看到這個瓶子，你能提出什么數學問題？（2）不借助其他容器，還有辦法求出瓶子的容積嗎？（3）瓶子倒置前后什么變了？什么不變？（4）為什么用正放時有水部分圓柱的體積加上倒置時無水部分圓柱的體積就等于瓶子的容積？（5）根據大家設計的方案，現在要求這個瓶子的容積。如果讓你來測量數據，你會測量哪些數據？（6）回顧解決“瓶子的容積是多少？”這個問題的過程，運用了什么研究方法？

“問題鏈”能夠引領學生循著解決問題的路徑展開深入探究，最終獲得用轉化思想解決復雜的不規則物體容積問題的策略。

【課堂再現】

一、創設情境，明確問題

師：今天老師將帶領大家來一趟解決問題之旅。解決什么問題呢？（出示一個裝有部分水的瓶子）看到這個瓶子，你能提出什么數學問題？（學生回答略）

師：你認為哪個問題最有挑戰性？為什么？

生1：“瓶子的容積是多少？”這個問題最有挑戰性，因為瓶子的形狀不規則，不能直接求容積。

師：哪里是不規則形狀？

生2：瓶頸部分是不規則形狀。

師：我們學習過求不規則物體的體積，那求不規則物體的容積該怎么求呢？

【設計意圖：針對裝有部分水的瓶子提出問題，既是培養學生觀察能力的過程，也是培養學生多角度發現問題、提出問題能力的過程。】

二、分析問題，提出計劃

1.設計方案，尋找解決方法

師：小組合作設計一個“求瓶子的容積”的解決方案。請按以下三個步驟完成。第一步，議一議：解決這個問題要分幾步，每步怎么做。第二步，寫一寫：可以寫或畫小組研究的問題解決方案。第三步，說一說：先進行小組交流，再推薦一名同學匯報發言。

2.交流方案，選擇解決策略

組1（方案一）：先把瓶子裝滿水，再把瓶子里的水倒進一個量器里，測量出的水的體積就是瓶子的容積。

師：把水倒進一個量器中，這個量器可以是什么形狀的？

生1：這個量器可以是圓柱形，也可以是長方體形狀的，還可以用量杯直接測量。

組2（方案二）：先算出正放時瓶子中水的體積，再把瓶子倒過來，然后算出瓶子倒置時無水部分圓柱的體積，最后把水的體積和無水部分的體積加起來。

師：目前我們沒有任何量杯（量筒），哪種方案更合適？

生2：采用方案二更合適。

3.整理方案，突出策略的作用

師：正放瓶子時，瓶子的容積由哪兩部分組成？倒置時又由哪兩部分組成？

生3：正放時是由下面的圓柱和不規則部分共兩部分組成；倒置時是由不規則部分和上面的圓柱共兩部分組成。

師（出示圖1）：瓶子倒置前后，什么變了？什么不變？

圖1 瓶子倒置前后的變化

生4：正放瓶子時，無水部分是不規則形狀，把瓶子倒置后，將無水部分轉化成圓柱形，同時把規則形狀的水轉化成了不規則形狀，它們的形狀發生了變化，但是體積不變。

師：正放時的不規則部分變成了倒置時的圓柱，那瓶子的容積還可以看成由哪兩部分組成？

生5：左邊的圓柱和右邊的圓柱。

師：現在你知道為什么正放時有水部分圓柱的體積加上倒置時無水部分圓柱的體積就等于瓶子的容積了嗎？

生6：瓶子正放與倒置，對應的兩部分體積沒有發生變化，不規則形狀的部分轉化成了圓柱形，這樣瓶子的容積就變成了兩個圓柱容積之和，問題就能夠解決了。

師：這樣就把我們沒有學過的知識轉化成了學過的知識，即可以用圓柱的知識解決問題。

【設計意圖：設計方案是解決復雜問題時的一個基本方法。學生設計方案的過程能夠有效暴露他們思維的漏洞，為教師了解學生原生態的思維提供素材。從“不規則形狀”轉化成“規則形狀”，從“未知”轉化成“已知”，學生經歷了問題解決的整個過程，積累了轉化的數學活動經驗。】

三、解決問題，落實方案

1.落實方案，嘗試解決

師：根據大家設計的方案，現在要求這個瓶子的容積，需要測量哪些數據？

生1：需要測量瓶子的內直徑，正放時水的高度和倒置時無水部分的高度。

師：根據測量的結果，能求出這個瓶子的容積是多少嗎？

出示：一個內直徑是8 cm 的瓶子里，水的高度是7 cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分是圓柱形，高度是18 cm。這個瓶子的容積是多少？

2.交流評價，及時調整

生2：3.14×（8÷2）2×7 計算的是下面圓柱形水的體積，3.14×（8÷2）2×18 計算的是無水部分轉化的圓柱體積，加起來就是瓶子的容積。

生3：可以把左右兩個圓柱組合起來看作一個圓柱，這樣就變成了一個底面直徑8厘米、高25厘米的圓柱。先求底面積，再用底面積乘高就可以了。

師：兩位同學的計算方法不同，計算結果卻是相同的。

【設計意圖：計算的過程是對解決問題思路的具體化。對兩種計算方法的解題思路進行比較，有利于深化學生的思維水平，幫助學生鞏固對圖形結構“變與不變”的認識，提高學生靈活解決問題的能力。】

四、反思回顧，遷移應用

1.反思回顧

師：回顧解決“瓶子的容積是多少？”這個問題的過程，運用了什么研究方法？

生1：轉化的方法。

師：我們是怎樣運用轉化的方法解決問題的？

生2：先把不規則形狀轉化為規則形狀，然后根據規則圖形的計算方法解決問題。

師（出示圖2）：其實在五年級計算梨的體積時也用了轉化的方法。

圖2 計算梨的體積過程

師：用同樣的方法也可以解決瓶子的體積的問題。無論是不規則物體的容積還是不規則物體的體積，都可以用轉化的方法解決。

2.遷移應用

師（出示圖3）：這是一個底面直徑為4 厘米的不規則容器（壁厚不計），你能想辦法求出它的最大盛水量嗎？試一試。

圖3 計算不規則容器的最大盛水量

生3：這個容器平放在桌面上，最多能容納4厘米高的水，就是求底面直徑4厘米、高4厘米的圓柱的容積。

生4：我把容器分成上下兩部分，下面是圓柱形，上面是不規則形狀，先計算出一個底面直徑4厘米、高2 厘米的圓柱的體積的一半，再加下面的圓柱體積就可以了。

師：怎樣放置這個容器，才能使這個容器能盛62.8 mL的水？

生5：只有將容器傾斜著放，使容器口和水平面持平時，才能盛62.8 mL的水。

師：我們在解決問題中用到了轉化的方法，你能舉個例子說一說，以前解決什么問題中也用到過轉化的方法嗎？（學生回答略）

生6：小數乘除法是先按照整數乘除法計算的，分數除法是轉變成乘法計算的。

師：這也是轉化的方法。不僅圖形能轉化，計算也能轉化。把“陌生”轉化為“熟悉”，把“未知”轉化為“已知”，就能解決各種復雜的數學問題。

【設計意圖：反思回顧是解決問題后的必要步驟，有利于學生形成良好的反思習慣。解決問題基本策略的習得，離不開學生的自我反思和總結。反思回顧能引導學生感受轉化策略應用的廣泛性和一致性，有利于學生形成結構化的知識系統。】

【課后感悟】

一、在真實情境中培養發現問題和提出問題的能力

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》倡導創設真實的學習情境，建立起數學與生活的內在聯系，讓學生在情境中從不同角度發現并提出問題，通過梳理各層次問題，聚焦核心問題。學生自主提出的問題源于自己真實的困惑，是他們真正想研究的問題，教師經常性地引導學生多維度、多角度提出不同層次的問題，有利于學生增強問題意識，形成創新意識。

學生用數學的眼光觀察生活中一個裝有部分水的瓶子，自主提出問題，最后聚焦到“瓶子的容積是多少”這個具有挑戰性的問題上。教師充分放手讓學生討論后選擇恰當的問題解決策略，引導學生利用批判性思維思考、分析，進而設計問題解決的方案。

二、凸顯轉化思想，培養學生分析問題和解決問題的能力

轉化策略有化新為舊、化難為易的作用，能幫助學生理解問題實質，促進學生巧妙便捷地解決一些特殊問題。在解決非常規問題的過程中，領悟轉化思想的重要作用，掌握轉化的基本策略，形成數學關鍵能力和良好的思維品質，是問題解決的價值所在。

設計解決方案是提高學生分析和解決問題能力的基本方法，以方案的形式把思考推理的過程記錄下來，能讓解決問題的步驟更加清晰。方案的調整優化是學生梳理思維的過程，在這個過程中，學生通過討論經歷了完整的解決問題過程。用轉化思想解決求不規則物體的體積、小數和分數乘除法、圖形的面積推導等是對同類知識的串聯與提升，能讓學生感受到轉化策略的適用性與普遍性。

三、靈活應用解決問題，習得問題解決策略

非常規問題的解決是一個動態分析問題、解決問題的過程，并非一個固定的解決程序，不能機械套用。像改變形體求橡皮泥的體積，用排水法求不規則物體的體積，用倒置轉化方法求不規則容器的容積，等等，學生只有抓住圖形變換中的“變與不變”，自主選擇策略去探索問題的解決方案，才能獲得靈活運用轉化思想解決問題的經驗，完成對問題解決基本策略的重新建構。