兩道方程問題的來路、思路、去路

文／朱小燕

數學中考題多來源于教材。在教材例題、習題的基礎上適當延展，一道全新的中考題就呈現出來了。下面，我們對2022 年的幾道中考題進行研究，追溯試題的來路，理清解決問題的思路，關聯還可能走向的去路。

數學文化史中的“方程術”

［蘇科版數學教材七（上）第107 頁問題3］某小組計劃做一批“中國結”，如果每人做5 個，那么可比計劃多做9 個；如果每人做4 個，那么將比計劃少做15 個。該小組共有多少人？計劃做多少個“中國結”？

【解析】設該小組共有x人，用兩種不同的“做法”表示計劃做的中國結個數。“如果每人做5 個，那么可比計劃多做9個”，可知計劃做中國結（5x-9）個；“如果每人做4 個，那么將比計劃少做15 個”，可知計劃做中國結（4x+15）個，得方程5x-9=4x+15，從而利用一元一次方程模型解決問題。

【點評】實際上，對這類“若每……，則多……；若每……，則少……”的問題，中國古代數學家早就進行了研究。古代數學專著《九章算術》將此類問題稱為“盈不足”問題，可以用“方程術”解決。數學承載著思想和文化，此類問題也是中考常考題型。

（2022·江蘇南通）《九章算術》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三。問人數、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5 錢，還差45 錢；若每人出7 錢，多余3 錢。問人數、羊價各是多少？若設人數為x，則可列方程為________。

【解析】“若每人出5 錢，還差45 錢”，則羊價為（5x+45）錢；“若每人出7錢，多余3 錢”，則羊價為（7x-3）錢，故方程為5x+45=7x-3。

圖形中的方程

［蘇科版數學教材九（上）第30頁習題5］如圖1，在長40m、寬22m 的矩形地面內，修筑兩條同樣寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪。要使草坪的面積達到760m2，道路的寬應為多少？

圖1

【解析】設道路的寬為xm，通過平移，4塊草坪可以拼成長（40-x）m、寬（22-x）m的矩形。根據題意，得（40-x）（22-x）=760，解得x1=2，x2=60（舍去）。

注意：解一元二次方程時，應先將方程化為一般式，再選擇合適的方法求解。

延伸出新題的兩個方向：1.變數據，改變矩形地面的長和寬；2.變圖形，改變道路的位置。

（2022·江蘇泰州）如圖2，在長為50m、寬為38m 的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪。要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？

圖2

【解析】設道路的寬為xm，則矩形草坪長（50-2x）m、寬（38-2x）m。根據題意，得（50-2x）（38-2x）=1260，解 得x1=4，x2=40（舍去）。

此類問題還可變化為方案設計題。

［蘇科版數學教材九（上）第32頁數學活動］在一塊長是32m、寬是24m 的矩形綠地內，要圍出一個花圃，使花圃面積是矩形面積的一半。你能給出設計方案嗎？

【解析】和圖2 類似，可以在綠地中間開辟一個矩形的花圃，使花圃四周的綠地等寬，綠地的面積與花圃的面積相等；也可以設計菱形花圃、圓形花圃等。同學們開動腦筋，試著畫一畫、求一求吧。

方程與不等式是刻畫現實世界的有效數學模型，我們在解決實際問題時通常要聯想到方程與不等式模型。中考題大多來源于教材，題目是活的，這就啟示我們，在平時做題時要多思考，可以進行適當的變式。可以正向延展：改變條件或圖形，能得出什么結論？還能提出什么問題？也可以逆向延展：交換條件與結論，還能解決嗎？相信經過這樣的訓練，即便遇到陌生的中考題，我們也可以輕松應對。