一道教材習題的演變

文／李夢娜

方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，能夠解決數(shù)學與實際生活中的問題，也是中考重點考查的知識點之一。這類題綜合性強，常常由教材習（例）題演變而來，現(xiàn)舉一例供同學們參考。

［蘇科版數(shù)學教材九（上）第28頁問題6］如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s 的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s 的速度向點C移動。幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？

圖1

【思路分析】設ts 后△DPQ的面積為28cm2，則AP、PB、BQ、QC的長度分別可用含t的代數(shù)式表示，從而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面積也都可以用含t的代數(shù)式表示，于是利用割補圖形的方法找出相等關系，即S?ABCD-S△DAP-S△PBQ-S△QCD=28，列出方程求解即可。

“方程思想是一座橋梁，一座聯(lián)系已知和未知的橋梁”。本題創(chuàng)設的情境是圖形中的行程問題，涉及行程問題及幾何圖形性質(zhì)。解決此類問題的關鍵是尋找蘊涵在具體問題中的相等關系。學會用方程解決問題，能提高同學們數(shù)學學習的模型思想和空間觀念。

【例題延伸】如圖2，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s 的速度向點C移動，設運動時間為ts。

圖2

（1）當t=2 時，△DPQ的面積為____cm2；

（2）在運動過程中，△DPQ的面積能否為26cm2？如果能，求出t的值，若不能，請說明理由；

（3）運動過程中，當A、P、Q、D四點恰好在同一個圓上時，求t的值；

（4）運動過程中，當以Q為圓心、QP為半徑的圓，與矩形ABCD的邊共有4 個交點時，直接寫出t的取值范圍。

【思路分析】第（1）問，根據(jù)運動速度和時間表示出線段長度，然后計算出三個直角三角形的面積，再用割補圖形的方法就能得到△DPQ的面積，這一問與教材上的問題所用方法完全相同；第（2）問，根據(jù)（1）中的面積計算方式，列出關于t的方程，通過判斷方程有無解即可得出答案；第（3）問，部分同學可能感覺下手困難，我們不難通過△DAP是直角三角形發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過點D、A、P的圓的直徑就是DP，根據(jù)點Q也在圓上，那么∠DQP=90°，先分別表示出DP、DQ、PQ，再利用勾股定理DP2=DQ2+PQ2，列出方程求解即可；第（4）問，我們可通過多畫草圖，判斷出⊙Q與邊AD相切和⊙Q經(jīng)過點D是⊙Q與矩形的邊有4 個交點變成3 個交點的臨界情況，再根據(jù)半徑相等列出關于t的方程求解。

本題考查了矩形的性質(zhì)、點與圓的位置關系、三角形的面積、圓的切線等知識點，綜合性較強，熟練利用勾股定理列出一元二次方程是解題的關鍵。

【中考題】（2021·山東日照）如圖3，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/s 的速度沿BC邊向點C運動，到達點C停止，同時，點Q從點C出發(fā)，以vcm/s 的速度沿CD邊向點D運動，到達點D停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動。當v為______時，△ABP與△PCQ全等。

圖3

【思路分析】設P、Q兩點均運動ts，則BP、PC、CQ的長度分別可以用含t的代數(shù)式表示。而△ABP與△PCQ全等有兩種情況：

①△ABP≌△PCQ，此時BP=CQ，AB=PC，可得12-2t=8，解出t=2，相應得到v=2；

②△ABP≌△QCP，此時AB=QC，BP=CP，可得2t=12-2t，解出t=3，相應得到

綜上可得，v為2或

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、分類討論和方程思想的應用。解答本題時需注意三角形全等的對應關系，分情況討論。

數(shù)學大師陳省身先生曾經(jīng)說過：數(shù)學有“好”數(shù)學和“不大好”數(shù)學之分。方程，就是“好”的數(shù)學的代表，它是最基本的解題方法之一，也是同學們解題時重要的抓手。